王曉燕， 董玲珍， 王素霞

(太原理工大學 數(shù)學學院， 山西 太原 030024)

0 引 言

在種群生態(tài)系統(tǒng)中, 捕食模型基于重要性及其廣泛應用性, 已成為種群動力學模型的研究重點之一. 眾所周知, 很多因素能夠影響捕食模型中種群的動力學行為. 其中, 一個重要的因素是捕食者捕食食餌的能力, 也就是捕食者對食餌的捕食率, 即捕食者的功能性反應. 具 Holling-type 型捕食者的功能性反應依賴于食餌的密度[1], 若記食餌的密度為x1(t), 則捕食者對食餌的功能性反應可表示為數(shù)學上的函數(shù)關系Φ(x1(t))， 故具功能性反應且考慮到捕食者和食餌種群密度制約因素的捕食系統(tǒng)可被描述為數(shù)學模型(1)

(1)

式中：x1(t),x2(t) 分別表示食餌和捕食者在t時刻的種群密度;bi,aii(i=1, 2),k都是正常數(shù),b1和b2分別表示食餌和捕食者的固有增長率,a11和a22分別表示食餌和捕食者種群內的密度制約作用,k表示捕食者的消化系數(shù),Φ(x1(t))是捕食者對食餌的功能反應.

(2)

關于具Holling-type Ⅱ 型功能反應捕食系統(tǒng)的研究已經(jīng)積累了豐富的成果, 可參閱文獻[2-5].

在確定性種群動力學模型中, 我們常假設系統(tǒng)中的參數(shù)是確定的, 與環(huán)境的改變無關, 這導致所建立的數(shù)學模型有一定的限制, 理論結果很難與實際數(shù)據(jù)吻合, 故很難準確地預測這個系統(tǒng)未來的變化趨勢. 事實上, 在種群生存的生態(tài)系統(tǒng)中, 不可避免地存在著環(huán)境噪音, 而環(huán)境噪音會影響種群的生存. 有很多文獻已經(jīng)引入隨機模型來描述種群生態(tài)系統(tǒng)的進化過程. 文獻[6-11]在確定性種群動力學模型中引入隨機擾動, 建立了隨機種群動力學模型, 分析了隨機擾動對生態(tài)系統(tǒng)的影響. 另一方面, 在研究種群動力學行為的過程中, 我們也應考慮到時滯的影響. Kuang[12]提出忽略時滯意味著忽略現(xiàn)實. 文獻[13,14]研究了具有時滯的捕食系統(tǒng)的一些性質. 本文將同時考慮時滯和隨機擾動對具 Holling-type Ⅱ 型功能反應的捕食系統(tǒng)中種群動力學行為的影響. 為此, 我們建立隨機時滯捕食系統(tǒng)

(3)

式中： dB1(t), dB2(t)是標準白噪聲;B1(t),B2(t) 是定義在完備概率空間 (Ω,F,P) 上相互獨立的Brown運動；ε1,ε2表示白噪聲的強度；τ1,τ2表示時滯.

隨機時滯系統(tǒng)(3)描述的是種群的動態(tài)進化過程, 從生物學的角度來看, 只有非負解才有生態(tài)學意義. 在本文中, 我們將通過選擇適當?shù)腖yapunov函數(shù), 應用It公式, 首先討論隨機時滯系統(tǒng)(3)的一些基本性質, 即解的存在唯一性, 全局正解的存在性； 然后對解的隨機最終有界性以及解的漸近矩估計進行研究.

1 全局正解的存在性

為了使一個隨機微分方程對任意給定的初始條件具有整體解, 一般來說, 需要滿足線性增長條件和局部Lipschitz條件. 但是, 隨機時滯系統(tǒng)(3) 既不滿足線性增長條件, 也不滿足局部Lipschitz條件. 這里, 通過做變量替換, 應用It公式, 給出局部正解的存在性.

證明考慮系統(tǒng)

(4)

容易驗證方程(4)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件, 故方程(4)帶有任意初始條件{(u(t),v(t))∶-τ≤t≤0}∈C([-τ,0];R2)的解在t∈[-τ,τe)上存在且唯一. 進一步, 對x1(t)=eu(t),x2(t)=ev(t)應用It公式, 可知方程(3)帶有初始條件的解在t∈[-τ,τe)上存在且唯一.

接下來, 給出全局正解的存在性.

證明由引理1可知, 系統(tǒng)(3)存在唯一的局部解, 下證解的全局性.

下證τ∞=∞ a.s., 采用反證法. 如若不然, 假設τ∞≠∞, 則存在常數(shù)T>0和ε∈(0,1), 有

P{τn≤T}>ε.

因此, 存在整數(shù)N1≥N0, 使得

P{τn≤T}≥ε,n≥N1.(5)

[|x1(t)|2-|x1(t-τ1)|2+|x2(t)|2-|x2(t-τ2)|2]dt+

又因為

(7)

將式(7)代入式(6)中, 得

其中

易知,F1,F2都是有界的, 即

F1≤K1,F2≤K2.

所以

式(10)兩端從0到τn∧T積分并取均值可得

因此

EV(x1(τn∧T),x2(τn∧T))≤

設1Ωn是Ωn的指標函數(shù), 故

E[1Ωn(ω)V(x1(τn,ω),x2(τn,ω))]≥

令n→∞, 有

V(x1(0),x2(0))+(K1+K2)T≥+∞,

2 隨機最終有界性

(13)

式中：H(θ)與初值無關.

證明定義

應用It公式, 得

dV(x1(t),x2(t))=LV(x1(t),x2(t))dt+

其中

由于0<θ<1, 故θ(1-θ)>0, 故

V(x1(t),x2(t))≤H1-V(x1(t),x2(t)),

其中H1是一個正數(shù), 將其代入式(14)中, 得

dV(x1(t),x2(t))≤[H1-V(x1(t),x2(t))]dt+

再次應用It公式, 得

d[etV(x1(t),x2(t))]=

et[V(x1(t),x2(t))dt+dV(x1(t),x2(t))]≤

將式(16)兩邊從0到t取積分再求期望, 得

etEV(x1(t),x2(t))≤V(x1(0),x2(0))+

H1(et-1),

即

又因為

所以

故

進一步, 考慮解的隨機最終有界性, 有如下性質成立.

定理2 系統(tǒng)(3)的解具有隨機最終有界性.

P{|(x1(t),x2(t))|>H}≤

故

3 解的漸近矩估計

定理1和定理2表明, 對任意給定的正初始條件, 系統(tǒng)(3)具有唯一的全局正解, 并且解是隨機最終有上界的. 下面對解的漸近矩進行估計.

(17)

式中：K(θ)與初值無關.

證明令

則

dV(x1(t),x2(t))≤LV(x1(t),x2(t))dt+

式中：LV(x1(t),x2(t))如式(15)所示. 這樣

將式(20)代入式(18)中, 有

即

兩邊從0到τn∧T取積分并求期望, 得

即

兩邊同除以T, 得

4 結 論

捕食系統(tǒng)的研究具有一定的理論和應用價值. 考慮到環(huán)境噪音的普遍存在性, 隨機白噪音捕食系統(tǒng)得以建立. 本文對具時滯和 Holling-type Ⅱ 功能反應的捕食隨機系統(tǒng)進行研究, 討論了系統(tǒng)的一些性質, 其中包括全局正解的存在唯一性與解的隨機最終有界性, 同時對解的漸近矩進行了估計. 這些性質為種群動力系統(tǒng)的管理提供了理論依據(jù). 基于這些工作基礎, 我們還可以研究具有其他類型功能反應的種群動力學系統(tǒng).

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