（同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械電子研究所，上海 201804）

0 引言

大多橋式起重機(jī)防搖控制策略的研究中，數(shù)學(xué)模型的建立及數(shù)學(xué)建模方法的研究是基礎(chǔ)與前提。在以往對(duì)橋式起重機(jī)數(shù)學(xué)模型研究中，通常把橋式起重機(jī)的運(yùn)行機(jī)構(gòu)假象為剛性結(jié)構(gòu)并建立了雙質(zhì)量?jī)勺杂啥鹊南到y(tǒng)模型。文獻(xiàn)[1]中已經(jīng)建立起以電機(jī)頻率為輸入的小車-吊重系統(tǒng)的雙質(zhì)量?jī)勺杂啥鹊臉蚴狡鹬貦C(jī)動(dòng)力學(xué)模型[1]。這樣的假定在大多數(shù)情況下比較合理[2,3]。但起重機(jī)在大車運(yùn)行過程中，起重機(jī)主梁會(huì)產(chǎn)生垂向變形和橫向變形，這些彈性變形的影響在雙質(zhì)量?jī)勺杂啥鹊南到y(tǒng)模型中無法體現(xiàn)?？紤]到采用狀態(tài)觀測(cè)器[4]、軟測(cè)量[5]等方法進(jìn)行防搖控制的策略，由于吊重?cái)[角不易測(cè)量或測(cè)量實(shí)現(xiàn)的成本較高而需要借助其他可測(cè)變量轉(zhuǎn)化為擺角信息。這類控制方法的比較依賴于橋式起重機(jī)模型的精確性，模型的精確性越高，防搖控制的效果越好。本文建立系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析模型，考慮起重機(jī)主梁的橫向變形，得到橋式起重機(jī)運(yùn)行機(jī)構(gòu)為彈性結(jié)構(gòu)時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程[6]，并與傳統(tǒng)雙質(zhì)量?jī)勺杂啥鹊南到y(tǒng)模型進(jìn)行對(duì)比，以獲得運(yùn)行機(jī)構(gòu)彈性結(jié)構(gòu)在起重機(jī)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化系統(tǒng)的影響關(guān)系。

1 起重機(jī)運(yùn)行機(jī)構(gòu)系統(tǒng)模型

起重機(jī)運(yùn)行作業(yè)時(shí)會(huì)引起主梁的垂向變形和橫向變形，為了起重機(jī)防搖控制的模型研究，從防搖控制角度考慮，只需分析起重機(jī)主梁的橫向變形在模型方面的影響。假定橋架結(jié)構(gòu)在彈性范圍內(nèi)變形且不考慮風(fēng)載的影響。對(duì)大車橋架系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，假定只有大車的運(yùn)動(dòng)，小車是固定在大車上靜止不動(dòng)的。對(duì)于橫向變形，起重機(jī)支腿在運(yùn)行方向的剛性較小可以忽略。起升機(jī)構(gòu)傳動(dòng)零件（包括電機(jī)轉(zhuǎn)子）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)化至車輪周向的質(zhì)量遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)的換算質(zhì)量需要在數(shù)學(xué)建模時(shí)考慮。另外，與吊重相比，鋼絲繩質(zhì)量很小，將它抽象為無質(zhì)量的單元。因此，當(dāng)考慮車架為彈性結(jié)構(gòu)時(shí)，起重機(jī)系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為圖1所示的三質(zhì)量三自由度的串聯(lián)彈性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型。

圖1 橋式起重機(jī)運(yùn)行機(jī)構(gòu)力學(xué)模型

圖中，m1由三部分質(zhì)量構(gòu)成：

式中，me為一側(cè)端梁的總質(zhì)量（包括其上的運(yùn)行裝置的質(zhì)量）；mb為起重機(jī)橋架主梁的總質(zhì)量（包括走臺(tái)、欄桿等質(zhì)量）；m0為一側(cè)運(yùn)行機(jī)構(gòu)旋轉(zhuǎn)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)化到車輪周向的等效質(zhì)量。

m2包括主梁在跨中的等效質(zhì)量及小車的質(zhì)量：

式中，mt為小車的自身質(zhì)量。

m為吊重的質(zhì)量。

c1為驅(qū)動(dòng)電機(jī)、減速器及傳動(dòng)機(jī)構(gòu)等機(jī)構(gòu)內(nèi)的摩擦，c2為金屬結(jié)構(gòu)變形與空氣產(chǎn)生的綜合阻尼，cr為鋼絲繩內(nèi)部多根鋼絲之間相互滑動(dòng)產(chǎn)生的阻尼；k2為起重機(jī)考慮橫向變形時(shí)主梁的剛度，kr為由于鋼絲繩僵性產(chǎn)生等效剛度。

2 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)微分方程組的建立

由于本文研究的是彈性系統(tǒng)在靜平衡位置附近的微小振動(dòng)，剛度系數(shù)與位移x無關(guān)，另外m，c，k也與時(shí)間無關(guān)。設(shè)m1，m2質(zhì)量位移x1(t)，x2(t)的坐標(biāo)原點(diǎn)在靜平衡位置，吊重m的位移x是相對(duì)于x2的相對(duì)位移。當(dāng)大車以某一速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)中所有質(zhì)量都參與運(yùn)動(dòng)。分別對(duì)m1，m2，m進(jìn)行如圖2起重機(jī)運(yùn)行機(jī)構(gòu)受力分析所示，并得到方程式(3)。

