劉樹勇， 位秀雷， 王 基， 俞 翔

(海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，武漢 430033)

混沌振動是混沌科學(xué)研究的重要課題，國內(nèi)外學(xué)者圍繞混沌振動的應(yīng)用、控制和識別等問題開展了廣泛的研究[1]。為了應(yīng)用有益混沌振動，Yu等[2-3]提出廣義混沌同步技術(shù)消減了船舶輻射噪聲線譜，提高了其隱身性能；龍運佳等[4]研究了混沌振動壓路機的應(yīng)用，提高了壓實效果。為了控制有害的混沌振動，韓建群等[5]應(yīng)用滑?？刂品椒ǜ綦x了設(shè)備中的Lorenz混沌振動，消除了破壞儀器設(shè)備混沌運動；高遠等[6]應(yīng)用自適應(yīng)跟蹤控制方法，抑制了汽車懸架的大幅值混沌振動，有效降低了懸架垂向振動加速度；熊懷等[7]研究了非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink, NES)對振動的抑制方法，得到了阻尼對NES的影響規(guī)律。目前，在混沌振動的研究方法上，數(shù)值仿真研究和試驗研究仍然是兩種主要手段[8]。陳立群等[9]通過仿真研究了混沌振動的開閉環(huán)控制技術(shù)；韓保紅等[10-11]應(yīng)用數(shù)值方法研究了混沌振動的主動隔振問題；梁山等[12]對兩自由度汽車懸架模型的非線性混沌振動進行了仿真與實驗研究，揭示了該系統(tǒng)存在混沌的可能性。

事實上，由于混沌振動問題的復(fù)雜性[13]，導(dǎo)致混沌試驗研究具有一定的困難，目前大部分研究工作還局限在理論分析和計算層面，缺乏試驗的驗證，特別是要產(chǎn)生穩(wěn)定的、可重復(fù)出現(xiàn)的混沌是一件非常困難的工作。然而，要將混沌應(yīng)用于工程實際，必須開展深入的試驗研究，掌握混沌產(chǎn)生的實際條件、混沌出現(xiàn)的規(guī)律以及不同參數(shù)對混沌的影響，在這方面，國內(nèi)外學(xué)者都進行了嘗試。任成龍等[14]為了模擬路面的復(fù)雜激勵，應(yīng)用多連桿機構(gòu)設(shè)計了懸架振動臺，取得了較好的實驗結(jié)果。Moon[15]開展了懸臂梁的混沌振動試驗研究，主要探討了兩種情況下系統(tǒng)的響應(yīng)：一是梁的振動幅值處于較小的范圍內(nèi)，可以簡化為線性方程，但其自由端受非線性力或邊界條件有非線性特性；二是梁振動幅值非常大，本身有明顯的幾何非線性。在這些條件下，系統(tǒng)可能產(chǎn)生混沌振動。雖然這些研究工作為混沌試驗提供了思路，但具體還存在如下問題需要解決：①如何在系統(tǒng)中產(chǎn)生持續(xù)穩(wěn)定的混沌運動；②如何準(zhǔn)確確定實際系統(tǒng)的混沌參數(shù)區(qū)域；③如何對復(fù)雜條件下的混沌信號進行有效分析；④如何在工程實際中實現(xiàn)小振幅的混沌運動。本文利用Moon提出的雙勢阱系統(tǒng)設(shè)計了單端磁吸式混沌振動試驗裝置，并開展了深入的理論和試驗研究，通過對實測數(shù)據(jù)進行分析，結(jié)果表明，該裝置切實可以產(chǎn)生穩(wěn)定的、可重復(fù)實現(xiàn)的混沌振動，從而為后續(xù)混沌應(yīng)用研究奠定了堅實的基礎(chǔ)。

1 雙勢阱系統(tǒng)的非線性特征

由磁鐵和懸臂梁構(gòu)成的雙勢阱系統(tǒng)動力學(xué)方程可以簡化為

(1)

