尚影

【摘要】中學(xué)數(shù)學(xué)的發(fā)展基本上就是圍繞著“數(shù)”和“形”這兩大基本概念進(jìn)行的?？v觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，“數(shù)”與“形”最初是一體的，隨著社會(huì)的進(jìn)步，人們逐漸把“數(shù)”與“形”分離開來，后來人們又發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合有利于問題的解決，人們又有意識(shí)地把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；思想方法；歷史演進(jìn)

【基金項(xiàng)目】阜陽(yáng)幼兒師范高等?？茖W(xué)校教學(xué)研究校級(jí)重點(diǎn)項(xiàng)目“在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)研究與實(shí)踐”（編號(hào)：ZLGC2017JY011）。

一、數(shù)形結(jié)合思想方法概述

（一）數(shù)學(xué)思想方法

1.數(shù)學(xué)思想。人們對(duì)“數(shù)形結(jié)合思想”的論述不盡相同。

丁石孫認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想主要指數(shù)學(xué)研究方法的特點(diǎn)、數(shù)學(xué)與生產(chǎn)實(shí)踐的關(guān)系，以及數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律等。

蔡上鶴認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想是人們通過對(duì)生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的分析而總結(jié)出的數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)。

邵光華認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象和概括，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

綜上，數(shù)學(xué)思想是人們總結(jié)出的數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)思想包括很多方面，其中有數(shù)形結(jié)合的思想。

2.數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)方法的表述主要有：數(shù)學(xué)方法是指解決具體數(shù)學(xué)問題的策略；數(shù)學(xué)方法是利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題；數(shù)學(xué)方法是人們?cè)趯?shí)踐中發(fā)現(xiàn)的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的手段。

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法緊密相連，數(shù)學(xué)思想強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想，而數(shù)學(xué)方法強(qiáng)調(diào)操作過程。

（二）數(shù)形結(jié)合思想方法

學(xué)術(shù)界對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的解釋各有不同，下面是幾種常見的說法。

張同君在《中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究》中認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合是在問題解決過程中，將數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行結(jié)合，揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到順利解題的目的。

任樟輝在《數(shù)學(xué)思維理論》中認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合是數(shù)與形之間整體或局部的遷移。

徐斌艷在《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論》中認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合是通過抽象思維和形象思維的相互作用，以實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)之間的相互轉(zhuǎn)化，將數(shù)量關(guān)系和圖形結(jié)合起來研究問題。

數(shù)形結(jié)合是通過把抽象的數(shù)量關(guān)系和形象的圖形相互轉(zhuǎn)化，從而使抽象問題具體化，以利于問題的解決。

數(shù)形結(jié)合包含兩方面：一是由數(shù)及形，利用“形”把問題中的數(shù)量關(guān)系形象地表示出來，化抽象為直觀，用幾何方法研究代數(shù)問題；一是由形及數(shù)，利用代數(shù)方法研究幾何問題。

二、數(shù)形結(jié)合思想方法的發(fā)展歷程

（一）數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期的數(shù)形結(jié)合

在原始社會(huì)，數(shù)和形是一體的，不分家的。正如周述岐所說：“天上一個(gè)太陽(yáng)，人的一只手有五個(gè)指頭等等?！贝藭r(shí)的數(shù)形結(jié)合是無意識(shí)的，這個(gè)時(shí)期人們還無法對(duì)數(shù)與形進(jìn)行區(qū)分。

在數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期，人類在生活中經(jīng)常進(jìn)行采集、狩獵活動(dòng)，后來他們逐漸發(fā)現(xiàn)一只鳥、一個(gè)果子、一棵樹等之間存在共通性，從而拋開事物的物質(zhì)本身抽象出了數(shù)。這就使數(shù)的概念從客觀事物中分離出來，“數(shù)”與“形”出現(xiàn)人類文明發(fā)展史上的第一次分離。隨著生產(chǎn)活動(dòng)的進(jìn)一步發(fā)展，社會(huì)生活出現(xiàn)了頻繁交易，記數(shù)變成了必要。記數(shù)經(jīng)歷了手指、石頭、結(jié)繩、刻痕等，后來出現(xiàn)了相應(yīng)的記數(shù)系統(tǒng)。記數(shù)又一次將數(shù)與形結(jié)合起來。這時(shí)的數(shù)形結(jié)合是人類有意識(shí)的行為。

