李勝利, 王超群, 寧佐強(qiáng), 王東煒

(鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，鄭州 450001)

一般工程界所認(rèn)為的馳振是細(xì)長(zhǎng)物體因氣流自激作用產(chǎn)生的一種純彎曲大幅振動(dòng)，理論上是發(fā)散的，即不穩(wěn)定的[1]。但是人們?cè)谘芯恐邪l(fā)現(xiàn)，馳振現(xiàn)象應(yīng)當(dāng)是一種橫風(fēng)向運(yùn)動(dòng)占主導(dǎo)作用的三自由度運(yùn)動(dòng)[2]，主要發(fā)生在具有非流線型截面的細(xì)長(zhǎng)鈍體結(jié)構(gòu)中。成橋后的主纜截面一般呈圓形，理論上不會(huì)發(fā)生馳振現(xiàn)象。然而施工期暫態(tài)主纜卻并非圓形截面,在不同施工階段截面形狀各異,這使其有發(fā)生馳振失穩(wěn)的可能性。主纜(見(jiàn)圖1)一般由上百根索股組成,每根索 股又由上百根鍍鋅鋼絲組成[3]。其中每根索股的制造可由廠家在工廠完成，但是由索股組裝成主纜的工序卻因主纜截面尺寸過(guò)大而必須在施工現(xiàn)場(chǎng)完成,而且單根索股的架設(shè)時(shí)間有隨著主纜跨徑的增加而有變長(zhǎng)的趨勢(shì)，如東海某大跨徑懸索橋主纜單根索股架設(shè)需要5 h左右。隨著索股架設(shè)工序的推進(jìn),暫態(tài)主纜的截面形狀不斷變化,主纜的馳振性能也在不斷變化。由于主纜在架設(shè)過(guò)程中尚未承受吊索等的約束作用，故而暫態(tài)主纜若在風(fēng)的作用下發(fā)生馳振現(xiàn)象，必然會(huì)有較大的振動(dòng)幅度，嚴(yán)重影響了施工安全性和工人舒適性。這種情況下，停工是在所難免的，因此也嚴(yán)重影響了整個(gè)橋梁架設(shè)的施工進(jìn)度，以東海某大跨徑懸索橋(見(jiàn)圖2)為例，其平均每天索股架設(shè)根數(shù)竟不到一根。因此進(jìn)行懸索橋大尺寸主纜施工期馳振性能研究很有必要。研究表明，由傳統(tǒng)單自由度馳振研究方法得到的臨界風(fēng)速及失穩(wěn)風(fēng)攻角范圍均和實(shí)際觀察到的數(shù)據(jù)有一定程度的出入[4]，這對(duì)有效預(yù)防暫態(tài)主纜馳振失穩(wěn)現(xiàn)象的發(fā)生是不利的，故而有必要進(jìn)一步改進(jìn)馳振分析方法。

圖1 主纜索股牽引形象進(jìn)度圖Fig.1 Visual progress chart of main cable strands

自DenHartog在其橫風(fēng)向馳振模型中，將結(jié)構(gòu)橫風(fēng)向速度引入氣動(dòng)力項(xiàng)中，建立被廣泛運(yùn)用的單自由度馳振分析方法之后[5]，Nigol等[6]又在扭轉(zhuǎn)馳振氣動(dòng)力模型中引入了結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)，Yu等[7]則在豎向扭轉(zhuǎn)兩自由度馳振模型中同時(shí)考慮的結(jié)構(gòu)橫風(fēng)向運(yùn)動(dòng)速度和結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)對(duì)相對(duì)風(fēng)速的影響。國(guó)內(nèi)的徐風(fēng)云等[8]指出施工期強(qiáng)風(fēng)作用下主纜具有三維振動(dòng)特征，即橫向、豎向和縱向復(fù)合振動(dòng)，另外兩根主纜三維振動(dòng)具有不同步振動(dòng)的特性等等；李勝利等則基于暫態(tài)主纜可能發(fā)生馳振失穩(wěn)的理論，采用CFD 數(shù)值模擬和有限元數(shù)值計(jì)算的研究方法，分析得到了東海某大跨徑懸索橋主纜施工期各工況可能發(fā)生馳振失穩(wěn)的風(fēng)攻角范圍。