式中：ξ為系統(tǒng)無量綱阻尼參數(shù)；γ為無量綱線性剛度；β為無量綱非線性剛度；f無量綱激勵力幅值。對于式(1)，其彈簧作用力為：F(z)=-γz-βz3定義其勢函數(shù)V(z)為V(z)=γz2/2+βz4/4。當(dāng)參數(shù)的取值為γ=-1，β=1時，雙勢阱如圖1所示。

因此，質(zhì)點可以在雙勢阱M和N之間以及在單勢阱M或N內(nèi)運動。運動形式一般分為以下幾種情況：質(zhì)點在雙勢阱M和N之間周期振蕩，物理系統(tǒng)呈現(xiàn)大幅值的周期振動，如圖1(a)所示；質(zhì)點在單勢阱M和N內(nèi)運動，物理系統(tǒng)呈現(xiàn)出小幅值的周期振動，如圖1(b)和圖1(c)所示；質(zhì)點在雙勢阱M和N之間無規(guī)律來回振蕩，具體表現(xiàn)為在單邊勢阱M和N內(nèi)運動后，越過勢阱壁壘進入到另一個勢阱中，但在勢阱中運動時間不同，是非周期振動模式，如圖1(d)所示。但由于它是在確定性系統(tǒng)中產(chǎn)生的類隨機行為，因而具有混沌性質(zhì)。

圖1 雙勢阱示意圖Fig.1 Two potential well sketch map

(2)

(3)

(4)

假設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)中包含了快變和慢變分量，具有多時間尺度特征，分別設(shè)為T0=t，T1=εt，因此式(4)可以寫為

(5)

式(5)的解可以展開成

z(T0,T1)≈z0(T0,T1)+εz1(T0,T1)

(6)

將式(6)代入式(5)得到

(7)

令等式兩邊小參量ε的系數(shù)為零得到

(8a)

pz0(T0,T1)+αz0(T0,T1)3+ω2z1(T0,T1)+

(8b)

令基本解幅值和相位為時變參數(shù)

z0(T0,T1)=B(T1)cos(T0+φ(T1))

(9)

聯(lián)立式8(b) 和式(9)得到

(10)

將式(10)等式右邊項應(yīng)用三角函數(shù)關(guān)系展開，并消除共振項，即令cos(T0+φ(T1))和sin(T0+φ(T1))的系數(shù)等于零得到

δB(T1)+2B′(T1)=0

(11a)

(11b)

因此可以求出

(12a)

(12b)

(13)

式中，φ0為積分常數(shù)。聯(lián)立式(10)和式12(a)得到

(14)

因此，可以由式(14)解出z1(T0,T1)為

z1(T0,T1)=-αB(T1)3cos(3T0+φ(T1))/4(ω2-9)

(15)

因此求得系統(tǒng)的解為

(16)

以T0=t，T1=εt替換后得到

(17)

應(yīng)用平均法[18]推導(dǎo)了式(5)的幅值和頻率之間的關(guān)系

16γ2[p2ε2+δ2ε2+2pε(ω-1)2+(ω-1)4]}=0

(18)

式中，參數(shù)γ為平均法計算過程中所采用的極坐標(biāo)幅值，其本質(zhì)含義為Van der Pol平面上振動幅值的大小。當(dāng)ε=1,α=1,ω=1,A=6,δ=0.5,δ=1.0,δ=1.5時，改變調(diào)節(jié)因子p的大小，得到p-γ曲線如圖2所示。從圖中可以觀察到系統(tǒng)的非線性“舌狀”結(jié)構(gòu)特征。

