范紅崗， 侯 軒

(1. 中國人民大學(xué) 信息學(xué)院， 北京 100872； 2. 北方自動(dòng)控制技術(shù)研究所， 山西 太原 030006)

0 引 言

實(shí)證研究時(shí)， 為估計(jì)部分信息不可觀測模型(即模型中有部分變量的數(shù)據(jù)不可觀測)， 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家通常采用邊際極大似然估計(jì)法或矩估計(jì)法進(jìn)行估計(jì). 然而， 由于在不同的假設(shè)下， 邊際極大似然函數(shù)和矩條件的復(fù)雜程度不同， 理論上難以明確兩者的有限樣本性質(zhì)， 進(jìn)而無法比較兩者優(yōu)劣. 本文將基于Bootstrap抽樣方法[1-4]重點(diǎn)分析兩種估計(jì)的有限樣本性質(zhì)， 并給出了實(shí)踐中選擇這兩種方法的具體建議.

目前， Bootstrap抽樣技術(shù)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)和統(tǒng)計(jì)方法的研究中， 主要應(yīng)用集中于假設(shè)檢驗(yàn)和參數(shù)或方差難以估計(jì)的問題研究中： Dufour et al.與Davidson et al.把該技術(shù)應(yīng)用于異方差和ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)中[5-6]. Hong和Li把數(shù)值Bootstrap技術(shù)應(yīng)用于參數(shù)不可微問題的推斷中， 這是對(duì)數(shù)值Bootstrap技術(shù)應(yīng)用的一個(gè)有意義的探索[7]. Lubke et al. 把Bootstrap技術(shù)應(yīng)用于評(píng)價(jià)模型選擇不確定性問題中， 證明了Bootstrap選擇率可以為AIC和BIC選擇標(biāo)準(zhǔn)提供額外的有意補(bǔ)充[8]. Trucíos et al.把Bootstrap 技術(shù)應(yīng)用到GARCH收益和波動(dòng)率的密度估計(jì)中， 具體而言， 該文借助穩(wěn)健的參數(shù)估計(jì)量構(gòu)造了GARCH收益和波動(dòng)率的Bootstrap密度， 從而使得對(duì)這類模型估計(jì)更加穩(wěn)健[9]. 但是鮮有文獻(xiàn)把Bootstrap抽樣技術(shù)應(yīng)用于對(duì)部分信息不可觀測模型估計(jì)量的小樣本性質(zhì)的分析中. 因此， 本文的分析是一個(gè)有意義的探索.

本文在一個(gè)經(jīng)典的部分信息模型框架下， 首先推導(dǎo)出估計(jì)該模型的邊際極大似然估計(jì)量或矩估計(jì)量， 然后使用Bootstrap抽樣技術(shù)生成樣本， 并在此基礎(chǔ)上分析兩個(gè)估計(jì)量的小樣本性質(zhì).

1 模型框架與假設(shè)

假設(shè)Xt為二元時(shí)間序列 (取0或1)，Yt為連續(xù)時(shí)間序列Yt，t=1,2,…,T， 且滿足條件：

ii)P(Xt=j|Xt-1=i,Xt-2…)=P(Xt=j|Xt-1=i)=Pij， 其中i,j取0或1， 且P00=P11=θ;P01=P10-1-θ,θ∈[0,1];

當(dāng)Xt和Yt均可觀測時(shí)， 我們稱上述模型是完全信息模型； 當(dāng)Yt可觀測而Xt不可觀測時(shí)， 我們稱上述模型是部分信息不可觀測模型.

下面， 本文以(y2,y1,y0)的聯(lián)立密度函數(shù)為例說明其似然函數(shù)復(fù)雜原因.

由全期望公式， 可得

f(y2,y1,y0)=f(y2,y1,y0,Z1=1)+f(y2,y1,y0,Z1=0)=f(y2|y1,y0,Z1=1)·

f(Z1=1|y1,y0)f(y1y0)+f(y2|y1,y0,Z1=0)f(Z1=0|y1,y0)f(y1,y0).

根據(jù)全期望公式以及分布函數(shù)與密度函數(shù)間的關(guān)系， 可得

易知f(Z1=0|y1,y0)有相似表達(dá)式. 當(dāng)T較大時(shí)，f(yT,yT-1,…,y2,y1,y0)非常復(fù)雜， 不易獲得參數(shù)的極大似然估計(jì)值. 本文將討論部分信息不可觀測模型兩種可行的估計(jì)方法， 并基于Bootstrap抽樣重點(diǎn)分析兩種估計(jì)方法的優(yōu)缺點(diǎn).

