【摘要】導數(shù)是刻畫變化率問題的重要模型，在數(shù)學、物理及其他學科中有著廣泛的應用。但在中學階段，由于學生不具備極限等理論知識，因而在學習這一概念時會有很大的困難。那么在新課標背景下，教師應該如何把握教學的“度”，而學生又如何學習這部分內(nèi)容呢？這是值得我們每一位中學數(shù)學教師思考的問題。本文我將針對上述問題，結(jié)合自己在教學中的實踐提出幾點思考。

【關(guān)鍵詞】新課標 導數(shù) 實踐 反思

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）52-0179-03

為了描述現(xiàn)實世界中運動變化的現(xiàn)象，數(shù)學中引入了函數(shù)這一重要概念。通過對函數(shù)性質(zhì)的研究，我們把握事物變化的規(guī)律。對于基本初等函數(shù)，研究方法是通過圖像研究性質(zhì)。對于相對復雜的函數(shù)，導數(shù)成為了研究這類函數(shù)性質(zhì)非常重要的工具。導數(shù)有著豐富的實際背景，凡是變化率的問題，本質(zhì)上都是導數(shù)的問題。那么，在新課標下，如何學好導數(shù)這部分內(nèi)容呢？本文我將從以下幾個方面進行分析。

一、導數(shù)如何教

新課標高中數(shù)學教材對于導數(shù)的編排下了很大的功夫，并不是把數(shù)學分析中導數(shù)的內(nèi)容縮編后加以簡單下放，而是充分考慮到高中學生的認知水平和思維特點，考慮微積分思想與初等數(shù)學方法的共存，考慮到高中課程的學時分配，對導數(shù)的教學提出了明確而具體的要求，這就要求我們在教學中做到以下幾點：

1.強調(diào)過程，淡化概念

在數(shù)學分析中，導數(shù)內(nèi)容的安排順序是：數(shù)列的極限→函數(shù)的極限→函數(shù)的連續(xù)性→導數(shù)→導數(shù)的應用。而在人教版課本中，導數(shù)是由實際情境出發(fā)，沿著平均變化率→瞬時變化率→導數(shù)的概念→導數(shù)的幾何意義→導數(shù)的應用這一思路發(fā)展的，充分體現(xiàn)了由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學研究方法。

設(shè)想一下，如果按照數(shù)學分析的方法講導數(shù)，函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性不可避免，如果拋給高中生“對任意，存在一個使得當時，便有”這樣的問題，多少學生會感到絕望，學習導數(shù)的興趣從一開始就被澆滅了。因此，高中教材大膽逾越極限的嚴格定義，從兩個實際問題出發(fā)（氣球膨脹率問題和高臺跳水瞬時速度問題），經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道導數(shù)即瞬時變化率，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵。以變化率為核心，引導學生在知識發(fā)生發(fā)展的過程中，在解決認知沖突的矛盾中，在已有的平均變化率知識基礎(chǔ)上積極探索。

2. 突出應用，弱化嚴謹

數(shù)學是講究精確與嚴密的一門科學，數(shù)學的精確性表現(xiàn)在數(shù)學的邏輯推理和數(shù)學結(jié)論的確定無疑和無可爭辯。數(shù)學分析中的導數(shù)對概念、性質(zhì)和公式都有嚴格的定義和證明。但是在高中課程中，由于學生的知識結(jié)構(gòu)和思維水平的局限性，導數(shù)內(nèi)容的嚴謹性必須要弱化，弱化的對象主要在導數(shù)的概念及其計算公式上。

事實上，《課標》中除了要求對五個基本初等函數(shù)的導數(shù)由瞬時變化率推導外，其它則只需能利用給出的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則進行計算，包括簡單的復合函數(shù)的求導法則也是直接給出公式的。這都說明在新教材中，強調(diào)的是對導數(shù)概念本質(zhì)的理解，真正的落腳點是希望學生能利用導數(shù)解釋生活中大量存在的變化率問題，而非這些公式的嚴格證明。因而教學中不必舍本逐末，對于本質(zhì)的問題應該迎難而上，對于推導公式的問題可以暫時緩緩。

3. 強調(diào)本質(zhì)，適度形式

“強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”是新課標所倡導的數(shù)學課程的一個基本理念，此理念在導數(shù)這里體現(xiàn)的可謂是淋漓盡致。