圖2 系統(tǒng)的幅值特征曲線Fig.2 Amplitude frequency characteristic curve

2 試驗臺架結(jié)構(gòu)設(shè)計

為了驗證系統(tǒng)的非線性以及可能具有的混沌特征，開展了試驗研究。根據(jù)混沌產(chǎn)生的必要條件，在混沌振動試驗裝置設(shè)計過程中，需要選擇合適的非線性元件作為試驗臺的組成部分，主要利用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)非線性、材料非線性或者電路的非線性等產(chǎn)生混沌；其次確保系統(tǒng)中沒有隨機信號輸入，從而實現(xiàn)由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生類似隨機的不確定性行為；在此基礎(chǔ)上，編制混沌識別程序?qū)ο到y(tǒng)的動力學(xué)行為進行識別，通過定性分析技術(shù)對采集的時間歷程圖進行目視觀察，同時利用相空間重構(gòu)原理，觀察實測時間序列相平面圖、Poincaré截面圖；利用定量分析方法提取信號的特征，進行Fourier分析得到信號的頻譜特征；計算信號的分形維數(shù)和Lyapunov指數(shù)；調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，觀察到系統(tǒng)由不同周期態(tài)進入混沌態(tài)的途徑。

基于以上考慮，雙勢阱單端磁吸式混沌振動裝置如圖3所示。裝置由如下部分組成：激振器、支座、薄彈片、磁鐵、小鐵片、外部固定框架、固定彈片裝置。各部件的具體功能為：①激振器，提供穩(wěn)定外部激勵，保持整個系統(tǒng)持續(xù)穩(wěn)定振動；②支座，固定激振器，為了保證裝置在水平方向上不受其他外力影響，需嚴格保持激振器水平放置；③薄彈性片，為整個裝置的主體元件，為保證薄片具有良好的恢復(fù)力，剛度不易太硬，并且薄片的寬度不宜太小，這樣可以減少薄片做水平擺動之外的運動；④磁鐵(方形磁鐵)， 提供彈片端部吸引力，固定磁鐵的支座可以左右水平移動，進而調(diào)節(jié)磁力作用距離；⑤質(zhì)量塊，安裝在薄彈片自由端，受到磁力作用，它和磁鐵一起形成了裝置的雙勢阱，為保證薄彈片不產(chǎn)生水平擺動之外的運動，其質(zhì)量不宜過大；⑥外部固定框架，框架需滿足兩個要求，不能是磁性材料，以免對彈片運動形成外部干擾；質(zhì)量不宜過大，否則難以保持整個框架的水平性，從而彈片的水平擺動會受到外部力的干擾；⑦彈片固定裝置，在兩個夾緊螺母和彈片之間設(shè)置一個方形鐵片，將螺母和彈性片之間的點接觸擴展成面接觸，從而使彈片固定更牢靠；⑧設(shè)計實驗參數(shù)，激光位移傳感器，型號CD33-30NV，測試最大位移為±4 mm，最大允許誤差為±0.1%F.S.；激光位移傳感器與梁的距離為30 mm；梁的長與寬尺寸為155 mm×20 mm；磁鐵尺寸長寬高為11 mm×6 mm×9 mm；磁鐵頂端到底面高度為24 mm；質(zhì)量塊重量為5 g。

圖3 雙勢阱單端磁吸式混沌振動裝置Fig.3 Sketch of the experimental rig

3 試驗步驟

實驗本質(zhì)為正弦信號的慢速頻率掃描實驗，掃描頻率范圍為5～25 Hz，采樣頻率為2 kHz，數(shù)據(jù)采集時長為5 s。具體實驗步驟為：

步驟1 安裝實驗裝置，設(shè)置磁鐵距中心線的距離、無激勵時薄彈片距底端的距離，布置位移傳感器；

步驟2 將功率放大器置于高阻位置，設(shè)置最大電流限制值，并通過調(diào)節(jié)增益來實現(xiàn)激勵力大小的改變；

步驟3 打開數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)以及信號發(fā)生系統(tǒng)，打開LabVIEW軟件，建立采集信號的時間歷程窗口、功率譜窗口及相圖以作實時觀察；

