楊凱明

摘 要：思維能力是智力的核心。人們在生活、學(xué)習(xí)和工作中遇到問題，總是要“想一想”，而這樣的“想”，就是思維。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，我們可以通過厘清概念、把握實質(zhì)、變換角度、壓縮過程、綜合運用等方法培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、深刻性、靈活性、敏捷性、獨創(chuàng)性，從而促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：計算；思維；能力

計算是一種有步驟、有目的的思維活動，計算教學(xué)不僅僅是要學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的結(jié)論，還要讓學(xué)生通過自己的發(fā)現(xiàn)、實踐和內(nèi)化，感受結(jié)論形成的過程。通過分析與綜合、概括與抽象、具體化與系統(tǒng)化等一系列過程，對感性的材料進(jìn)行加工并轉(zhuǎn)化為理性的認(rèn)識，從根本上提高學(xué)生的素質(zhì)。那么在計算教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力呢？下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐，談?wù)勗谟嬎憬虒W(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力的幾點做法。

■一、厘清概念，培養(yǎng)思維的縝密性

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，思維的縝密性是數(shù)學(xué)思維的重要品質(zhì)之一。周密的數(shù)學(xué)思維要求學(xué)生觀察問題要周到、嚴(yán)謹(jǐn)，做到有理有序，法則、公式、定律、概念等運用自如，判斷恰當(dāng)。在計算教學(xué)實踐中，學(xué)生在計算過程中經(jīng)常會抄錯題目中的數(shù)字、符號，抄錯草稿紙上的答案，或者四則運算時出現(xiàn)漏步、少寫、運算順序混淆等現(xiàn)象。此時，很多家長和教師都會對學(xué)生說：“你太粗心了，這么簡單的計算都算錯！”其實，這不能簡單地認(rèn)為是粗心、不仔細(xì)，而是學(xué)生對運算定律、性質(zhì)、公式等概念混淆、模糊不清，對算式的某一特征沒有仔細(xì)觀察而主觀臆斷的決定，沒有養(yǎng)成縝密的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

在計算教學(xué)實踐中，筆者收集了學(xué)生口算時常見的幾種錯誤題型，如：①36+64-36+64，②3.2-3.2×0.1，③■×3÷■×3，④■+■×■，⑤7÷■-■÷7。這幾種題學(xué)生往往不假思索地就寫出得數(shù)：第①題等于0，第②題等于0，第③題等于1，第④題等于■，第⑤題等于0。顯然，這5道題的答案都是不正確的，這是學(xué)生粗心算錯的嗎？顯然，①③⑤都是受了3×4-3×4這種題型的負(fù)遷移影響，只要仔細(xì)觀察、比較、分析，就會發(fā)現(xiàn)36+64-36+64，■×3÷■×3與3×4-3×4是不同的，運算順序不同，運算法則就不同，如果前兩題加了小括號，就改變了運算順序，計算法則與3×4-3×4并不相同。同樣的，第⑤題學(xué)生容易受思維定式及視覺效果的影響，誤以為7÷■與■÷7形式相同，算式相同。

上述學(xué)生的典型錯誤能簡單地說成是粗心、不仔細(xì)造成的嗎？顯然不能。究其原因，還是學(xué)生對運算定律、法則等概念沒有完全理解，只是記住了表面形式就胡亂套用，沒有養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣。因此，在計算教學(xué)中，我們可以加強(qiáng)學(xué)生對算式的表述，通過表述加深對運算順序的理解。比如：18×36÷12可表述為18乘以36，再除以12，商是多少？計算順序是先乘后除，而18×（36÷12）則表述為18乘以36除以12的商，積是多少？運算順序是先除法，后乘法。在計算教學(xué)中，教師要多讓學(xué)生對錯誤的計算進(jìn)行辨別，找出錯誤的原因。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，很多公式、性質(zhì)、運算定律都是計算的依據(jù)，要讓學(xué)生弄清這些概念的本質(zhì)，可以引導(dǎo)學(xué)生對特殊算式進(jìn)行觀察、比較、分析，如果不加以區(qū)別，勢必使學(xué)生產(chǎn)生混淆，導(dǎo)致錯誤。

