俞超群

（陽(yáng)光學(xué)院，福建福州，350015）

一、前言

高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)最大的不同在于：初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常量，而高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變量，變量的學(xué)習(xí)要結(jié)合變化過(guò)程來(lái)研究其變化的趨勢(shì)。這個(gè)轉(zhuǎn)化的困難集中體現(xiàn)在極限這一章節(jié)中，而極限又是微分學(xué)習(xí)和積分學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，其重要地位不言而喻。本文就以極限教學(xué)為例談?wù)剳?yīng)用型本科基礎(chǔ)課程教學(xué)的教學(xué)模式改革。

高等數(shù)學(xué)是應(yīng)用型本科大一學(xué)生的一門(mén)必修課，這部分學(xué)生還沒(méi)適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式，也沒(méi)形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，加上高等數(shù)學(xué)課程性質(zhì)決定了其教學(xué)內(nèi)容抽象、不易理解，所以學(xué)生被動(dòng)聽(tīng)講者居多，未能達(dá)到良好的教學(xué)效果，在文獻(xiàn)[1]列舉了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題。提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性的關(guān)鍵是要讓學(xué)生參與到課堂中來(lái)，在信息技術(shù)的推動(dòng)下， “翻轉(zhuǎn)課堂”模式逐漸被現(xiàn)代課程采用。它是以教師錄制的微視頻為載體，讓學(xué)生自主參與的一種教學(xué)模式，在教學(xué)中突出了學(xué)生的主體地位，并發(fā)揮了教師的引導(dǎo)作用。文獻(xiàn)[2][3][4]介紹了“翻轉(zhuǎn)課堂”的起源和發(fā)展以及它的主要特征。

二、“翻轉(zhuǎn)課堂”預(yù)備

高等數(shù)學(xué)有其課程抽象性的特點(diǎn)，作為一門(mén)基礎(chǔ)課程，課程的學(xué)習(xí)仍需要以教師的講授為主，如果一下子讓學(xué)生角色發(fā)生改變，在自學(xué)的時(shí)候?qū)W不會(huì)，無(wú)法掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，就會(huì)造成無(wú)效的“翻轉(zhuǎn)課堂”。如何將“翻轉(zhuǎn)課堂”與傳統(tǒng)教學(xué)有效結(jié)合，實(shí)施方法要循序漸進(jìn)。

三、“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)模式初探

在《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)中，學(xué)生常感到“難、抽象”，體現(xiàn)“翻轉(zhuǎn)課堂”的循序漸進(jìn)，教師可以從解題方法的翻轉(zhuǎn)開(kāi)始，之后再酌情考慮定義、概念的“翻轉(zhuǎn)課堂”。在教學(xué)過(guò)程中，有個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)象是，無(wú)論教師重復(fù)多少次，學(xué)生也還會(huì)犯錯(cuò)。比如，求極限，過(guò)程中的極限號(hào)沒(méi)有寫(xiě)；又比如，不符合公式形式，出現(xiàn)公式亂套用，錯(cuò)套用的現(xiàn)象，甚至在課堂上指出過(guò)的錯(cuò)誤還是頻繁出現(xiàn)。因?yàn)檫@個(gè)階段還處在模仿的“形似”，學(xué)生沒(méi)有把所學(xué)內(nèi)容內(nèi)化，還未抓住問(wèn)題的核心和本質(zhì)。所以讓學(xué)生發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主體性的第二步，就是讓學(xué)生將模仿解題的方法能內(nèi)化成抓住解題的核心和本質(zhì)?！胺D(zhuǎn)課堂” 的第二階段的實(shí)現(xiàn)，選擇第二個(gè)重要極限的掌握作為教學(xué)內(nèi)容。

（一） 課前學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

1.錄制10分鐘左右的微視頻

視頻錄制的優(yōu)點(diǎn)在于，視頻可以提供回放、暫停的功能，學(xué)生看不懂、聽(tīng)不懂的點(diǎn)可以無(wú)限次的回放學(xué)習(xí)，但是視頻學(xué)習(xí)和課堂學(xué)習(xí)不一樣，如果一個(gè)視頻錄制了45分鐘左右，沒(méi)有課堂氛圍的約束性，學(xué)生在視頻學(xué)習(xí)過(guò)程中就會(huì)走神，從而就不能發(fā)揮視頻學(xué)習(xí)的效果，所以錄制的微視頻力求清晰簡(jiǎn)潔，描述通俗易懂，時(shí)間又不宜過(guò)長(zhǎng)。在第二個(gè)重要極限的微視頻當(dāng)中，時(shí)長(zhǎng)控制在十分鐘左右，視頻課程關(guān)鍵要講明第二個(gè)重要極限是a.針對(duì)冪指函數(shù)求極限，b.極限的類(lèi)型要滿(mǎn)足類(lèi)型的未定式，c.要符合第二個(gè)重要極限的形式才能得到該結(jié)果。針對(duì)第3點(diǎn)，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察，在第二個(gè)重要極限1=e 中，冪指函數(shù)的底數(shù)位置是)，強(qiáng)調(diào)符號(hào)是加號(hào)，而冪指函數(shù)的指數(shù)位置是底數(shù)中的倒數(shù) x。這個(gè)公式的應(yīng)用，可以用模塊化加以抽象并推廣，只要抓住符合公式形式就可以，將 x位置看成某個(gè)函數(shù) u(x)，公式同樣適用，故可以得到。公式應(yīng)用舉例可用，這個(gè)例題中將函數(shù)化成(1 + x ) = l n(1 +后考察極限符合上述的三個(gè)條件，可以用第二個(gè)重要極限公式。