圖2 橋式起重機(jī)運(yùn)行機(jī)構(gòu)受力分析

式中，F(xiàn)r為鋼絲繩的拉力，通過受力分解可以得到

圖3 橋式起重機(jī)運(yùn)行機(jī)構(gòu)等效力學(xué)模型

最后分析Ft的取值。在實(shí)際應(yīng)用中，橋式起重機(jī)一般用變頻器-三相交流異步交流電動(dòng)機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)。異步電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩的機(jī)械特性曲線如圖4所示。通常三相異步電動(dòng)機(jī)都工作在所示特性曲線的額定轉(zhuǎn)速及額定轉(zhuǎn)速附近?？梢园l(fā)現(xiàn)，此時(shí)轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩呈線性變化，可以線性化為圖中虛線所示。由圖4同樣可以看到當(dāng)改變電機(jī)輸入頻率時(shí)，電機(jī)的機(jī)械特性曲線只隨之上下平移，斜率保持不變[7]。在研究中將交流電機(jī)轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩曲線進(jìn)行線性化，由（0，n0）和（TN，nN）兩點(diǎn)，可以得到其斜率。

圖4 異步電動(dòng)機(jī)機(jī)械特性曲

R為小車車輪半徑；

p為電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)極對(duì)數(shù)。

最后由多軸拖動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程[8]，將負(fù)載折算到電機(jī)軸的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，得到電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)力：

式中，JZ為系統(tǒng)折算到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并記

圖2中所示的三質(zhì)量三個(gè)自由度彈性質(zhì)量系統(tǒng)建立振動(dòng)微分方程組矩陣形式如式(9)所示，由于式(7)Ft中包含了將與有關(guān)的項(xiàng)移到運(yùn)動(dòng)方程的左邊，前的系數(shù)構(gòu)成了與振動(dòng)分析中的粘性阻尼系數(shù)相似的系數(shù)。

由式(4)與式(8)聯(lián)立整理得，

3 基于MATLAB的仿真對(duì)比

由上一節(jié)得到橋式起重機(jī)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)狀態(tài)圖如圖5所示，其中A為x的系數(shù)矩陣，B為輸入u的系數(shù)矩陣，矩陣C將系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)化為擺角。

根據(jù)振動(dòng)微分方程組矩陣方程式(9)建立MATLAB/SIMULINK仿真模型。仿真中以QD32/8-22.5A5通用型橋式起重機(jī)為對(duì)象，主要參數(shù)為：小車質(zhì)量mt=4839kg，橋架主梁總主梁質(zhì)量mb=1323kg，一側(cè)端梁總質(zhì)量me=1392kg，一側(cè)運(yùn)行機(jī)構(gòu)旋轉(zhuǎn)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)化到車輪周向的等效質(zhì)量m0=400kg，吊重質(zhì)量取為M=10t，跨度L=22.5m，繩長(zhǎng)取l=8m，主梁的橫截面積為A=91700mm2，主梁彈性模量為E=2.1×105MPa，鋼絲繩型號(hào)為16NAT6×19W+FC1770。

將三質(zhì)量系統(tǒng)和傳統(tǒng)的雙質(zhì)量系統(tǒng)[1]（只考慮小車和吊重）進(jìn)行對(duì)比。圖6所示為兩個(gè)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)擺角的系統(tǒng)輸出。由圖6(a)可見，三質(zhì)量相對(duì)于雙質(zhì)量系統(tǒng)擺角擺動(dòng)的固有頻率更高，振動(dòng)的振幅更小，擺角的衰減速度更慢。在前10秒內(nèi)，兩個(gè)系統(tǒng)相位基本一致，三質(zhì)量系統(tǒng)最大擺幅與雙質(zhì)量系統(tǒng)相差10.4%。隨著時(shí)間推移，雙質(zhì)量系統(tǒng)相位逐漸落后于三質(zhì)量系統(tǒng)，在30秒左右時(shí)，雙質(zhì)量系統(tǒng)落后三質(zhì)量系統(tǒng)π/2的相位。由圖6(b)可見，前15秒內(nèi)，兩個(gè)系統(tǒng)的擺角誤差較大，三質(zhì)量系統(tǒng)的擺角幅值最大減小了約0.38弧度，相對(duì)于雙質(zhì)量系統(tǒng)，三質(zhì)量系統(tǒng)擺角誤差最大達(dá)22.0%。15秒之后，雙質(zhì)量系統(tǒng)與三質(zhì)量系統(tǒng)擺角差值逐漸隨時(shí)間減小。

4 結(jié)論

【】【】量模型慢。因此對(duì)長(zhǎng)時(shí)間的防搖控制，以準(zhǔn)確的擺角反饋來實(shí)現(xiàn)防搖策略時(shí)，采用三質(zhì)量模型擺角估算更精確，防搖效果更佳；3）c1，c2，cr，k2，kr五個(gè)參數(shù)中，kr的取值會(huì)對(duì)擺動(dòng)的頻率和幅值產(chǎn)生較大的影響。kr越大，擺角擺動(dòng)頻率越高，擺幅越小。當(dāng)鋼絲繩的僵性產(chǎn)生的等效剛度較大時(shí)，橋式起重機(jī)系統(tǒng)應(yīng)采用三質(zhì)量三自由度動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型。

圖6 兩系統(tǒng)對(duì)應(yīng)擺角θ的系統(tǒng)輸出對(duì)比

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