，，,2

(1.浙江理工大學(xué) 理學(xué)院，杭州 310018；2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，上海 200433)

0 引 言

隨著科技不斷發(fā)展，人們對服裝的要求不斷提升，它不僅可以起到美觀的效果，還具有防水、保暖、透濕等功能。近年來，如何優(yōu)化服裝性能，使其在惡劣環(huán)境下為人類提供保護(hù)、維持人體熱濕舒適性，是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題之一。采用數(shù)值方法來優(yōu)化服裝性能，可幫助服裝面料設(shè)計(jì)者和生產(chǎn)商縮短研發(fā)周期、節(jié)省研發(fā)成本。

國內(nèi)外許多學(xué)者研究了服裝熱濕傳遞問題。最初的研究很少涉及相變，如：Ogniewicz等[1]在只考慮熱傳導(dǎo)和對流的情況下，最先分析了當(dāng)液相水處于一個(gè)擺動狀態(tài)時(shí)，熱濕傳遞過程中的冷凝；Shapiro等[2]對多孔面料中移動狀態(tài)水的冷凝進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)可將其歸結(jié)為一個(gè)快速穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)行考慮；Murata[3]在考慮重力和對流所傳遞的熱量的情況下，對溫度達(dá)到100 ℃時(shí)紡織材料熱濕傳遞中冷凝速率的變化進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究；Bouddour等[4]考慮到紡織材料的吸濕性，利用周期性結(jié)構(gòu)均勻化漸近的方法，分析了濕潤狀態(tài)下紡織材料熱濕傳遞過程中水的蒸發(fā)和冷凝的現(xiàn)象；Fan等[5-7]結(jié)合熱力學(xué)等物理規(guī)律，對織物內(nèi)傳導(dǎo)、輻射以及相變等進(jìn)行相關(guān)探討研究，建立了動態(tài)的織物熱濕傳遞模型，并將數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)兩者結(jié)果比較吻合，從而說明初始時(shí)刻水的含量以及水的相變對整個(gè)熱濕傳遞過程熱量的傳遞影響很大。

熱濕傳遞的正問題是根據(jù)織物熱濕傳遞微分方程及其邊界條件，來求出織物內(nèi)部溫度和水汽濃度的分布，而反問題是基于熱濕傳遞數(shù)學(xué)模型和一定的設(shè)計(jì)目的，來反演織物的物理或幾何性質(zhì)。關(guān)于反問題的研究結(jié)果相對較少，主要研究有：Du等[8-9]在低溫條件下，提出了一個(gè)包含熱傳導(dǎo)和輻射的紡織材料的熱濕傳遞模型，根據(jù)織物的保暖性，即熱量損失最少，來決定織物的最優(yōu)孔隙率；Korycki[10]采用一個(gè)較簡單的三層織物熱濕耦合模型，根據(jù)服裝的保暖性能來最優(yōu)決定三層織物的厚度；Xu等[11-14]采用一個(gè)動態(tài)的熱濕傳遞模型，根據(jù)服裝熱濕舒適性，即人體皮膚與服裝內(nèi)側(cè)間的微氣候區(qū)的舒適溫度和濕度區(qū)間，來提出織物熱濕傳遞參數(shù)決定反問題，該熱濕舒適性區(qū)間只適合靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)人體處于運(yùn)動狀態(tài)時(shí)，該舒適性指標(biāo)不再適用，因此按此指標(biāo)構(gòu)造的反問題具有一定的局限性。本文以Fan等[6]提出的熱濕傳遞模型為基礎(chǔ)，以保暖透濕性最佳為目的，利用服裝的透濕指數(shù)來構(gòu)造反問題，從而決定紡織材料的最優(yōu)孔隙率，并說明孔隙率取值對保暖透濕性的影響。

本文首先根據(jù)文獻(xiàn)[6]改進(jìn)了低溫條件下紡織材料動態(tài)熱濕傳遞數(shù)學(xué)模型，采用有限差分對該模型進(jìn)行數(shù)值求解，并證明了數(shù)值解的存在唯一性；然后根據(jù)低溫條件下服裝的保暖透濕性，提出了決定紡織材料最優(yōu)孔隙率的反問題；最后采用遺傳算法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并與函數(shù)圖形最優(yōu)解進(jìn)行對比，以驗(yàn)證遺傳算法結(jié)果的可靠性。