2.設(shè)置初級(jí)題庫(kù)，鞏固基礎(chǔ)能力

在第二個(gè)重要極限的初級(jí)題庫(kù)中，設(shè)置了兩個(gè)題目，幫助學(xué)生掌握關(guān)鍵點(diǎn)。練習(xí)題-，這兩個(gè)練習(xí)題都是冪指函數(shù)的1∞類(lèi)型的未定式求極限，但是都與第二個(gè)重要極限形式不同，第一題倒數(shù)關(guān)系不符合，第二題底數(shù)的加號(hào)，以及倒數(shù)關(guān)系都不符合，需要轉(zhuǎn)化才能應(yīng)用公式，這兩個(gè)練習(xí)的編寫(xiě)為了讓學(xué)生通過(guò)模仿例題，把握第二個(gè)重要極限的關(guān)鍵要素。

3.設(shè)置一兩個(gè)難題，為課中教學(xué)埋下伏筆

完成基礎(chǔ)練習(xí)題，學(xué)生對(duì)于第二個(gè)重要極限的特點(diǎn)有了一定的把握，但是如果形式復(fù)雜一些，又會(huì)束手無(wú)策，設(shè)置一兩個(gè)提高題，一是作為學(xué)生課前交流的疑難問(wèn)題，二是作為課堂學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的引入。根據(jù)學(xué)生實(shí)際，編寫(xiě)的提高題是。

（二）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與組織

1.分組協(xié)作，隨機(jī)抽取兩組匯報(bào)課前難題的解決方案

由事前分好的學(xué)習(xí)小組中，隨機(jī)抽取兩組，每組選擇一位同學(xué)，在課堂上展示本小組的自學(xué)成果，在討論中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能抓住視頻中學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)，但是技巧類(lèi)的地方未能轉(zhuǎn)化，造成提高題完成的困難性，比如：基礎(chǔ)題轉(zhuǎn)化中懂得在指數(shù)的地方需要，所以直接將原式整理成為(1 +，但是這個(gè)方法在提高題+ s in 整理中指數(shù)的變形易產(chǎn)生錯(cuò)誤。2.教師引導(dǎo)，分析討論解決方案，肯定基本解決問(wèn)題方法教師要布控整個(gè)課堂的節(jié)奏，學(xué)生在第一環(huán)節(jié)的時(shí)間不需要太長(zhǎng)，引導(dǎo)學(xué)生思考初級(jí)題1中為什么在指數(shù)位置要有一個(gè)，根據(jù)什么得到，然后借用俚語(yǔ)：“有借有還，借不難”，從而把握第二個(gè)重要極限的解題技巧，在指數(shù)的位置先借一個(gè)底數(shù)“1+”后面變量的倒數(shù)，再還一個(gè)，保證式子的恒等。以提高題sin 2 1 2為例，， 其中指數(shù)x→0位置①是根據(jù)底數(shù)構(gòu)造借得的，指數(shù)位置②sinx是根據(jù)位置①還的。在肯定學(xué)生解決方法的基礎(chǔ)上，直觀地讓學(xué)生悟出解題的技巧性，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤，有效實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的內(nèi)化。

3.總結(jié)提高，結(jié)合專(zhuān)業(yè)知識(shí)點(diǎn)，發(fā)揮基礎(chǔ)課程應(yīng)用型特色

應(yīng)用型本科強(qiáng)調(diào)應(yīng)用環(huán)節(jié)的滲透，在教學(xué)過(guò)程中可以將基礎(chǔ)課程和學(xué)生的專(zhuān)業(yè)課程相結(jié)合，為專(zhuān)業(yè)學(xué)科服務(wù)。比如《投資項(xiàng)目評(píng)價(jià)》[5]中，談到的連續(xù)復(fù)利問(wèn)題，就可以利用第二個(gè)重要極限解決，可以用該題目的完成作為學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考核，同時(shí)也可以讓學(xué)生明白基礎(chǔ)知識(shí)的重要性。除此以外，如果偏專(zhuān)業(yè)內(nèi)容多，或者比較復(fù)雜的問(wèn)題，可以作為背景介紹，引發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)有余力的同學(xué)課后找資料再進(jìn)行研究，實(shí)現(xiàn)分層教學(xué)。