（二）古希臘時(shí)期的數(shù)形結(jié)合

在古希臘數(shù)學(xué)中，“形數(shù)”被看作某些幾何圖形中點(diǎn)的數(shù)目，它們構(gòu)成了幾何學(xué)和算術(shù)之間的紐帶。三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)的幾何命名奠定了數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，如下圖所示。

結(jié)論1：正方形數(shù)是兩個(gè)相繼的三角形數(shù)之和，如圖4所示。

結(jié)論2：第個(gè)五邊形數(shù)等于第個(gè)三角形數(shù)的三倍加上，如圖5所示。

數(shù)學(xué)以幾何學(xué)為主要特征的代表作是《幾何原本》，這時(shí)人們通常從幾何的角度去研究等價(jià)的代數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合的思想促進(jìn)了代數(shù)的發(fā)展。如，完全平方數(shù)的證明，大正方形的邊長(zhǎng)為，兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)分別為和，由圖可知，大正方形的面積與四部分的面積之和相等，如圖6所示。

再如，二項(xiàng)方程的幾何解法：已知長(zhǎng)度分別為，，的三條線段，由平行線分線段成比例，解得方程，如圖7所示；在圓中直徑所對(duì)的圓周角為直角，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得方程，如圖8所示。

總之，這一時(shí)期通常用“形”來研究“數(shù)”的關(guān)系，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不接受無理數(shù)概念，他們認(rèn)為有些幾何量不能用“數(shù)”來度量。

（三）我國(guó)古代數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想

我國(guó)古代數(shù)學(xué)也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，如三國(guó)時(shí)代吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)勾股定理的證明就采用了數(shù)形結(jié)合的思想。

趙爽在《周髀算經(jīng)》注中對(duì)勾股定理的證明：“按弦圖，又可以勾、股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)。加差實(shí)，亦成弦實(shí)。”

設(shè)勾股形的三邊分別為，，，由圖和術(shù)可得：，將展開，即得勾股定理，如圖9所示。

該證明體現(xiàn)了以形證數(shù)、數(shù)形結(jié)合的思想，為中國(guó)古代“數(shù)形結(jié)合”樹立了一個(gè)典范。著名數(shù)學(xué)家吳文俊認(rèn)為，在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，數(shù)量關(guān)系與空間形式是并肩發(fā)展的。17世紀(jì)笛卡爾發(fā)明的解析幾何正是這種現(xiàn)象的體現(xiàn)。

（四）笛卡爾時(shí)代的數(shù)形結(jié)合

1637年，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，被認(rèn)為是近世紀(jì)代數(shù)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑。數(shù)軸的建立使代數(shù)與幾何聯(lián)系到一起，數(shù)軸上每個(gè)點(diǎn)都代表一個(gè)實(shí)數(shù)，且每個(gè)實(shí)數(shù)都能找到一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)，即點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。后來，笛卡爾又建立了平面直角坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系，這樣一來，就可以在坐標(biāo)系中解決所有的幾何圖形問題，在此基礎(chǔ)上，他創(chuàng)立了“解析幾何學(xué)”。解析幾何的創(chuàng)立把代數(shù)和幾何統(tǒng)一起來，數(shù)學(xué)有了數(shù)形結(jié)合的新思想，自此，“數(shù)”與“形”便真的結(jié)合起來了。笛卡爾的坐標(biāo)系曾被恩格斯稱為是“數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折”。

（五）現(xiàn)代數(shù)形結(jié)合

現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中，人們常用“形”的術(shù)語(yǔ)來描述數(shù)量關(guān)系，指明其幾何意義。如非線性規(guī)劃的各種算法，如果不用幾何意義來描寫，就無法進(jìn)一步研究。尤其是一些算法的設(shè)計(jì)，我們通常先設(shè)想一個(gè)幾何形象，從幾何角度進(jìn)行研究后，再用解析法加以描述，這完全是“數(shù)形”結(jié)合的研究過程?？梢?，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然，它貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展的全過程。

華羅庚先生在《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)問題》中寫道：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！敝链耍皵?shù)形結(jié)合”一詞開始得到大家的普遍認(rèn)可。

三、小結(jié)

數(shù)形結(jié)合給我們提供了一個(gè)解決問題的方法，能將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。數(shù)形結(jié)合思想方法經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的發(fā)展歷程，它是隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步而發(fā)展起來的，它的每一次發(fā)展都代表著人們數(shù)學(xué)思維方式的改變，是人類文明發(fā)展的必然結(jié)果。

【參考文獻(xiàn)】

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