■二、把握實質(zhì)，培養(yǎng)思維的深刻性

數(shù)學(xué)思維的深刻性，是指能從數(shù)學(xué)的感知材料中看出數(shù)與形的本質(zhì)特征，理解它們的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，意在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，學(xué)會全面思考問題。在計算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，是要讓學(xué)生深入理解算理，讓學(xué)生不僅知“算法”其然，還要知其所以然，明白計算方法的由來，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計算方法，形成計算技能。

以北師大版五年級下冊《分?jǐn)?shù)除法（一）》為例。《分?jǐn)?shù)除法（一）》重點是教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的計算方法，難點是讓學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外）等于分?jǐn)?shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)”的算理。那么如何讓學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外）等于分?jǐn)?shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)”的算理呢？

我們可以從以下幾個方面來理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理：一是分?jǐn)?shù)除法的意義；二是分?jǐn)?shù)乘、除法之間的關(guān)系；三是商不變的規(guī)律?？梢?，因為引進(jìn)分?jǐn)?shù)，乘除法的意義都得到了擴(kuò)展，除法和乘法可以在一定的條件下進(jìn)行轉(zhuǎn)化?；谝陨险J(rèn)識，如何更好地引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的意義和分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計算方法，教學(xué)實踐可以有如下過程：

1. （1）板書算式1÷2，問：表示什么意思？（板書：把1平均分成2份，每份是多少？）

（2）1×■，表示什么意思？（也就是把1平均分成2份，每份是多少？）

（3）繼續(xù)追問：這兩個算式會有怎樣的關(guān)系？

引導(dǎo)學(xué)生理解兩個算式相等的理由：①兩個算式表示的意義是一樣的，都表示把1平均分成2份，每份是多少？②兩個算式可以用同一直觀圖表示。③兩個算式的得數(shù)是相等的。

2. 出示1÷3和1×■，問：這兩個算式相等嗎？為什么？

3. 追問：8÷4和8×■呢？2÷7和2×■呢？

4. 像這樣的算式，你還能寫嗎？（學(xué)生舉例）

追問：為什么除法算式能改寫成乘法算式？有什么改寫的訣竅嗎？

用字母表示所有的算式，提問：“把a平均分成3份，每份是多少？”可以怎么列式？（a÷3=a×■）為什么相等？

5. 那■÷3你能算嗎？

為什么■÷3=■×■？如果用直觀圖表示，應(yīng)該是同一幅直觀圖。

追問：你能用圖來說明這樣的道理嗎？

6. 學(xué)生自主活動，展示交流。

7. 教師動態(tài)板演畫圖，呈現(xiàn)■÷3畫圖的全過程。

8. 歸納分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計算方法。

9. 分層次練習(xí)鞏固。

（1）看圖示變化，寫出算式。

①多媒體演示把■平均分成2份，求每份是多少。（圖1）

■endprint

圖1

②多媒體演示把■平均分成3份，求每份是多少。（圖2）

■

圖2

（2）計算下列各題，并選擇一道用畫圖的方法說明計算的道理。

■÷3 ■÷2 ■÷4

（3）填一填。

（ ）×5=■ （ ）×2=■

4×（ ）=■

（4）解決問題。（略）

從1÷2和1×■兩道算式的意義入手，發(fā)現(xiàn)兩者的意義都是“把1平均分成2份，每份是多少？”讓學(xué)生充分理解兩者的意義，明白算理；同時不斷地追問乘法和除法兩個算式為什么相等，不斷地讓學(xué)生說出兩個算式的意義。以此類推，發(fā)現(xiàn)規(guī)律！這樣一來，學(xué)生充分理解了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理，發(fā)現(xiàn)了算法背后的本質(zhì)。練習(xí)設(shè)計層次鮮明，通過多媒體演示動畫過程讓學(xué)生寫出相應(yīng)的除法算式。這樣的設(shè)計很好地培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性。

計算教學(xué)中要重視學(xué)生對算理的理解，“算理先行，理到法隨”，計算教學(xué)中“理”通“法”自然順。所以，教師應(yīng)重視計算教學(xué)中“算理”的滲透，同時多層次地設(shè)計練習(xí)題，讓學(xué)生的思維方式越來越多樣化，思維層次越來越有深度。