已有的研究多是基于單自由度馳振研究方法，即便涉及到主纜馳振的多自由度特征，也僅僅是定性的分析，未能定量的提出一個(gè)同時(shí)考慮暫態(tài)主纜不同方向運(yùn)動(dòng)及其相互影響作用的模型?；诖耍疚慕⒘艘粋€(gè)同時(shí)考慮暫態(tài)主纜橫風(fēng)向運(yùn)動(dòng)及順風(fēng)向運(yùn)動(dòng)的二自由度馳振模型，借用Routh-Hurwitz代數(shù)判據(jù)[9]推導(dǎo)得到了該模型下的臨界失穩(wěn)狀態(tài)方程?；跂|海某大跨徑懸索橋的工程實(shí)例，運(yùn)用本文推導(dǎo)的兩自由度馳振分析模型，計(jì)算得出施工期主纜的馳振臨界風(fēng)速，并和登哈托準(zhǔn)則進(jìn)行對(duì)比分析。

圖2 東海某大跨徑懸索橋總體布置圖Fig.2 General layout of the suspension bridge

1 懸索橋施工期暫態(tài)主纜馳振分析方法

按相對(duì)攻角變化所建立的氣動(dòng)自激力理論，忽略了物體周?chē)嵌ǔＡ鲌?chǎng)的存在，因而是將氣流視為定常的，這種理論可以稱(chēng)之為準(zhǔn)定常理論，相應(yīng)的氣動(dòng)力則稱(chēng)為準(zhǔn)定常力。實(shí)踐證明，在靜態(tài)條件下所得到的三分力系數(shù)隨風(fēng)攻角變化的曲線，已經(jīng)足以作為建立馳振現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)，即馳振基本上是由準(zhǔn)定常力控制的。傳統(tǒng)的單自由度馳振模型以及本文即將提出的二自由度馳振模型均是以準(zhǔn)定常理論為基礎(chǔ)的。

1.1 單自由度馳振模型

假設(shè)均勻流以攻角α、速度Uα流過(guò)一個(gè)暫態(tài)主纜的的斷面(見(jiàn)圖3)。

圖3 纜索上的升力與阻力Fig.3 Lift and drag forces on main cable

圖3中所示主纜斷面的豎向振動(dòng)方程可表示為

(1)

(2)

(3)

1.2 二自由度馳振模型

一般情況下，暫態(tài)主纜的馳振響應(yīng)包括水平向(順風(fēng)向)、豎向(橫風(fēng)向)和扭轉(zhuǎn)三個(gè)自由度的分量，但大多以橫風(fēng)向運(yùn)動(dòng)為主。因此在橋梁的抗風(fēng)設(shè)計(jì)中一直沿用傳統(tǒng)的單自由度DenHartog判據(jù)，這對(duì)小跨徑的橋梁施工而言，計(jì)算精度已經(jīng)達(dá)到工程實(shí)踐的需求。李永樂(lè)等[12]在研究懸索橋施工期馳振時(shí)，發(fā)現(xiàn)多自由度分析方法較單自由度馳振模型能更真實(shí)地反映主纜的馳振性能。

僅就單根主纜而言，由于各根索股緊密排列，因而可認(rèn)為扭矩引起的扭轉(zhuǎn)偏量很小。本文暫且忽略因截面扭轉(zhuǎn)引起的相對(duì)風(fēng)速改變?？山⑼瑫r(shí)考慮主纜橫風(fēng)向和順風(fēng)向運(yùn)動(dòng)的氣動(dòng)力模型，如圖4所示。

圖4 暫態(tài)主纜二自由度馳振分析模型Fig.4 Two-degree-of-freedom model for galloping of main cable

x-o-y為體軸坐標(biāo)系，L-O-D為風(fēng)軸坐標(biāo)系。相對(duì)風(fēng)速及風(fēng)攻角之間的關(guān)系可表示為[13]

(4)