（三）課后教學(xué)反思

1.掌握第二個(gè)重要極限的結(jié)論和應(yīng)用技巧，這是數(shù)學(xué)計(jì)算層面的問(wèn)題，通過(guò)“翻轉(zhuǎn)課堂”，達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)，并且學(xué)生經(jīng)過(guò)協(xié)作學(xué)習(xí)，疑難問(wèn)題的互相討論，能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和自覺(jué)性，這種思想碰撞產(chǎn)生的火花能使得教學(xué)效果來(lái)得更好。但是數(shù)學(xué)課程的抽象性更多體現(xiàn)在概念方面，比如極限定義，微分定義，積分定義，這些教學(xué)完成不能通過(guò)“翻轉(zhuǎn)課堂”一蹴而就，還需要配合教師的傳統(tǒng)教學(xué)。引導(dǎo)學(xué)生參與到數(shù)學(xué)概念形成的探索過(guò)程，將“要我學(xué)”轉(zhuǎn)為“我要學(xué)”，實(shí)現(xiàn)概念類(lèi)知識(shí)點(diǎn)的“翻轉(zhuǎn)課堂”，教師在講授概念類(lèi)知識(shí)點(diǎn)的過(guò)程中注意教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)概念類(lèi)知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生感覺(jué)到這個(gè)過(guò)程是水到渠成，而非一山望著一山高，讓學(xué)生能通過(guò)已知的問(wèn)題去理解未知的概念，掌握數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，一個(gè)有效的教學(xué)手段就是知識(shí)點(diǎn)間的遷移。以極限為例，極限的定義有數(shù)列極限的定義、函數(shù)極限的定義，并且在函數(shù)極限中涉及到的變化過(guò)程就有四種，趨于無(wú)窮大的兩個(gè)方向，趨于有限值的兩個(gè)方向。對(duì)于應(yīng)用型本科極限定義只要求直觀定義，不要求嚴(yán)格證明，這么多種極限的定義，在講授過(guò)程中可以用知識(shí)遷移的教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)舉一反三。

2.多個(gè)知識(shí)點(diǎn)遷移的教學(xué)模式，找到“翻轉(zhuǎn)課堂”和傳統(tǒng)教學(xué)的契合點(diǎn)

極限是這個(gè)高等數(shù)學(xué)貫穿始終的研究工具，學(xué)習(xí)極限是從極限理論中最基本的概念——數(shù)列極限的概念入手的。但是為了完成知識(shí)點(diǎn)的遷移，在介紹數(shù)列概念的時(shí)候，指出數(shù)列是個(gè)特殊的函數(shù)——以下標(biāo)為自變量的函數(shù)，并且在圖形上表示出來(lái)。以研究1為例，通過(guò)數(shù)形結(jié)合（見(jiàn)圖1），理解其變化過(guò)程和變化的趨勢(shì)。

圖1

圖2

而在介紹函數(shù)極限的概念的時(shí)候，可以從數(shù)列極限推廣，設(shè)置例題（見(jiàn)圖 2），對(duì)比兩個(gè)圖形，學(xué)生們就能了解到函數(shù)極限是由對(duì)數(shù)列極限中點(diǎn)的變化趨勢(shì)的研究轉(zhuǎn)為對(duì)曲線(xiàn)變化趨勢(shì)的研究，然后接著分析對(duì)于曲線(xiàn)，在 x→-∞ 的變化過(guò)程中，曲線(xiàn)的變化趨勢(shì)（見(jiàn)圖 3）。

圖3

了解到對(duì)于函數(shù)極限 x→∞ 有兩種變化過(guò)程，這是跟數(shù)列極限不一樣的地方。接著再引導(dǎo)學(xué)生思考，為什么函數(shù)在 x→∞ 的變化過(guò)程中有兩個(gè)方向，數(shù)列沒(méi)有，得到是因?yàn)楹瘮?shù)定義域是在實(shí)數(shù)域內(nèi)考慮，而數(shù)列是在自然數(shù)域內(nèi)考慮，實(shí)數(shù)是密集在數(shù)軸上的，從而變化過(guò)程除了 x→∞，還有趨于有限值 x→∞。這樣，選擇恰當(dāng)?shù)睦}，把數(shù)列極限定義遷移到函數(shù)極限的定義，方便學(xué)生快速學(xué)習(xí)和掌握，為理論概念的“翻轉(zhuǎn)課堂”做準(zhǔn)備。

四、結(jié)語(yǔ)

教學(xué)改革的方向是找尋如何將“翻轉(zhuǎn)課堂”和傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合，在教學(xué)的過(guò)程中，教師要有意識(shí)地教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，找到知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，在教學(xué)安排中選擇合適的例題，讓學(xué)生感覺(jué)到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)由已知推導(dǎo)未知的過(guò)程。在課程設(shè)置中，教師要根據(jù)收集到的教學(xué)資料，逐漸由計(jì)算類(lèi)的知識(shí)點(diǎn)過(guò)渡到概念類(lèi)知識(shí)點(diǎn)的“翻轉(zhuǎn)課堂”。