步驟4 固定激勵頻率于特定值，調(diào)節(jié)功率放大器增益旋鈕，觀察信號的時間歷程圖與功率譜圖，待其穩(wěn)定后采集數(shù)據(jù)以備后處理之用，數(shù)據(jù)文件按H××L××S×××.lvm命名，H后為激勵幅值，L后為磁鐵距中心線的距離值，S后為無激勵時薄彈片距底端的距離值，在文件名中以p標(biāo)識小數(shù)點；

步驟5 以步長為0.1 Hz增加頻率，重復(fù)步驟4，直至完成一定范圍的頻率掃描；

步驟6 改變磁鐵距中心線的距離、無激勵時薄彈片距底端的距離，重復(fù)步驟3～步驟5；

步驟7 信號分析流程，對信號時域圖進行目視觀察、提取和分析實測數(shù)據(jù)的頻率特征、計算相空間重構(gòu)參數(shù)、重構(gòu)原系統(tǒng)的吸引子、計算吸引子的特征指數(shù)；

步驟8 根據(jù)分析結(jié)果，給出系統(tǒng)的可能的混沌參數(shù)區(qū)域；

步驟9 提出改進試驗方案和進一步研究內(nèi)容。

4 試驗結(jié)果

4.1 系統(tǒng)響應(yīng)隨激振系統(tǒng)增益變化的結(jié)果

根據(jù)掃頻調(diào)試，發(fā)現(xiàn)當(dāng)激勵頻率大于10 Hz時，系統(tǒng)的響應(yīng)呈現(xiàn)豐富的動力學(xué)特征，因此，本試驗中將重點研究的頻率范圍設(shè)置在10 ～25 Hz。同時，考慮到功率放大器的增益過大時，將對試驗裝置產(chǎn)生破壞性作用，因此增益的范圍確定為0～1.5 V。

當(dāng)激勵頻率為15.6 Hz，激振系統(tǒng)功率放大器的增益為0.1時，系統(tǒng)在右勢阱中處于周期1狀態(tài)，時間歷程曲線如圖4所示，振動的最大幅值為0.056 mm，從頻譜圖中可以觀察到系統(tǒng)出現(xiàn)了基頻和三倍頻46.8 Hz，系統(tǒng)的重構(gòu)吸引子為一個極限環(huán)，從而證實了近似解析解分析的正確性。在這種狀態(tài)下，用力杠加入小的外部擾動，系統(tǒng)在兩個磁鐵之間振蕩，隨后落入左勢阱并進入周期1運行狀態(tài)，這表明外部激勵力不足以使其越過勢阱壁壘，因而被限制在單邊勢阱內(nèi)。

當(dāng)激勵頻率為15.6 Hz，激振系統(tǒng)的增益為0.5時，系統(tǒng)的振動幅值增大，達到0.172 1 mm，但仍然處于周期1運動狀態(tài)，如圖5所示。從時域圖和頻域圖中，可以觀察到系統(tǒng)的規(guī)則運動以及明顯的線譜特征。重構(gòu)了系統(tǒng)的吸引子，它是一個極限環(huán)。應(yīng)用改進的Poincaré截面法對系統(tǒng)的響應(yīng)進行了分析，得到了截面圖。注意實測數(shù)據(jù)Poincaré截面圖和傳統(tǒng)的仿真數(shù)據(jù)不同，它是一個點簇而不是單個點，因此在編程過程中，需要將距離近的截點歸屬到同一點，這樣才能反映系統(tǒng)的本質(zhì)特性，這和仿真研究有明顯的差異，如圖5(d)所示。

圖4 激振系統(tǒng)增益為0.1 V時系統(tǒng)的振動響應(yīng)Fig.4 The vibration response when the excitation gain is 0.1 V

圖5 激振系統(tǒng)增益為0.5 V時系統(tǒng)的振動響應(yīng)Fig.5 The vibration response when the excitation gain is 0.5 V