在風(fēng)軸坐標(biāo)系下，阻力及升力可分別表示為

根據(jù)幾何關(guān)系，將其轉(zhuǎn)換為體軸坐標(biāo)系下的阻力及升力，轉(zhuǎn)換關(guān)系為

Fx=FDcos(αr)-FLsin(αr)
Fy=FDsin(αr)+FLcos(αr)

(5)

式中：α=α0+αr為總的風(fēng)攻角；α0為初始風(fēng)攻角；CD(α)和CL(α)為阻力系數(shù)和升力系數(shù)；ρ為主纜所在處的空氣密度；D為主纜的特征寬度(取迎風(fēng)面寬度，即截面的高度)；Fx、Fy分別為體軸坐標(biāo)系下的水平力和豎向力。

(6)

由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[14]知識(shí)可知，暫態(tài)主纜兩自由度運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(7)

式中：mx、my分別為x、y方向的系統(tǒng)單位質(zhì)量；cx、cy分別為x、y方向的系統(tǒng)阻尼；kx、ky分別為x、y方向的系統(tǒng)剛度。

將式(6)代入式(7)中，可得

(8)

式(8)可合并同類(lèi)項(xiàng)，整理之后簡(jiǎn)化為

(9)

其中，

(10)

顯而易見(jiàn)，式(10)中，耦合因子Gx、Gy、Gz很難同時(shí)為零。根據(jù)文獻(xiàn)[13]可初步判斷，同覆冰導(dǎo)線一樣，暫態(tài)主纜一旦發(fā)生馳振，必然會(huì)有水平豎向耦合現(xiàn)象的發(fā)生。

下面建立微分方程式(9)對(duì)應(yīng)的特征方程

假設(shè)x(t)=Xest，y(t)=Yest則式(10)可化為

(11)

約去公因子est，可得

(12a)

(12b)

s4+2(ωxζx+ωyζy)s3+(ωx+ωy+4ωxωyζxζy+GxGy)s2

(13)

像式(9)這種解耦困難的復(fù)雜多自由度體系運(yùn)動(dòng)方程可借助代數(shù)判據(jù)來(lái)判斷系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，本文采用Routh-Hurwitz判據(jù)，其本質(zhì)反映了特征方程系數(shù)與其特征根之間的關(guān)系。

式(13)所對(duì)應(yīng)的胡爾維茨矩陣為

(14)

其中，

H4=1,H3=2(ωxζx+ωyζy),

(15)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為Δi>0，i=0, 1, 2, 3。

其中，Δi為胡爾維茨系數(shù)矩陣D的各階主子行列式值，即

(16)

展開(kāi)后，可得

Δ1=H3=2(ωxζx+ωyζy),

(ωxζx+ωyζy)(8ωxωyζxζy+2GxGy)-GxGz,

(ωxζx+ωyζy)(8ωxωyζxζy+2GxGy)-GxGz)×

(ωxζx+ωyζy)(8ωxωyζxζy+2GxGy)-GxGz)×

(17)

式中：ωx、ωy分別為x、y方向的結(jié)構(gòu)圓頻率，ωx=2πfx、ωy=2πfy；fy、fx則分別為結(jié)構(gòu)兩個(gè)振動(dòng)方向的自振頻率，可通過(guò)建立有限元模型進(jìn)行動(dòng)力特性分析得到；ζx、ζy為兩個(gè)方向的結(jié)構(gòu)阻尼比，本文中取一般值1%[15]。

根據(jù)文獻(xiàn)[13], 通過(guò)求解Δi=0臨界狀態(tài)方程便可以得到暫態(tài)主纜系統(tǒng)的馳振臨界風(fēng)速。

2 工程實(shí)例分析

本文以東海某大跨徑懸索橋施工期主纜為工程實(shí)例分析對(duì)象，選取其中四個(gè)典型工況(見(jiàn)圖5),這四種典型工況可分別代表主纜施工過(guò)程中的下部三角形截面工況、中部五邊形截面工況以及頂部尖頂型截面工況。

圖5 施工期主纜四種典型工況截面Fig.5 Different working conditions of transient main cables during construction

