江蘇南京市溧水區(qū)東廬中學小學部 張友國

史寧中教授認為：“數(shù)學的‘核心素養(yǎng)’有三：抽象、推理與模型?！蓖评碡灤┲鴮W生數(shù)學學習的始終，是學生思維的確證與表征。數(shù)學推理的基本模式有兩種：一種是合情推理，另一種是演繹推理?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確指出：“讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力?！笨梢?，在數(shù)學學習中，學生的合情推理是相互交織在一起的，它們相輔相成，相得益彰。數(shù)學教學，追求“合情”與“演繹”的比翼齊飛。

一、先行組織，引導學生在遷移中類比

所謂“合情推理”，是指一種合乎情理、好像為真的推理，所以合情推理又稱之為 “似真推理”，它能夠助推學生的數(shù)學發(fā)現(xiàn)。理論上說，合情推理包括“類比推理”和“歸納推理”。所謂“類比推理”，是指從特殊到特殊的推理。波利亞指出：“類比是某種類似的相似性……是一種更確定的和更概念性的相似。”運用類比推理，能夠?qū)碗s的問題簡單化，抽象的問題形象化，陌生的問題熟悉化，進而舉一反三、觸類旁通。

如教學“比的基本性質(zhì)”時，筆者首先引導學生復習“商不變的規(guī)律”“小數(shù)的性質(zhì)”以及“分數(shù)的基本性質(zhì)”，并引導學生溝通它們之間的聯(lián)系，學生深度體驗到它們內(nèi)在本質(zhì)的一致性。不僅如此，筆者引導學生復習“除法算式”“分數(shù)”“比”之間的聯(lián)系與區(qū)別，這樣，學生的認知被充分地激活。有學生迅速“類比”，認為既然除法中有商不變的規(guī)律、分數(shù)中有分數(shù)的基本性質(zhì)，那么比中也一定存在著基本性質(zhì)，并用他們自己的語言對“比的基本性質(zhì)”展開了表述。學生通過數(shù)學知識本質(zhì)的類比，形成了合情合理的數(shù)學猜想。通過多元驗證，證實了他們的猜想。

又如：教學“異分母分數(shù)相加減”時，筆者首先和學生復習了整數(shù)加減法、小數(shù)加減法和同分母分數(shù)加減法，學生認為只有抓住“牛鼻子”，就能準確計算。具體而言，整數(shù)加減法是數(shù)位對齊，小數(shù)加減法是小數(shù)點對齊，同分母分數(shù)加減法是分數(shù)單位相同。由此，學生自主歸納形成了這樣的核心知識：只有“計數(shù)單位相同才能直接相加減”。據(jù)此，學生展開類比推理，異分母分數(shù)相加減的關鍵是：將不同分母分數(shù)轉化成同分母的分數(shù)，也就是讓分數(shù)單位從不同走向相同。這種類比，讓學生形成了比單純計算更上位、更抽象、更核心的理性化的數(shù)學認知。這種深刻的數(shù)學認知將引導學生建構穩(wěn)定而充滿活力的認知結構。

類比推理是或然性推理，因此，學生在類比的過程中有可能發(fā)生錯誤，教學時教師要引導學生洞察新舊知識的相似點，通過各種關系相似，舍棄非本質(zhì)特征，找尋本質(zhì)屬性。如此，學生已有知識經(jīng)驗就猶如一個“帶鉤的原子”，適當?shù)臅r候能方便地提取出來驗證。

二、合情猜測，引導學生在探究中歸納

波利亞曾說：“數(shù)學既要教證明，又要教猜想?！睔w納屬于合情推理的一種。所謂“歸納”，是指由部分到整體、由個別到一般的推理。在小學里，常用的是根據(jù)已觀察到的具有某種屬性的部分對象，提出歸納性猜想，接著對盡可能多的對象進行驗證。歸納包括“完全歸納”和“不完全歸納”，其中“不完全歸納”和“類比”又叫“似真推理”“全情推理”“或然推理”。換言之，不完全歸納和類比常?？此坪锨?，結論好像是、應該是對的，實際上卻可能是錯的。因此，對于“不完全歸納”和“類比”，教師在教學中要引導學生積極思考、探尋推理的依據(jù)與理由，只有這樣，學生的推理才能避免盲目性，而是具有一定的針對性、指向性、科學性。