1 正問題

本節(jié)給出由人體皮膚-織物-環(huán)境所組成的系統(tǒng)的一個(gè)動態(tài)熱濕傳遞模型，然后采用有限差分法對其進(jìn)行數(shù)值求解，并給出解的存在唯一性定理。

1.1 動態(tài)熱濕傳遞模型

首先給出人體皮膚-織物-環(huán)境系統(tǒng)的一個(gè)動態(tài)熱濕傳遞模型，如圖1所示。該模型中，織物由內(nèi)外層以及中間層織物構(gòu)成。內(nèi)層織物挨近人體皮膚，外層織物靠近外界環(huán)境。在整個(gè)系統(tǒng)中，內(nèi)層織物和外層織物邊界之間存在較大的溫度差，因此在中間織物和內(nèi)外層織物內(nèi)均存在熱量傳遞，如熱傳導(dǎo)、輻射等。由于內(nèi)外層之間存在水汽的濃度差，因此能量也會伴隨著水汽的擴(kuò)散而變化。

L表示中間織物厚度；l1表示內(nèi)層織物厚度；l2表示外層織物厚度；T0表示人體皮膚溫度；Te表示環(huán)境溫度；RH0表示人體皮膚相對濕度；RHe表示環(huán)境相對濕度圖1 人體皮膚-服裝-環(huán)境系統(tǒng)

該模型基于如下假設(shè)：

a) 多孔織物內(nèi)部纖維是同向性；

b) 忽略由水含量變化所引起的織物體積的變化；

c) 熱濕傳遞模型中，不考慮外界的風(fēng)速以及整個(gè)系統(tǒng)的對流熱；

d) 相對中間織物纖維，兩邊織物層的厚度很小，可忽略不計(jì)。

由能量守恒定律、質(zhì)量守恒定律，可得出如下織物內(nèi)關(guān)于溫度、水汽濃度以及輻射熱耦合的偏微分方程組[13]：

(1)

式中：T(x,t)為織物內(nèi)的溫度；Ca(x,t)為織物孔隙間的水汽濃度；FL(x,t)和FR(x,t)分別為往左和往右所傳遞的熱輻射；Γ(x,t)為水的相變速率；Cv(x,t)為織物體積熱容量；k(x,t)為織物的等效熱傳導(dǎo)；λ(x,t)為織物相變的潛伏熱系數(shù)；β為吸收常數(shù)；σ為波爾茲曼常數(shù)；ε為織物孔隙率；ζ為織物的曲折系數(shù)；Da為空氣中水汽擴(kuò)散系數(shù)；

ΩT:={(x,t)∈R2:x∈(0,L),t∈(0,Tt)}；

Tt為總時(shí)間。

初始條件為：

(2)

關(guān)于輻射的邊界條件為：

(3)

式中：ξ1、ξ2分別為織物的向左、向右輻射系數(shù)。

關(guān)于溫度的邊界條件為：

(4)

關(guān)于水汽濃度的邊界條件為：

(5)

式中：T0、Te分別為人體皮膚、環(huán)境的溫度；R0、R1分別為內(nèi)層織物、外層織物的熱阻；Ht為外層織物外表面與環(huán)境的對流熱傳遞系數(shù)；Ca0、Cae分別為人體皮膚、外界環(huán)境的水汽濃度；w0、w1分別為內(nèi)層織物、外層織物的濕阻；Hc外層織物外表面與環(huán)境的水汽傳遞對流系數(shù)。

文獻(xiàn)[13]中，有關(guān)溫度和水汽濃度的邊界條件均為第一類邊界條件，忽略了皮膚和織物內(nèi)層間的微氣候區(qū)。本文采用文獻(xiàn)[6]中的第三類邊界條件，既考慮了微氣候區(qū)對織物中熱濕傳遞的影響，又不受微氣候區(qū)厚度的影響。

方程(1)中，熱傳導(dǎo)k(x,t)計(jì)算如下：

k(x,t)=εka+(1-ε)(kf+kw),

式中：ka為織物內(nèi)空氣的熱傳導(dǎo)，kf為織物纖維的熱傳導(dǎo)，kw為織物內(nèi)水的熱傳導(dǎo)。

相變項(xiàng)Γ(x,t)滿足如下偏微分方程：

(6)

其中：

(7)

為飽和水蒸汽濃度。式(8)中飽和水蒸汽壓強(qiáng)Vap(T)是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合而得，其計(jì)算公式[15]為：