2 部分信息不可觀測模型的估計(jì)

本節(jié)討論部分信息不可觀測模型兩種可行的估計(jì)方法： 邊際極大似然估計(jì)法和矩估計(jì)法.

2.1 邊際極大似然估計(jì)法

由上節(jié)討論， 可知由于f(yT,yT-1,…,y2,y1,y0)的公式比較復(fù)雜， 故難以使用極大似然估計(jì)， 因此， 本文將推導(dǎo)其他有關(guān)Yt的密度函數(shù)來獲得三個(gè)未知參數(shù)的估計(jì)值. 通過推導(dǎo)， 本文發(fā)現(xiàn)

對(duì)應(yīng)的極大似然函數(shù)為

(2)

可通過對(duì)式(2)求最大值來獲得參數(shù)估計(jì)值， 這一方法稱為邊際極大似然估計(jì)法[10-12].

2.2 矩估計(jì)法

矩估計(jì)法的關(guān)鍵在于找到合適的矩條件. 由期望的線性和伽馬分布的數(shù)字特征值可得

由此， 可獲得三個(gè)矩條件

(3)

通過求解矩條件獲得參數(shù)估計(jì)值的方法稱為矩估計(jì)法. 通過求解(3)來獲得參數(shù)的矩估計(jì)值的方法就是本文所使用的矩估計(jì)方法.

3 基于Bootstrap抽樣的有限樣本性質(zhì)分析

基于大樣本， 容易證明上節(jié)所討論的邊際極大似然估計(jì)值和矩估計(jì)值均收斂于真實(shí)值， 即兩種估計(jì)均是一致的. 由于在不同的假設(shè)下， 邊際極大似然函數(shù)和矩條件的復(fù)雜程度不同， 故從理論上難以明確兩者的有限樣本性質(zhì)， 進(jìn)而無法比較兩者優(yōu)劣. 下面， 本文基于Bootstrap抽樣方法重點(diǎn)分析兩種估計(jì)的有限樣本性質(zhì)， 并討論兩者的優(yōu)缺點(diǎn).

步驟一， 使用上述樣本生成B個(gè)Bootstrap樣本(本文中B=100)；

步驟三， 計(jì)算參數(shù)估計(jì)值的樣本偏差和樣本方差.

通過比較， 可以發(fā)現(xiàn)：

1) 邊際極大似然估計(jì)量的樣本偏差和方差在數(shù)值上， 均小于矩估計(jì)量的樣本偏差和方差， 表明邊際極大似然估計(jì)量的有限樣本精度高于矩估計(jì)量.

表 1 兩個(gè)估計(jì)量的方差

2) 從計(jì)算耗時(shí)來看， 邊際極大似然法遠(yuǎn)高于矩估計(jì)法. 在我們的計(jì)算過程中， 矩估計(jì)法的計(jì)算過程耗時(shí)僅2分鐘， 而邊際極大似然估計(jì)法耗時(shí)達(dá)7小時(shí)；

3) 圖 1為兩個(gè)估計(jì)量的直方圖和經(jīng)驗(yàn)CDF， 通過比較可發(fā)現(xiàn)三個(gè)參數(shù)的極大似然估計(jì)量更集中于真實(shí)值. 這一結(jié)果表現(xiàn)為： 極大似然估計(jì)量的直方圖更窄， 經(jīng)驗(yàn)CDF圖橫坐標(biāo)值的跨度范圍更小.

圖 1 直方圖和經(jīng)驗(yàn)CDFFig.1 Histogram and empirical CDF

4 結(jié) 論

基于Bootstrap抽樣的有限樣本性質(zhì)表明： 相對(duì)于矩估計(jì)， 邊際極大似然估計(jì)法的精度更高， 但耗時(shí)較長. 因此， 對(duì)于擁有高性能計(jì)算機(jī)的研究人員， 邊際極大似然估計(jì)法是一個(gè)較好的選擇； 而在時(shí)間或計(jì)算設(shè)備有限的情況下， 矩估計(jì)法也是一個(gè)可以選擇的方法.

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