■三、變換角度，培養(yǎng)思維的靈活性

數(shù)學(xué)思維的靈活性，表示思維過程的靈活程度，計算教學(xué)中主要體現(xiàn)在學(xué)生面臨不同的題目時能靈活選擇算法的能力。計算教學(xué)中不僅要讓學(xué)生掌握一些常規(guī)算法，還要注重培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，這就需要教師精心設(shè)計一些練習(xí)題，并對各種算法進(jìn)行比較、分析，引導(dǎo)學(xué)生靈活選擇算法，讓學(xué)生的思維在不斷地碰撞中實現(xiàn)智慧的生長、能力的提高。

例如：學(xué)生學(xué)完乘法分配律后，教師一定會讓學(xué)生通過多組練習(xí)加以鞏固。但由于前面學(xué)習(xí)過乘法結(jié)合律，學(xué)生很容易混淆這些運算律，因此教師有必要設(shè)計幾組對比練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生靈活運用定律，提高學(xué)生思維的靈活性。

（1）乘法結(jié)合律與乘法分配律的對比。

88×125 88×125

=（80+8）×125 =11×8×125

=80×125+8×125 =11×1000

=10000+1000 =11000

=11000

在教學(xué)中，學(xué)生會把乘法結(jié)合律和分配律混著用，出現(xiàn)如下錯誤：

88×125

=（80+8）×125

=8×125×80

=1000×80

=80000

（2）對比相似題，選擇合適的計算方法。

67×102-67×2 67×（102-2）

=67×（102-2） =67×100

=67×100 =6700

=6700

67×100-67×2

=6700-134

=6566

通過這一題組的對比，讓學(xué)生明白，不同的題目要選擇不同的方法，有些題目需要使用運算定律才能使計算簡便，有些題目按照運算順序直接計算就已經(jīng)很簡便了。

（3）同題對比，優(yōu)化簡算的方法。

24×7+7×75+7

=7×（24+75+1）

=7×100

=700

24×7+7×75+7

=7×（24+75）+7

=7×99+7

=7×（99+1）

=7×100

=700

當(dāng)三組乘法算式相加時，部分學(xué)生往往不會想到三組一起用乘法分配律，因為大家熟悉的是兩組算式的乘法分配律。學(xué)生的思維水平參差不齊，此時教師要善于通過不同解法的對比，促進(jìn)學(xué)生自覺優(yōu)化方法，提高思維水平。

再如：小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減混合運算中，是把小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)運算更簡便，還是把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)更簡便？其實這要視題目而定，如：0.75-■，分?jǐn)?shù)化成小數(shù)計算更簡便；0.75-■，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)計算更簡便；0.75-■，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，或分?jǐn)?shù)化成小數(shù)計算都可以。這組題目，被減數(shù)不變，隨著減數(shù)的變化引起算法的靈活選擇，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

■四、壓縮過程，培養(yǎng)思維的敏捷性

在計算教學(xué)中，思維的敏捷性表現(xiàn)在計算正確的前提下的計算速度，對計算中的問題能做出準(zhǔn)確而又迅速的判斷，這也是思維品質(zhì)對提高學(xué)生計算能力的重要保證。

在日常教學(xué)中，部分教師不是很重視口算的訓(xùn)練，只要求學(xué)生算正確即可，很多可以口算的題目卻要求學(xué)生慢慢用筆算，久而久之便弱化了學(xué)生的口算能力，學(xué)生的思維敏捷性得不到訓(xùn)練，就有可能導(dǎo)致學(xué)生在今后稍復(fù)雜的題目中算不快、算不準(zhǔn)。因此，教師應(yīng)加強(qiáng)口算訓(xùn)練，口算時要求學(xué)生注意力集中，反應(yīng)快，訓(xùn)練學(xué)生的思維敏捷性；要讓學(xué)生在計算的過程中動口、動手、動腦，有多種感官參與計算活動，做到視算與口算相結(jié)合，激發(fā)小學(xué)生的計算興趣。在計算教學(xué)時，堅持3～4分鐘的口算訓(xùn)練，結(jié)合新授的內(nèi)容選擇口算題，可以采取對口令、開火車、找朋友、摘蘋果、搶答、口算比賽等游戲性質(zhì)的練習(xí)形式，防止學(xué)生產(chǎn)生厭倦情緒，增強(qiáng)了趣味性，寓算于樂，使學(xué)生思維的敏捷性得到了訓(xùn)練。