繼續(xù)增大增益為0.8時，系統(tǒng)的振動幅值進一步增加，但此時的狀態(tài)是一種臨界狀態(tài)。用力杠加入小的擾動后，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。系統(tǒng)在左右勢阱之間以混沌模式振蕩。有趣的是，系統(tǒng)隨后又落入左單邊勢阱并處于周期1振動，這是一種不穩(wěn)定混沌現(xiàn)象。而增益參數(shù)為0.95時，系統(tǒng)出現(xiàn)1/2次諧波，頻率為7.83 Hz，表明此時系統(tǒng)出現(xiàn)了倍周期分岔行為，如圖6所示。

圖6 激振系統(tǒng)增益為0.8 V時系統(tǒng)的振動響應(yīng)Fig.6 The vibration response when the excitation gain is 0.8 V

在增益為0.98時，無需力杠擾動，系統(tǒng)自動進入穩(wěn)定的混沌運動狀態(tài)。時間歷程圖如圖7(a)所示，具有明顯的貌似隨機特征，功率譜呈現(xiàn)寬譜。重構(gòu)相空間參數(shù)中嵌入維數(shù)為4，延遲時間為16。得到的重構(gòu)混沌吸引子如圖7(e)所示，計算得到的最大LE為0.031 3，關(guān)聯(lián)維數(shù)為2.129。

圖7 激振系統(tǒng)增益為0.98 V時系統(tǒng)的振動響應(yīng)Fig.7 The vibration response when the excitation gain is 0.98 V

4.2 系統(tǒng)響應(yīng)隨激振頻率變化的結(jié)果

由前面的試驗可總結(jié)出兩個規(guī)律：①激振系統(tǒng)的增益為0.5時，不容易進入混沌狀態(tài)，而是在單邊勢阱內(nèi)處于周期1運動；②激振系統(tǒng)增益大于0.95時，系統(tǒng)的動力學(xué)行為非常豐富，可以產(chǎn)生包括混沌在內(nèi)的不同振動模式。為了證實該結(jié)論，在增益為0.5的條件下，改變激勵頻率從10～20 Hz，系統(tǒng)的響應(yīng)都為周期1模式。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在頻率為15～17 Hz，加入小的外部擾動，系統(tǒng)能產(chǎn)生暫態(tài)混沌行為，隨后落入勢阱內(nèi)，處于周期1狀態(tài)。

為了觀察系統(tǒng)的混沌響應(yīng)并進一步證實以上規(guī)律的準(zhǔn)確性，將激振系統(tǒng)的增益固定為1，由小到大增加系統(tǒng)的激勵頻率。當(dāng)頻率為5～10 Hz時，系統(tǒng)處于周期1狀態(tài)；當(dāng)激勵頻率大于10 Hz時，系統(tǒng)的響應(yīng)特征非常豐富：在10～16 Hz時，產(chǎn)生混沌振動；在16.6 Hz時，系統(tǒng)出現(xiàn)周期2行為，如圖8所示，計算其LE為-0.008 5。在17～19 Hz時，又產(chǎn)生并保持穩(wěn)定的混沌運動，如圖9所示。而在高頻時，系統(tǒng)出現(xiàn)了逆分岔行為，由混沌自動進入周期運動，19 Hz時，產(chǎn)生周期3運動，如圖10所示；在19.4 Hz時，產(chǎn)生單勢阱內(nèi)的多周期運動，如圖11所示。此外，還觀察到了一些有趣的現(xiàn)象，在23 Hz時，質(zhì)量塊穿越勢阱壁壘在兩個勢阱之間來回運動，產(chǎn)生了大幅值的多周期振動；在30 Hz激勵時，裝置出現(xiàn)轟鳴聲，系統(tǒng)可能出現(xiàn)了共振現(xiàn)象。越過共振頻率后，振子在單邊勢阱內(nèi)呈周期1運動模式。