例如：研究 “分數(shù)化小數(shù)”時，筆者引導學生探索規(guī)律、揭示本質(zhì)。其歸納過程如下：

（1）分數(shù)化小數(shù)時，會出現(xiàn)哪幾種情況？

（2）“除得盡”的分數(shù)有著怎樣的特征，除不盡的分數(shù)有著怎樣的特征？（溫馨提示：可以從分母觀察開去）

學生對已有的分數(shù)展開觀察、探索，他們發(fā)現(xiàn)：分母是4、25、8、40的分數(shù)都能化成有限小數(shù)。在這個基礎上，筆者讓學生對分母分解質(zhì)因數(shù)，學生再次展開探索，他們發(fā)現(xiàn)，這些分母分解質(zhì)因數(shù)后只有2和5兩個，沒有其他因數(shù)。由此，學生進行“不完全歸納”：如果一個分數(shù)的分母只含有2、5兩個質(zhì)因數(shù)，這樣的小數(shù)就能化成有限小數(shù)；如果一個分數(shù)的分母含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)，這樣的小數(shù)就不能化成有限小數(shù)。

在歸納推理中，教師要引導學生展開猜想，積極發(fā)掘合理因素，同時對結論的合理性進行甄別，引導學生不斷變換角度進行驗證，多角度地審視問題，從簡單情形、特殊情形中完善自己的發(fā)現(xiàn)。由此，不斷揭示知識的合理因素，不斷敞亮隱藏著的規(guī)律。在這個過程中，提升學生的思維品質(zhì)，讓學生感受合情推理的可能，達成意義學習的目的。

三、嚴密論證，引導學生在建構中演繹

數(shù)學通常被人們看作是一門以嚴格論證為特征的演繹科學，嚴格的數(shù)學理論總是建立在論證推理的基礎上。所謂的“演繹推理”，是指從一般到特殊的推理，“三段論證法”是演繹推理的基本方式。學生從大前提（已知的一般原理，包括定義、定理、公理等）和小前提（研究的特殊情況）出發(fā)，做出嚴密的論證，形成可靠的結論。

如教學“長方體和正方體的特征”時，學生通過觀察、操作，形成了長方體有6個面、12條棱、8個頂點，并且每個面都是長方形，相對的面完全相同、相對的棱長度相等……在此基礎上，筆者讓學生展開動態(tài)想象：“至少留下幾條棱，你就能還原出長方體呢？”由此形成了長方體的長、寬、高等概念。接著，運用多媒體課件，讓長方體的長慢慢變短，逐漸變成了正方體。學生根據(jù)研究長方體的面、棱、頂點的經(jīng)驗研究正方體，形成了正方體的特征。這時，引導學生借助知識間的關聯(lián)進行演繹推理，學生展開了嚴密的論證。因為正方體具備長方體的一切特征，所以正方體是長方體；因為長方體不一定具備正方體的一切特征，所以長方體不一定是正方體。如此，學生不僅認識了長方體和正方體的特征，而且對于長方體和正方體之間的邏輯關系也有了深刻的把握。

可見，演繹推理能夠很好地幫助學生理清數(shù)量關系，讓學生的數(shù)學學習從無序走向有序，從混沌走向敞亮。學生演繹推理的形成和發(fā)展不同于一般知識與技能的獲得，它是一個隱性的、緩慢的漸進過程。教學中，教師要不斷地引領，滲透演繹推理的思想方法，滋養(yǎng)學生的演繹推理能力。

數(shù)學推理是從一個或幾個已知判斷得出一個新判斷的思維過程，推理的主要思維形式就是合情推理與演繹推理。合情推理和演繹推理既相互對立又相互統(tǒng)一，在學生的數(shù)學學習中常常是相互融合的，合情推理中有著演繹的成分，演繹推理中也有著合情的猜想。合情推理通常用來發(fā)現(xiàn)，演繹推理通常用來論證，讓合情推理與演繹推理比翼齊飛，是學生數(shù)學學習的重要法門。?