2.1 馳振力系數(shù)的數(shù)值計(jì)算

考慮到實(shí)際風(fēng)洞試驗(yàn)周期長(zhǎng)、設(shè)備要求高等缺點(diǎn)，本文采用計(jì)算流體軟件Fluent計(jì)算四種典型工況主纜在風(fēng)攻角-5°～+5°內(nèi)的氣動(dòng)力系數(shù)。數(shù)值模型考慮貓道對(duì)暫態(tài)主纜的影響，具體計(jì)算設(shè)置與文獻(xiàn)[16]一致。計(jì)算得到四種典型工況下對(duì)應(yīng)不同風(fēng)攻角的阻力、升力系數(shù)變化曲線如圖6～圖9所示。

由DenHartog判據(jù)可知，馳振力系數(shù)A<0是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定的必要條件，如此可初步推斷表1中出現(xiàn)負(fù)值的工況、風(fēng)攻角組合下，有可能發(fā)生馳振失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖6 工況1的升力系數(shù)、阻力系數(shù)及馳振力系數(shù)Fig.6 The lift, drag, and galloping coefficients of case 1

圖7 工況2的升力系數(shù)、阻力系數(shù)及馳振力系數(shù)Fig.7 The lift, drag, and galloping coefficients of case 2

圖8 工況3的升力系數(shù)、阻力系數(shù)及馳振力系數(shù)Fig.8 The lift, drag, and galloping coefficients of case 3

圖9 工況4的升力系數(shù)、阻力系數(shù)及馳振力系數(shù)Fig.9 The lift, drag, and galloping coefficients of case 4

表1 暫態(tài)主纜各工況不同風(fēng)攻角情況下的馳振力系數(shù)

2.2 暫態(tài)主纜動(dòng)力特性有限元計(jì)算

采用ANSYS建立東海某大跨徑懸索橋橋塔、貓道及主纜的有限元模型(見(jiàn)圖10)?？紤]預(yù)應(yīng)力的影響，提取各典型工況前10階自振頻率及振型如表2所示。

圖10 東海某大跨徑懸索橋施工期有限元模型Fig.10 Finite element model of the suspension bridge during construction

表2 暫態(tài)主纜各工況不同風(fēng)攻角情況下的馳振力系數(shù)

2.3 兩種模型下馳振臨界風(fēng)速對(duì)比分析

由表1可知，工況1下可能發(fā)生馳振失穩(wěn)的風(fēng)攻角范圍為-1°～2°，工況2下可能發(fā)生馳振失穩(wěn)的風(fēng)攻角范圍為2°～4°，工況3、工況4由于為主纜施工后期工況，沒(méi)有出現(xiàn)馳振力系數(shù)小于零的情況。為了方便比較，不妨將上述可能發(fā)生失穩(wěn)的情況列為六組組合，如表3所示。

表3 可能發(fā)生馳振失穩(wěn)的工況、風(fēng)攻角組合

本文選取(f1，f3)及(f2, f4)兩種模態(tài)組合的自振頻率作為二自由度馳振模型的計(jì)算頻率；單自由度馳振模型則可取各工況的第一階橫風(fēng)向(豎向)自振頻率f3作為計(jì)算頻率；主纜阻尼比ζ可根據(jù)相關(guān)經(jīng)驗(yàn)取為1%；各工況主纜單位長(zhǎng)度質(zhì)量m分別為：862.79 kg/m、1 941.28 kg/m；；特征寬度D分別為：0.25 m、0.42 m。分別運(yùn)用傳統(tǒng)單自由度模型和兩種不同模態(tài)組合下的二自由度馳振模型計(jì)算表3中所給的六種可能發(fā)生馳振失穩(wěn)情況下的馳振臨界風(fēng)速。由于采用二自由度馳振模型計(jì)算馳振臨界風(fēng)速時(shí)需要用到Routh-Hurwitz判據(jù)，計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜且容易出錯(cuò)，現(xiàn)以1號(hào)組合為例，取(f1，f3)模態(tài)組合簡(jiǎn)要介紹一下其計(jì)算過(guò)程。表4為Routh-Hurwitz判據(jù)所需的計(jì)算參數(shù)。

表4 計(jì)算參數(shù)