圖8 系統(tǒng)產(chǎn)生的周期2振動Fig.8 Periodic 2 motion of the system

圖9 系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌振動Fig.9 Chaotic motion of the system

圖10 激勵頻率為19 Hz系統(tǒng)產(chǎn)生的周期3振動Fig.10 Periodic 3 motion of the system

圖11 激勵頻率為19.4 Hz時系統(tǒng)產(chǎn)生的多周期振動Fig.11 Multi periodic motion of the system

5 結(jié) 論

應(yīng)用多尺度法可以有效求出雙勢阱系統(tǒng)自由振動響應(yīng)的近似解析解，從響應(yīng)表達式中可知系統(tǒng)動力學(xué)行為中存在慢變分量和快變分量，并存在超諧波響應(yīng)。采用平均法得到了系統(tǒng)的幅頻關(guān)系表達式，給出了振動幅值和頻率調(diào)節(jié)因子之間的舌狀結(jié)構(gòu)曲線，揭示了系統(tǒng)的非線性本質(zhì)特征。成功設(shè)計并加工了雙勢阱理論的機械式混沌振動試驗裝置，其意義在于進一步證實了機械系統(tǒng)中不僅能夠產(chǎn)生可以復(fù)現(xiàn)的、穩(wěn)定的混沌振動，而且可以通過試驗獲得混沌參數(shù)區(qū)域，為混沌的工程應(yīng)用研究提供了可靠的試驗手段。

通過實測數(shù)據(jù)的分析，觀察到了試驗中的次諧波現(xiàn)象，它的出現(xiàn)的預(yù)示著混沌產(chǎn)生；觀察到了超諧波現(xiàn)象和混沌現(xiàn)象，同時觀察到了一些有趣的新現(xiàn)象：如系統(tǒng)周期1運動存在兩種模式，一種是在兩個勢阱之間周期振蕩，另一種是陷入某一個勢阱內(nèi)做周期1運動，試驗研究證實了理論分析的有效性。后續(xù)研究中，還需要完成一些工作：如彈片的長度變化與剛度變化對混沌的影響、附加質(zhì)量的改變、多頻激勵、多自由度等因素對系統(tǒng)的影響、多勢阱系統(tǒng)的三維混沌振動、設(shè)計能夠精確控制初始條件的結(jié)構(gòu)以及驗證本項目組編制的混沌在線識別系統(tǒng)。

致謝：

楊慶超講師和Southampton University Solent Institution of Acoustic: Jian Jiang, Chris, Lee, Lawrance的討論。

[ 1 ] ZAMBRANO S，SABUCO J， SANJUAN M A F. How to minimize the control frequency to sustain transient chaos using partial control[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2014，19(3)： 726-737.

[ 2 ] YU Xiang， ZHU Shijian， LIU Shuyong. A new method for line spectra reduction similar to generalized synchronization of chaos[J]. Journal of Sound and Vibration，2007， 306(3/4/5)：835-848.

[ 3 ] 俞翔, 朱石堅, 樓京俊. 基于碰撞振動的隔振系統(tǒng)混沌化實驗研究[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(18): 59-64.

YU Xiang, ZHU Shijian, LOU Jingjun. Tests for chaotification method of a vibration isolation system with a vibro-impact subsystem [J].Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(18): 59-64.

[ 4 ] 龍運佳，楊勇，王聰玲. 基于混沌振動力學(xué)的壓路機工程[J]. 中國工程科學(xué)，2000，2(9)： 76-79.

LONG Yunjia， YANG Yong， WANG Congling. Road roller engineering based on chaotic vibration mechanics[J]. Engineering Science， 2000， 2(9)： 76-79.

[ 5 ] 韓建群，鄭萍.一種簡單的Lorenz混沌振動主動隔振方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2006，128(10)： 1566-1568.

HAN Jianqun，ZHENG Ping. Active control isolation for the Lorenz chaotic vibration with a simple method[J]. Systems Engineering and Electronics， 2006， 128(10)： 1566-1568.

