馮中芹

[摘 要]“三星級(jí)”高中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，理解能力較差.研究“三星級(jí)”高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為什么會(huì)產(chǎn)生困難？是一項(xiàng)較為重要的研究課題.

[關(guān)鍵詞]三星級(jí)高中；數(shù)學(xué)教學(xué)；策略

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）32-0009-02

本文從分析學(xué)困生的成因出發(fā)，結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn).從幫助學(xué)生創(chuàng)建數(shù)學(xué)“語(yǔ)法結(jié)構(gòu)”、構(gòu)建數(shù)學(xué)“解題大綱”、構(gòu)建數(shù)學(xué)“解題套路”三點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合例題具體分析.

一、幫助學(xué)生創(chuàng)建數(shù)學(xué)“語(yǔ)法結(jié)構(gòu)”

大家都知道，解題從審題開始，審題也是解決問題的關(guān)鍵.然而在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在做題時(shí)看不懂題目的意思，不能理解題意.特別是對(duì)于條件非常多的題目，學(xué)生會(huì)感覺頭腦一片空白.過后我問他們，他們都會(huì)說(shuō)：“題目太難”“ 根本看不懂”.但是經(jīng)過我的點(diǎn)撥 ，他們又會(huì)覺得比較容易.其根本原因并不是問題難，而是學(xué)生的審題能力比較差.

審題，就是在對(duì)問題進(jìn)行感知的基礎(chǔ)上，通過對(duì)問題的數(shù)學(xué)特征進(jìn)行分析，從而對(duì)所要解決的問題在頭腦中有一個(gè)清晰反映的思維活動(dòng).那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣幫助學(xué)生準(zhǔn)確審題呢？應(yīng)該注意分析學(xué)生產(chǎn)生審題障礙的原因，尋找對(duì)策，培養(yǎng)學(xué)生的審題能力.創(chuàng)建數(shù)學(xué)“語(yǔ)法結(jié)構(gòu)”就是一個(gè)很好的方法.所謂“語(yǔ)法結(jié)構(gòu)”就是將一類題目中的條件抽象成數(shù)學(xué)語(yǔ)言公式，當(dāng)學(xué)生看到題干中的條件就能想到抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言公式.

[例1]如圖1，在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，已知圓[C：x2+y2-4x=0]及點(diǎn)[A（-1，0）]，[B（1，2）].

（1）若直線[l]平行于[AB]，與圓[C]相交于[M]、[N]兩點(diǎn)，[MN=AB]，求直線[l]的方程；

（2）在圓[C]上是否存在點(diǎn)[P]，使得[PA2+PB2=12]？若存在，求點(diǎn)[P]的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由.

分析：本題第二問是雙軌跡問題，有一個(gè)軌跡是隱藏起來(lái)的，所以此類問題許多學(xué)生不理解題意.因此，教師在教學(xué)過程中，可以幫學(xué)生構(gòu)建 “語(yǔ)法結(jié)構(gòu)”.即抽象成數(shù)學(xué)語(yǔ)言公式，條件“在圓[C]上是否存在點(diǎn)[P]”可以抽象成曲線[E]；條件“使得[PA2+PB2=12]”可以抽象成曲線[C]；問題“求點(diǎn)[P]的個(gè)數(shù)” 可以抽象成曲線[E]與曲線[C]的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：（1） 圓[C]的標(biāo)準(zhǔn)方程為[（x-2）2+y2=4]，所以圓心[C（2，0）]，半徑為[2].

因?yàn)閇l // AB]，[A（-1，0）]，[B（1，2）]，所以直線[l]的斜率為[2-01-（-1）=1]，

設(shè)直線[l]的方程為[x-y+m=0]，

則圓心[C]到直線[l]的距離為[d=2-0+m2=2+m2].因?yàn)閇MN=AB=22+22=22]，而[CM2=d2+MN22]，所以[4=（2+m）22+2]，解得[m=0]或[m=-4].

故直線[l]的方程為[x-y=0]或[x-y-4=0].

（2）假設(shè)圓[C]上存在點(diǎn)[P]，設(shè)[P（x，y）]，則[（x-2）2+y2=4]，[PA2+PB2=（x+1）2+（y-0）2+（x-1）2][+（y-2）2=12]，即[x2+y2-2y-3=0]，即[x2+（y-1）2=4]， 因?yàn)閇2-2<（2-0）2+（0-1）2<2+2]，

所以圓[（x-2）2+y2=4]與圓[x2+（y-1）2=4]相交，故點(diǎn)[P]的個(gè)數(shù)為[2].

點(diǎn)評(píng)：通過幫助學(xué)生構(gòu)建 “語(yǔ)法結(jié)構(gòu)”，即抽象成數(shù)學(xué)語(yǔ)言公式，學(xué)生很快能理解題意，將題目問題轉(zhuǎn)化為求圓[C]：[（x-2）2+y2=4]與圓[x2+y2-2y-3=0]的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

二、幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)“解題大綱”

所謂構(gòu)建數(shù)學(xué)“解題大綱”，即構(gòu)建思維導(dǎo)圖.思維導(dǎo)圖作為一種輔助記憶和思維的工具，教師如能在教學(xué)中有效應(yīng)用，將有利于指導(dǎo)學(xué)生掌握更科學(xué)有效的知識(shí)建構(gòu)方法，幫助學(xué)生建構(gòu)起科學(xué)的知識(shí)體系，從而逐漸提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和課堂教學(xué)的效率.教師應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題，將復(fù)雜問題程序化，使學(xué)生在探索過程中不易邏輯錯(cuò)位，易掌握學(xué)習(xí)要點(diǎn)和學(xué)習(xí)目的，讓學(xué)生保持思路清晰、思維縝密.