(8)

織物內(nèi)部和空隙之間的總含水量為：

(9)

式中：ρ為織物的密度。

此外，織物空隙間的相對濕度RH(x,t)，可表示為：

(10)

結(jié)合初邊值條件(2)—(5)，通過求解熱濕傳遞模型(1)，得到織物內(nèi)部溫度和水汽濃度隨時(shí)間、厚度變化的過程，稱為正問題求解。

1.2 正問題的有限差分格式及解的唯一性

下面采用有限差分求解正問題。結(jié)合初邊界條件，首先解耦方程(1)，可得：

(11)

其中：

λ(x,t)Γ(x,t),

(12)

(13)

(14)

其中：

1≤i≤N-1，1≤j≤M-1.

最后，可得溫度、水汽濃度的初邊界條件的離散格式：

(15)

(16)

利用有限差分格式(12)—(16)，可求得正問題的數(shù)值解，從而得到織物內(nèi)部溫度和水汽濃度的分布。

定理偏微分方程(1)的差分格式解存在且唯一。

證明：結(jié)合初邊值條件(15)和(16)，偏微分方程(1)的差分格式在j+1時(shí)刻關(guān)于溫度的線性方程組為：

(17)

在j+1時(shí)刻關(guān)于水汽濃度的線性方程組為：

(18)

可利用數(shù)學(xué)歸納法證明線性方程組(17)解的存在唯一性。

同理可證線性方程組(18)解的存在唯一性。

證畢。

1.3 正問題的數(shù)值模擬

下面給出一個(gè)正問題的數(shù)值例子。假定人體皮膚溫度為35 ℃，相對濕度為96%；環(huán)境溫度為-20 ℃，相對濕度為90%?？椢锏某跏紲囟萒0(x)=20 ℃。數(shù)值模擬參數(shù)值見表1和表2[7]。

表1 聚丙烯的參數(shù)值

表2 數(shù)值模擬參數(shù)值

結(jié)合表1、表2所給定的參數(shù)值，根據(jù)離散格式(12)—(16)，可分別計(jì)算織物內(nèi)部的溫度和水汽濃度隨時(shí)間、厚度的分布情況，如圖2所示。由圖2可看出，織物內(nèi)的溫度和水汽濃度從里到外隨厚度的增加不斷下降均沿厚度方向不斷下降，這與實(shí)際情況相符。

圖2 織物內(nèi)溫度、水汽濃度分布

2 紡織材料孔隙率最優(yōu)決定反問題

2.1 反問題的提法及對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)

服裝的熱濕傳遞性能主要依賴于一些物理或幾何等參數(shù)，如紡織材料的厚度、孔隙率、曲折系數(shù)以及纖維的親水性等?？紫堵适怯绊懛b內(nèi)水和能量傳遞的重要參數(shù)，相同材料不同孔隙率的服裝可能具有完全不同的熱濕性能?？紤]到孔隙率的重要性，本文以織物的保暖透濕性為目的，來確定織物最優(yōu)孔隙率。

Xu等[11-14]是根據(jù)服裝熱濕舒適性區(qū)間，即人體皮膚與服裝內(nèi)側(cè)間的微氣候區(qū)的舒適溫度和濕度區(qū)間，來構(gòu)造反問題。該熱濕舒適性指標(biāo)只適用于靜止?fàn)顟B(tài)，具有一定的局限性。本文根據(jù)保暖透濕性最佳來構(gòu)造反問題，用透濕指數(shù)這一指標(biāo)來衡量織物保暖透濕性，其與熱阻和濕阻的比值成正比[16]：

(19)

式中：Pi為織物透濕指數(shù)，S為濕度常數(shù)(0.015 K/Pa)，Rt代表熱阻，Rw代表濕阻，且有[17]：

(20)

式中：PS0、PSe分別為皮膚、環(huán)境處的飽和壓強(qiáng)，Pe為環(huán)境處任意壓強(qiáng)，RHe為環(huán)境任意相對濕度，Qdry、Qwet分別為干燥、濕潤條件下的總熱通量，MTol為總質(zhì)通量。