在教學中，我們可從物理中的平均速度類比得到平均變化率，那么如何順利過渡到瞬時變化率呢？注意，這里出現(xiàn)了極限符號，這是導數(shù)概念教學的一個難點，對于此極限符號該講到什么程度呢？把握不好的話就牽涉到數(shù)學分析中的左極限、右極限了。實際上，對于高中生來講，最高效的解決方案就在課本中。

在高臺跳水問題中，先計算某一時間段內(nèi)的平均速度，然后時間間隔越來越小，學生在經(jīng)歷計算、觀察、比較、分析之后發(fā)現(xiàn)無論是從左邊還是右邊趨近一個時刻時，平均速度都會無限逼近一個確定的常數(shù)，這個常數(shù)實質(zhì)上就是這一時刻的瞬時速度。平均速度和瞬時速度的關(guān)系其實就是由平均變化率向瞬時變化率過渡的一個影子和模板。另外，下節(jié)在研究導數(shù)幾何意義時，我們又從圖形角度進一步理解極限和導數(shù)的本質(zhì)。總之，在高中教學中，完全沒有必要人為加深極限這一概念，重要的是透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，極限就是無限逼近的思想，導數(shù)就是一個確定的常數(shù)，是瞬時變化率，是在這個點處切線的斜率，反映在這個點附近函數(shù)的變化情況。

二、學生如何學

高中數(shù)學課程應注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維水平，恰恰微積分這部分內(nèi)容是非常好的契機。導數(shù)有著豐富的實際背景，且在研究函數(shù)性質(zhì)時相當好用，高二的學生對它可謂是愛不釋手。可是另一方面，導數(shù)屬于微分領(lǐng)域，它的概念與本質(zhì)對于高中生仍然有一定的難度。那么，對于學生來說，應該如何把握呢？

1.聯(lián)系實際，抓住本質(zhì)

導數(shù)來源于生活，氣球的膨脹率問題就是人們的生活經(jīng)驗，物理學中處于運動狀態(tài)的物體就要分析速度及其加速度，化學中的平均反應速率問題，甚至行星的運動、熱傳導問題等等，本質(zhì)都是數(shù)學中的導數(shù)問題。導數(shù)解決的是函數(shù)的核心問題：函數(shù)到底是怎么變化的？它是增還是減？增減的范圍是什么？增減的快慢如何？我們最終得到的結(jié)果非常明了：由導數(shù)的符號可知函數(shù)是增還是減，由導數(shù)絕對值的大小可知函數(shù)變化得快還是慢。人教版2-2課本上有一道例題，雖然簡單，但很能說明問題。

例：將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第時，原油的溫度（單位：℃）為。計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。

解析：這里還沒有學到導數(shù)的計算公式，通過計算瞬時變化率可得。意義是在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速率在上升。endprint

再如，課本另一道練習題也恰如其分得說明了導數(shù)的本質(zhì)。

例：如圖，直線與圓C，當從開始在平面上繞點O按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動角度不超過90°）時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，這個函數(shù)的圖象大致是（ ）。

解析：對于函數(shù)圖象高中生通常的做法是求出函數(shù)解析式，可是此題完全是根據(jù)變化率，即變化的快慢來解決的。

總之學生要想學好導數(shù)，不至于流于形式或者套路，必須得吃透這一本質(zhì)問題。

2.重視基礎(chǔ)，理清關(guān)系

學完導數(shù)的概念之后，緊接著就要利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，包括增減性、極值以及最值問題。無論是具體的函數(shù)還是實際問題抽象出來的函數(shù)解析式，在研究其性質(zhì)時，最起碼應該先求函數(shù)的定義域，這一點很多同學都失誤了，直接造成了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或者極值點出現(xiàn)錯誤。因此，高中數(shù)學中，應該重視基礎(chǔ)和解題習慣的養(yǎng)成。另外，對于增減性、極值及其最值，它們?nèi)咧g是息息相關(guān)的，比如對于增減性的研究等價于在定義域范圍內(nèi)解兩個不等式和；是函數(shù)有極值的必要不充分條件；在閉區(qū)間的最值來源只能是極值點或者端點處。理清這些關(guān)系，解決基礎(chǔ)問題就會信手拈來。