比如，在函數(shù)綜合題中，第一問一般是求單調(diào)區(qū)間極值、最值等問題，這一類問題比較簡(jiǎn)單，基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生也是能認(rèn)真完成的.但是在教學(xué)過程中，學(xué)生往往只會(huì)求導(dǎo)數(shù)，之后令導(dǎo)數(shù)等于零，接下來(lái)面對(duì)導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)就不知所措了.因此要解決這一問題，思維導(dǎo)圖是一個(gè)很好的辦法.在思維導(dǎo)圖（圖2）中函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)很清楚，不僅能夠減少學(xué)生的錯(cuò)誤，而且能讓他們養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.

[例2]已知函數(shù)[f（x）=（lnx-k-1）x][（k∈R）]，當(dāng)[x>1]時(shí)，求[f（x）]的單調(diào)區(qū)間和極值.

分析：繪制本題的思維圖，如圖3.

解：∵[f（x）=（lnx-k-1）x][ （k∈R）]，

∴[x>0]，[f（x）=lnx-k]，

①[k≤0]時(shí)，∵[x>1]，∴[f（x）=lnx-k>0]，函數(shù)[f（x）]的單調(diào)增區(qū)間是[（1，+∞）]，沒有單調(diào)減區(qū)間，沒有極值.

②當(dāng)[k>0]時(shí)，令[lnx-k=0]，解得[x=ek]，

當(dāng)[1ek]時(shí)，[f（x）>0]，

∴函數(shù)[f（x）]的單調(diào)減區(qū)間是[（1，ek）]，單調(diào)增區(qū)間是[（ek，+∞）]，在區(qū)間[（1，+∞）]上的極小值為[f（ek）=-ek]，無(wú)極大值.

點(diǎn)評(píng)：解此類題目，一步錯(cuò)，滿盤皆輸，所以一定要讓學(xué)生有足夠的重視，特別是基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，通過讓學(xué)生畫思維導(dǎo)圖，及按照思維導(dǎo)圖的流程書寫解題過程，能使學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.

三、幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)“套路”

“圓錐曲線焦點(diǎn)弦”問題，對(duì)于三星級(jí)學(xué)校的學(xué)生來(lái)說(shuō)非常難，但是細(xì)心的教師會(huì)發(fā)現(xiàn)，這類問題是有“套路”可循的.圓錐曲線焦點(diǎn)弦問題主要的解題思路是“設(shè)而不求”，根據(jù)題意巧妙設(shè)未知數(shù)，設(shè)直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，而未知數(shù)本身卻不需要求出.又如證明定值的題目，我們常用的方法是設(shè)點(diǎn)、設(shè)角.將需要證明是定值的量用變量表示，化簡(jiǎn)最后得到定值.

[例3]如圖4，已知橢圓的方程：[x29+y2=1.][ A1、A2]是左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，[F1、F2]是左右焦點(diǎn)，過左焦點(diǎn)[F1]作一條直線，分別交橢圓于[M、N]兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率是[k]，當(dāng)[k]取什么值時(shí)，[MN]等于橢圓短軸的長(zhǎng)？

解：設(shè)[M（x1，y1），N（x2，y2）]，橢圓的方程為[x29+y2=1].

[∴]直線[MN]方程為[y=k（x+22） ]，

解方程組[x29+y2=1 ，y=k（x+22） ，]消去[y]得

[（1+9k2）x2+362k2x+9（8k2-1）=0].

[∴|MN|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=36（1+k2）+36k2（1+k2）（1+9k2）2=6+6k21+9k2] =2，

解得 [k=±33].

[例4]過橢圓[x24+y23=1]的焦點(diǎn)F任作一條與[x]軸不垂直的直線[l]，與曲線相交于點(diǎn)A、B，線段AB的中垂線交[x]軸于點(diǎn)M，求證[ABFM]為定值.

解：設(shè)直線[AB]與[x]軸的夾角為[α]，[B]點(diǎn)的橫坐標(biāo)為[x0]，則[0<α<π2].不妨設(shè)[AF>BF]， [x0-c=BFcosα]，[x0=BFcosα+c]，[BF=a-ex0]，[BF1+ecosα=a-ec]，[BF=a-ec1+ecosα=b2a-ccosα]，

同理 [AF=b2a+ccosα]；

[∵a=2，b=3，c=1].

[∴BF=b2a-ccosα=32-cosα；]

[AF=b2a+ccosα=32+cosα]，

[AB=AF+FB=b2a-ccosα+b2a+ccosα=124-cos2α].

設(shè)AB的中點(diǎn)為N，則

2[FN=BF-FA=22-cosα-32+cosα=6cosα4-cos2α]，即 [FN=3cosα4-cos2α].

在[Rt△MNF]中，[MF=NFcosα=34-cos2α]，

從而[ABFM=4]是定值.

點(diǎn)評(píng)：例3、例4，一個(gè)設(shè)角，一個(gè)設(shè)邊，解題過程固定，但需要有一定的計(jì)算量.如果學(xué)生能掌握這樣的“套路”，那么其他問題也能解決.因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該強(qiáng)調(diào)解題的通法，加強(qiáng)積累，適當(dāng)總結(jié).

總之，在教學(xué)中，教師只要從實(shí)際出發(fā)，運(yùn)用正確的教學(xué)方法，科學(xué)引導(dǎo)，學(xué)生的成績(jī)肯定會(huì)提高.正如浙江省特級(jí)教師楊象富老師所說(shuō)：“教學(xué)之后，靜心回味，寫下一孔一得之見識(shí)，記下一題一句之偶得，反思曾有的疏漏、失誤，欣賞教學(xué)激情迸發(fā)的‘思維火花.”

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）