低溫條件下，當(dāng)熱阻不斷變大時(shí)，織物散失的熱量將逐漸減少，從而起到保暖的效果；當(dāng)濕阻不斷變小時(shí)，織物的通透性能逐漸增強(qiáng)，從而達(dá)到透濕的目的。因此，當(dāng)熱阻變大、濕阻變小時(shí)，透濕指數(shù)將隨之增大，織物保暖透濕性也就越佳。本文根據(jù)透濕指數(shù)的最大值來最優(yōu)決定孔隙率，從而保證織物的最佳保暖透濕性。

假設(shè)給定人體皮膚和外界環(huán)境的溫度，及其相對濕度?？椢锏睦w維孔半徑、曲折系數(shù)等材料結(jié)構(gòu)和導(dǎo)熱系數(shù)等類型參數(shù)均已知。結(jié)合低溫條件下紡織材料熱濕傳遞模型，根據(jù)最大透濕指數(shù)來最優(yōu)決定孔隙率，從而保證織物的最佳保暖透濕性。

根據(jù)上述提法，可構(gòu)造反問題目標(biāo)函數(shù)求解最優(yōu)孔隙率ε*，使Pi(ε)達(dá)到最大值，即

(21)

根據(jù)熱濕傳遞的規(guī)律及傅里葉定律，可得靠近人體皮膚織物的熱流、質(zhì)流密度，對其求積分可得總熱通量、總質(zhì)通量分別為：

(22)

將式(20)、(22)代入式(19)中，可得

2.2 反問題的數(shù)值模擬

下面給出兩個(gè)反問題數(shù)值實(shí)例。假定人體皮膚溫度為35 ℃，相對濕度為96%；環(huán)境溫度為-20 ℃，相對濕度為90%?？椢锏某跏紲囟萒0(x)=20 ℃。聚丙烯和纖維膠的參數(shù)值見表3。

表3 材質(zhì)參數(shù)值

本文運(yùn)用遺傳優(yōu)化算法求解最優(yōu)孔隙率。遺傳算法最初由美國Michigan大學(xué)J. Holland教授在1975年提出，是一種用來模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇和遺傳機(jī)理的生物進(jìn)化過程的隨機(jī)性算法。該方法不依賴于初始值的選擇，且在一定條件下，可收斂到優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

遺傳算法計(jì)算步驟如下：

a) 隨機(jī)創(chuàng)建初始種群；

b) 確定每個(gè)個(gè)體的約束條件和目標(biāo)函數(shù)；

c) 給所有可行解分配適應(yīng)值，根據(jù)適應(yīng)值來選擇父輩；

d) 由父輩產(chǎn)生子輩(交叉和變異)；

e) 子輩代替當(dāng)前種群，類似形成下一輩；

f) 重插子輩，重復(fù)b)—f)，找到最優(yōu)個(gè)體種群；

g) 滿足停止準(zhǔn)則，停止算法。

遺傳算法的參數(shù)定義如下：種群大小或個(gè)體數(shù)目Nind=50，個(gè)體長度Lind=10，變量個(gè)數(shù)Nvar=1，每個(gè)變量用25位的二進(jìn)制表示，變量的取值范圍為[0.5，1.0]，最大遺傳次數(shù)MAXGEN=100，遺傳代溝為GGAP=0.9。

為了與遺傳算法結(jié)果相比較，首先根據(jù)目標(biāo)函數(shù)，繪出孔隙率在[0，1.0]區(qū)間所對應(yīng)的透濕指數(shù)。選取聚丙烯、纖維膠進(jìn)行數(shù)值模擬，所得結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知，無論是選取聚丙烯還是纖維膠，隨著孔隙率的不斷增大，透濕指數(shù)均是先增加后減小。說明在低溫條件下，當(dāng)孔隙率不斷增大時(shí)，干空氣不斷增多，阻熱值不斷增強(qiáng)，織物就越保暖，但當(dāng)熱阻值增大到一定程度時(shí)，織物的透氣性就會下降。因此，孔隙率為0.784時(shí)保暖、透氣性最佳。為了得到更高精度的孔隙率，也為了研究多層結(jié)構(gòu)孔隙率決定反問題，本文進(jìn)一步利用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解，并和圖形結(jié)果進(jìn)行比較。

圖3 不同材質(zhì)透濕指數(shù)隨孔隙率變化的關(guān)系

材質(zhì)圖形結(jié)果遺傳算法誤差聚丙烯0.7840.78320.008纖維膠0.7840.79880.015

從表4可看出，兩材質(zhì)孔隙率誤差分別為0.008、0.015，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與圖形結(jié)果比較吻合，說明遺傳算法的有效性，可將其運(yùn)用到雙層及多層織物結(jié)構(gòu)中。同時(shí)也說明，透濕指數(shù)這一指標(biāo)選取的合理性與廣泛適用性。