3.舉一反三，歸納反思

當能利用導數(shù)解決一些基礎(chǔ)問題時，千萬不可得意忘形。我們需要時時反思，解決一類問題的通法是什么？易錯點是什么？反思越多，對導數(shù)的理解就越深刻，進而對函數(shù)的理解就越深刻。函數(shù)才是數(shù)學的核心，導數(shù)只不過是研究函數(shù)性質(zhì)的工具而已。在高考所謂的壓軸題中，充分體現(xiàn)的是導數(shù)的工具性，真正的難點仍然在于函數(shù)本身，在于方程、函數(shù)、不等式之間的關(guān)系上。

三、導數(shù)如何用

1.利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

例：函數(shù)的零點的個數(shù)是_________。

解析：對于三次函數(shù)的研究是導數(shù)應用的一個很好的體現(xiàn)。對于三次函數(shù)的零點問題，只需畫出函數(shù)簡圖結(jié)果便一目了然。

定義域為R

可得或；當或時，；當時，。

因而在上遞增，在上遞減，在上遞增。

因而在處取得極大值，且，此時可做函數(shù)簡圖，由圖象可得此函數(shù)有且只有一個零點。

2.利用導數(shù)證明不等式

例：證明：當時，不等式恒成立。

解析：這類題通常的做法是構(gòu)造新函數(shù)，求函數(shù)在已知區(qū)間上的最值，解答的關(guān)鍵在于找到函數(shù)在什么時候等于0。

構(gòu)造函數(shù)，定義域為。

當時，恒大于0，因而在上單調(diào)遞增，所以，原不等式成立。

3.利用導數(shù)解決幾何問題

例：在上求一點P，使P到直線的距離最短？

解析：解析幾何中的距離問題有很多解法，對于拋物線來講，導數(shù)提供了一種非常便利的解法，這里利用的是導數(shù)的幾何意義。原理是將直線平移至與曲線相切的位置，此時切點恰好就是所求的點。

，可得，因而所求的點P 為（2，4）。

4.導數(shù)在函數(shù)綜合性問題中的使用

這類問題中著重體現(xiàn)的是導數(shù)的工具性，其核心是代數(shù)中函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系，很多時候用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等高中數(shù)學中重要的思想，具有一定難度。

例：（2015年寧夏高考題21）設(shè)函數(shù)。

（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

（2）若對于任意，都有，求m的取值范圍。

解析：此題作為高考壓軸，難度很大，許多同學第（1）問都證不出來?？梢园l(fā)現(xiàn)，高考中的導數(shù)題目是跳脫常規(guī)的，必須要建立在對于函數(shù)的研究方法非常熟悉的基礎(chǔ)上。

定義域為R。

（1）當時，，明顯結(jié)論成立。

若，則當時，，，于是，則；當時，，，于是，則，因而結(jié)論成立。

若，則當時，，，于是，則；當時，，，于是，則，因而結(jié)論成立。

綜上，無論m取任何實數(shù)，原結(jié)論都成立。

（2）由（1）可知，對任意的m，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因而在處取到最小值。所以對于任意，的充要條件是，即。

構(gòu)造函數(shù)，則，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；又，因而當時，。

當時，，則充要條件成立；

當時，由的單調(diào)性，，即；

當時，，即。

綜上，m的取值范圍是。

以上只舉到了導數(shù)應用的一些方面，在具體解題中，還需仔細分析問題，發(fā)現(xiàn)難點，然后開動腦筋擊破難點，在平常做題的過程要注意歸納總結(jié)，體會高中數(shù)學中各種解題思想方法。

由平均速度到瞬時速度，由平均變化率到瞬時變化率，由割線斜率到切線斜率，這一過程非常漂亮，足可見新教材對于導數(shù)的編寫下的功夫。學生剛開始接觸導數(shù)的興奮也仍然歷歷在目，但是到了高三總復習階段學生對于導數(shù)的應用平淡無奇，含參量的問題非常容易出錯，稍復雜的問題感到無從下手，造成這些問題的根本原因還是高中生對于導數(shù)的理解并不到位，對于函數(shù)的研究仍然不得要領(lǐng)。因而在教學中，必須加強基礎(chǔ)概念的理解和深化，使得學生能從學數(shù)學到應用數(shù)學解決生活中的實際問題的轉(zhuǎn)化。對于這一目標，我們高中一線教師的道路還非常漫長。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中新課程標準[M].北京：人民教育出版社.2003.

[2]李倩 胡典順 趙軍.對新課程標準下微積分課程教學的思考[J].高等函授學報（自然科學版）.2008.

作者簡介：劉芳 （1983.8-）女 ，中學二級教師，大學本科，銀川唐徠回民中學，高中數(shù)學教育。endprint