[ 6 ] 高遠，耿兆云，范健文. 汽車懸架系統(tǒng)中混沌振動的自適應(yīng)跟蹤控制研究[J]. 機械設(shè)計與制造, 2013(12)： 198-201.

GAO Yuan，GENG Zhaoyun，F(xiàn)AN Jianwen. Control chaos in automobile suspension system via adaptive tracking control method[J]. Machinery Design & Manufacture， 2013(12)： 198-201.

[ 7 ] 熊懷,孔憲仁,劉源.阻尼對耦合非線性能量阱系統(tǒng)影響研究[J]. 振動與沖擊, 2015, 34(11): 116-121.

XIONG Huai, KONG Xianren, LIU Yuan. Influence of structural damping on a system with nonlinear energy sinks[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(11): 116-121.

[ 8 ] WIERCIGROCH M， SIN V W T, LI K. Measurement of chaotic vibration in a symmetrically piecewise linear oscillator[J]. Chaos Solitons & Fractals， 1998， 9(1)： 209-220.

[ 9 ] 陳立群，劉延柱. 混沌振動系統(tǒng)的開閉環(huán)控制[J]. 應(yīng)用科學(xué)學(xué)報，1999， 17(4)： 445-449.

CHEN Liqun， LIU Yanzhu. The open-plus-closed-loop control for chaotic oscillations[J]. Journal of Applied Sciences， 1999， 17(4)： 445-449.

[10] 韓保紅，馬英忱，閆石. 用Matlab仿真非線性混沌振動的主動隔振研究[J]. 控制與決策， 2003， 18(1)： 120-122.

HAN Baohong，MA Yingchen，YAN Shi. Active control isolation research for a class of nonlinear chaotic vibration systems[J]. Control and Decision， 2003， 18(1)： 120-122.

[11] 韓保紅，閆石，焦耀斌，等.一類非線性混沌振動的主動隔振實驗研究[J]. 噪聲與振動控制，2002， 22(2)： 24-28.

HAN Baohong，YAN Shi，JIAO Yaobin，et al. Active control isolation research for a class of nonlinear chaotic vibration systems[J]. Noise and Vibration Control， 2002， 22(2)：24-28.

[12] 梁山，鄭劍，朱勤，等. 非線性車輛模型混沌振動的仿真與實驗研究[J]. 機械強度，2012， 34(1)： 6-12.

LIANG Shan，ZHENG Jian，ZHU Qin，et al. Numerical and experimental investigations on chaotic vibration of a nonlinear vehicle model over road excitation[J]. Journal of Mechanical Strength， 2012， 34(1)： 6-12.

[13] YOSHIDA K，SATO K, YAMAMOTO S，et al. Charac-terization of chaotic vibration without system equations[J]. International Journal of Non-linear Mechanics， 1997， 32(3)： 547-562.

[14] 任成龍，葛翔. 懸架混沌振動臺的設(shè)計[J].南京工程學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)， 2009， 7(4)： 37-42.

REN Chenglong，GE Xiang. Design of suspension chaotic vibration table[J]. Journal of Nanjing Institute of Technology(Natural Science)， 2009， 7(4)： 37-42.

[15] MOON F C. Chaotic vibrations： an introduction for applied scientists and engineers[M]. New York： Wiley， 1987.

[16] YAN Yan, WANG Wenquan, ZHANG Lixiang. Applied multiscale method to analysis of nonlinear vibration for double-walled carbon nanotubes[J]. Applied Mathematical Modelling, 2011, 35(5): 2279-2289.

[17] MITCHELL L, GOTTWALD G A. On finite-size Lyapunov exponents in multiscale systems[J]. Chaos, 2012, 22(2): 1-26.

[18] OKABE T, KONDOU T, OHNISHI J. Elliptic averaging methods using the sum of Jacobian elliptic delta and zeta functions as the generating solution[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2011, 46(1): 159-169.