將表4中的H0,H1,H2,H3及H4代入Hurwitz系數(shù)矩陣，可得出該系數(shù)矩陣的各階主子行列式

Δ1=H3=0.017 379 667；

Δ2=H3H2-H1H4=0.004 287 536+0.017 379 667×

(-1.745 58E-010×U2)-1.759 18E-009×U3；

Δ3=H1(H3H2-H1H4)=1.263 05E-005+

5.11 981E-005GxGy+0.001 341 674GxGz+

0.017 379 667×GxGz×GxGy-GxGzGxGz；

Δ4=H0×Δ3

(18)

由上文可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

Δi>0,i=0, 1, 2, 3, …,

因此只需分別令Δ1,Δ2,Δ3和Δ4等于零，即可解得馳振臨界風(fēng)速Ug。

由于H0H3均為常數(shù)，只需以下兩式成立

H1=0.002 9+1.759 2E-009×U3=0

(19)

H3H2-H1H4=0.004 287 54+0.017 379 67×

(-1.745 58E-010×U2)-1.759 18E-009×U3

(20)

解得Ug=U=134.58 m/s。

表5為所有組合采用單自由度模型和兩自由度模型計(jì)算所得的馳振臨界風(fēng)速。

由表5可知，兩自由度模型計(jì)算方法分別采用兩種不同振型組合的計(jì)算結(jié)果差別很小，這是因?yàn)閮煞N振型組合的自振頻率十分接近，由此可以預(yù)見(jiàn)采用前四階振型f1,f2，f3,f4所對(duì)應(yīng)的四種振型組合(f1,f2)、(f1,f3)、(f2,f3)和(f2,f4)所得的馳振臨界風(fēng)速差別很小，因此下面只取兩自由度模型的振型組合(f1,f3)對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果與單自由度模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，圖11為兩種計(jì)算方法所得臨界風(fēng)速。

表5 兩種計(jì)算模型計(jì)算結(jié)果

圖11 兩種馳振模型計(jì)算所得馳振臨界風(fēng)速對(duì)比Fig.11 The galloping critical wind speed calculated by the two models

由圖11可知，對(duì)于可能發(fā)生馳振的七組工況，其中六組用本文介紹的兩自由度計(jì)算方法比用傳統(tǒng)單自由度方法計(jì)算所得的馳振臨界風(fēng)速高。即兩自由度分析方法分析所得相同風(fēng)速下主纜發(fā)生馳振的可能性更小，更加安全。

對(duì)比兩種分析方法，Den Hartog單自由度馳振理論只考慮質(zhì)點(diǎn)橫風(fēng)向的上下振動(dòng)，不考慮橫橋向的振動(dòng)，與實(shí)際觀察到的主纜馳振現(xiàn)象有一定差異；本文兩自由度馳振分析方法和文獻(xiàn)[13]關(guān)于覆冰導(dǎo)線的兩自由度馳振分析類(lèi)似，考慮了豎向和橫橋向多種模態(tài)的耦合振動(dòng)。研究者在不考慮貓道氣動(dòng)干擾效應(yīng)的主纜馳振時(shí)域分析中，也指出多自由度分析方法更加貼近現(xiàn)實(shí)情況，較單自由度馳振模型能更真實(shí)地反映主纜的馳振性能。因此，用傳統(tǒng)單自由度方法分析主纜馳振時(shí)所得結(jié)論偏不安全，可能對(duì)是否發(fā)生馳振產(chǎn)生誤判。

3 結(jié) 論

(1)基于本文提出的主纜馳振兩自由度分析方法，取主纜前四階振型，共有四組兩自由度振型組合，對(duì)四組振型組合分別計(jì)算所得四組馳振臨界風(fēng)速差別很小。

(2)由于多自由度分析方法更為接近實(shí)際情況，較單自由度馳振模型能更真實(shí)地反映主纜的馳振性能，其計(jì)算結(jié)果可信度更高。

(3)兩自由度分析方法比傳統(tǒng)單自由度計(jì)算方法所得馳振臨界風(fēng)速大，傳統(tǒng)單自由度方法對(duì)主纜的馳振分析存在誤判的可能性。

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