學(xué)生思維敏捷性的培養(yǎng)還表現(xiàn)在使用運算定律、法則、公式、性質(zhì)等進(jìn)行計算時，能跳躍式地省去一些非中心的環(huán)節(jié)，壓縮非必要的過程，頭腦中能出現(xiàn)關(guān)鍵的運算步驟，使運算自動化。如：看到354-56-44，學(xué)生能直接寫出354-100，中間省略了一步運用減法性質(zhì)的過程；看到69×11+31×11，學(xué)生能直接寫出100×11，中間省略了一步運用乘法分配律的過程。

在教學(xué)實踐中，我們常會發(fā)現(xiàn)在使用運算律進(jìn)行簡便計算時，有些算式特點不明顯，需要對這些算式進(jìn)行加工改造，這就需要學(xué)生有敏捷的思維。因此，教師精心設(shè)計計算練習(xí)是鍛煉學(xué)生思維靈活性和敏捷性的有效手段。如：endprint

33×9+66×17+99×19

=33×9+33×2×17+33×3×19（可省略）

=33×9+33×34+33×57（可省略）

=33×（9+34+57）

=33×100

=3300

日常教學(xué)中，教師只要經(jīng)常進(jìn)行口算、簡算等有針對性的訓(xùn)練，不但能提高學(xué)生的計算速度，而且學(xué)生思維的敏捷性也會體現(xiàn)出來。

■五、綜合運用，培養(yǎng)思維的獨創(chuàng)性

思維的獨創(chuàng)性是指思維過程的創(chuàng)新程度，它表現(xiàn)為在思考問題時有一定的創(chuàng)新、獨到之處。在小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，也是學(xué)生今后生活、學(xué)習(xí)和參加社會活動所必備的基本素養(yǎng)之一。

例如：比較■和■的大小，大部分學(xué)生采用先通分，再比較大小的方法，因為學(xué)完通分知識后，教師一般都會要求學(xué)生將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)比較大小，但也有個別學(xué)生會給出下列兩種方法：

①化成小數(shù)來比較，■=0.75，■=0.8，所以■<■；

②與1比較，■比1小■，■比1小■，■>■，所以■<■。

這兩種方法其實比通分比較大小的方法更簡單，此時教師應(yīng)表揚用類似方法解題的學(xué)生，從而借助學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力來激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

再如：12■×■，此題計算較為復(fù)雜，大部分學(xué)生會采用一般方法，即先通分，再用分?jǐn)?shù)乘法的方法來做，但仍有很多學(xué)生得出的最后結(jié)果沒有約分。當(dāng)學(xué)生做完這道題時，筆者有意問學(xué)生有沒有更好更快的方法，結(jié)果沒有學(xué)生應(yīng)答。于是筆者出示這樣的練習(xí)，以啟發(fā)學(xué)生思維：102×2.5得（100+2）×2.5；98×2.5得（100-2）×2.5。部分學(xué)優(yōu)生馬上找到新線索：12■×■=13-■×■=1-■=■，此時剩下的學(xué)生豁然開朗。此題看似沒有乘法分配律算式的特點，但卻綜合運用了乘法分配律，創(chuàng)造了簡算的條件。此題的做法打破了常規(guī)，采用了特殊的計算方法，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造意識，培養(yǎng)了學(xué)生思維的獨創(chuàng)性。

思維的獨創(chuàng)性還表現(xiàn)在要打破不良的思維定式。思維定式是思維的一種慣性，有消極的，也有積極的。積極的思維定式能促進(jìn)知識的遷移，而消極的思維定式會干擾新知的掌握。不良的思維定式主要表現(xiàn)在按照固定的思維模式去分析新知識、解決新問題。比如：在360÷60，540÷90，100÷10等計算題之后放一道“120-60”，學(xué)生往往會不假思索地錯算成120-60=2。

總之，在計算教學(xué)中，隨處都有思維的訓(xùn)練點，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是一項系統(tǒng)工程，上述這五種思維能力是密切聯(lián)系、相輔相成的，教學(xué)中教師只要寓思維訓(xùn)練于計算教學(xué)，適時點撥、比較、分析，適度訓(xùn)練，盡可能地利用較多的機(jī)會訓(xùn)練學(xué)生的思維，就一定能讓學(xué)生的思維在計算中得到最美綻放。培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，這也是全面提高學(xué)生運算能力所必備的。endprint