3 結(jié) 論

本文給出了一個(gè)第三類邊界條件的動態(tài)熱濕傳遞模型，及其數(shù)值解的存在唯一性證明。本文基于該數(shù)學(xué)模型，以最佳保暖透濕性為目的，根據(jù)透濕指數(shù)提出了單層織物最優(yōu)決定孔隙率的反問題，為保暖服的孔隙率取值問題提供了一定的理論依據(jù)。熱濕舒適性指標(biāo)是一個(gè)靜態(tài)指標(biāo)，而透濕指數(shù)無論是對靜態(tài)還是動態(tài)情況都適用，因此本文中提出的反問題比采用熱濕舒適性指標(biāo)構(gòu)造反問題更具適用性。本文只給出單層織物孔隙率決定反問題，可將其推廣至雙層或多層織物孔隙率組決定反問題，以及熱傳導(dǎo)、曲折系數(shù)等其他參數(shù)決定反問題。

[1] Ogniewicz Y, Tien C L. Analysis of condensation in porous insulation[J]. Heat Mass Transfer,1981,24(3):421-429．

[2] Shapiro A P, Motakef S. Unsteady heat and mass transfer with phase change in porous slab: analytical solution and experimental results[J]. Heat Mass Transfer,1990,33(1):163-173．

[3] Murata K. Heat and mass transfer with condensation in a fibrous insulation slab bounded on one side by a cold surface[J]. Heat Mass Transfer,1995,38(17):3253-3262．

[4] Bouddour A, Auriault J L, et al. Heat and mass transfer in wet porous media in presence of evaporation-condensation[J]. Heat Mass Transfer,1998,41(15):2263-2277．

[5] Fan J T, Cheng X Y. Heat and moisture transfer with sorption and phase change through clothing assemblies, part I: experimental investigation[J]. Textile Research Journal,2005,75(2):99-105．

[6] Fan J T, Luo Z X, Li Y. Heat and moisture transfer with sorption and condensation in porous clothing assemblies and numerical simulation[J]. Heat Mass Transfer,2000,43(16):2989-3000．

[7] Fan J T, Wen X H. Modeling heat and moisture transfer through fibrous insulation with phase change and mobile condensates[J]. Heat Mass Transfer,2002,45(19):4045-4055．

[8] Du N, Fan J T, Wu H J. Optimum porosity of fibrous porous materials for thermal insulation[J]. Fibers and Polymers,2008,9(1):27-33．

[9] Du N, Fan J T, et al. Optimum porosity distribution of fibrous insulation[J]. Heat and Mass Transfer,2009,52(19-20):4350-4357．

[10] Korycki R. Method of thickness optimization of textile structures during coupled heat and mass transport[J]. Fibres and Textiles in Eastern Europe,2009,17(1):33-38.

[11] 徐定華,葛美寶,陳瑞林.基于服裝舒適性的紡織材料設(shè)計(jì)反問題[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2012,26(3):332-341．

[12] Xu D H, Ge M B. Thickness determination in textile material design: dynamic modeling and numerical algorithms[J]. Inverse Problem,2012,28(3):35011-35032．

[13] Xu D H, Chen Y B, et al. Type design for textile materials under low temperature: Modeling, numerical algorithm and simulation[J]. Heat Mass Transfer,2013,60(1):582-590．

[14] Xu Y H, Xu D H, Zhang L P, et al. A new inverse problem for the determination of textile fabrics thickness[J]. Inverse Problems in Science and Engineering,2015,23(4):635-650．

[15] Ye C, Huang H, Fan J T, et al. Numerical study of heat and moisture transfer in textile materials by a finite volume method[J]. Communications in Computational Physics,2008,4(4):929-948．

[16] Havenith G, Heus R, Lotens W. Clothing ventilation, vapor resistance and permeability index: changes due to posture, movement and wind[J]. Ergonomics,1990,33(8):989-1005．

[17] Ding D, Tang T, Song G W, et al. Characterizing the performance of a single-layer fabric system through a heat and mass transfer model: Part I: Heat and mass transfer model[J]. Textile Research Journal,2011,81(9):398-411．