劉海琴

【摘要】本文簡(jiǎn)單敘述了高等代數(shù)和空間解析幾何兩門(mén)課程存在的相互關(guān)系，結(jié)合兩者內(nèi)容上的相互關(guān)聯(lián)點(diǎn)，著重分析了如何優(yōu)化兩者的教學(xué)，并結(jié)合實(shí)例予以佐證.

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù)；空間解析幾何；優(yōu)化教學(xué)

高等代數(shù)和空間解析幾何，是本科數(shù)學(xué)相關(guān)專(zhuān)業(yè)的兩大專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程.前者的主要內(nèi)容是多項(xiàng)式理論、矩陣?yán)碚摗⑾蛄靠臻g和線性變換理論；而后者的主要內(nèi)容是向量代數(shù)、空間直線和平面、常見(jiàn)曲面、坐標(biāo)變換、二次曲線方程的化簡(jiǎn)等.一般學(xué)校的課程安排都是兩門(mén)課同時(shí)進(jìn)行或者空間解析幾何在高等代數(shù)開(kāi)始一個(gè)學(xué)期后相繼開(kāi)設(shè).由于兩門(mén)課程的內(nèi)容中有一部分是有直接關(guān)聯(lián)的，相應(yīng)的空間解析幾何中的相關(guān)內(nèi)容是對(duì)高等代數(shù)知識(shí)的具體幾何支撐.因此，最近幾年有一些“對(duì)兩門(mén)課程實(shí)行一體化教學(xué)”的建議，也有一部分學(xué)校開(kāi)始實(shí)施相應(yīng)的改革，將這兩門(mén)課程合并為一門(mén)課程，所用的教材有：陳志杰的《高等代數(shù)與解析幾何》、孟道驥的《高等代數(shù)與解析幾何》等.

一、實(shí)行一體化教學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)

高等代數(shù)是研究線性空間以及在線性空間基礎(chǔ)上的線性變換的學(xué)科.課程中大量的公式及定理、推論的推導(dǎo)證明采用嚴(yán)格的演繹論證方法，特點(diǎn)是抽象程度高、邏輯性強(qiáng).學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，很難深刻理解其中的抽象概念和復(fù)雜結(jié)論，學(xué)習(xí)效率不高.相反，若將這些理論與空間解析幾何的知識(shí)相關(guān)聯(lián)，利用幾何直觀方法，把抽象的問(wèn)題形象化[1].學(xué)生結(jié)合直觀的形象對(duì)抽象內(nèi)容加以理解，可以更好地理解概念，發(fā)現(xiàn)研究思路，有效開(kāi)展推理、猜想，直至問(wèn)題解決.因此，在具體教學(xué)中采用幾何直觀與演繹論證相結(jié)合的方法，一來(lái)是學(xué)生學(xué)好高等代數(shù)的需要，再者對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力和養(yǎng)成科學(xué)的思維品質(zhì)都具有十分重要的意義.事實(shí)上，高等代數(shù)為空間解析幾何提供研究方法，而空間解析幾何為高等代數(shù)提供直觀幾何背景.一些學(xué)校之所以將兩門(mén)課程合為一門(mén)課程也就是出于以上原因，在這兩門(mén)課程中有一部分知識(shí)點(diǎn)是相互關(guān)聯(lián)的，如果能夠?qū)砷T(mén)課程適當(dāng)結(jié)合起來(lái)，或者在兩門(mén)課程的講授過(guò)程中讓知識(shí)點(diǎn)相互融會(huì)貫通、相輔相成，對(duì)于學(xué)生對(duì)兩門(mén)課程的掌握都大有益處[2].

但是，將兩門(mén)課程合為一門(mén)課程，大家也一直在探討.因?yàn)樗^的一體化教學(xué)，不能僅僅是對(duì)現(xiàn)有的兩門(mén)課程的簡(jiǎn)單的合并、修改，而是在整個(gè)理論體系下優(yōu)化課程體系，整合教學(xué)內(nèi)容.同時(shí)，進(jìn)行一體化教學(xué)也有弊端存在.首先，在教學(xué)過(guò)程中可能會(huì)側(cè)重于高等代數(shù)知識(shí)的理論講解，而將幾何知識(shí)僅僅作為對(duì)代數(shù)知識(shí)的理論解釋?zhuān)虼?，就不?huì)形成一個(gè)完整的幾何知識(shí)體系.其次，進(jìn)行一體化教學(xué)后，如果將課時(shí)長(zhǎng)改為兩門(mén)課程的課時(shí)長(zhǎng)之和會(huì)略顯拖沓，學(xué)生在第一年時(shí)會(huì)有兩門(mén)這樣的課程（另外一門(mén)是數(shù)學(xué)分析），導(dǎo)致教學(xué)效果不好.最后，進(jìn)行一體化教學(xué)，還要求授課教師對(duì)兩門(mén)課程的知識(shí)體系相當(dāng)熟識(shí)且能做到融會(huì)貫通，一定程度上會(huì)加大教師備課的負(fù)擔(dān).那么，在現(xiàn)有的情況下，我們需要權(quán)衡一體化教學(xué)下兩門(mén)課程的輕重，要想辦法來(lái)對(duì)兩門(mén)課程進(jìn)行更好的協(xié)調(diào)，以促進(jìn)教學(xué).

二、一體化教學(xué)過(guò)程中如何優(yōu)化教學(xué)

“翻轉(zhuǎn)課堂”（Flipped Classroom），此教學(xué)理念最早出現(xiàn)在19世紀(jì)，是由General Silvanus Thayer在教學(xué)中所總結(jié)的一套方法.具體指的是：在課前學(xué)生學(xué)習(xí)教師提前發(fā)放的資料，課堂上用來(lái)批判性思考，并結(jié)合小組協(xié)作的方式解決問(wèn)題，這是翻轉(zhuǎn)課堂的雛形[5].

所謂“翻轉(zhuǎn)課堂”，實(shí)質(zhì)上是對(duì)傳統(tǒng)的教師講授、學(xué)生接受的模式進(jìn)行了翻轉(zhuǎn).學(xué)生可以在課前學(xué)習(xí)教師提前提供的學(xué)習(xí)資料，而課堂時(shí)間用于學(xué)習(xí)討論，小組協(xié)作解決問(wèn)題.如果將高等代數(shù)和空間解析幾何兩門(mén)課程進(jìn)行合并教學(xué)，為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目的，可以將“翻轉(zhuǎn)課堂”的這一教學(xué)理念應(yīng)用于教學(xué)中.鑒于兩門(mén)課程的一些內(nèi)容是相輔相成的，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中教師可以先對(duì)高等代數(shù)中的理論知識(shí)進(jìn)行講解，讓學(xué)生對(duì)相應(yīng)的知識(shí)體系得以系統(tǒng)地掌握.隨后將相對(duì)應(yīng)的空間解析幾何中的那部分內(nèi)容留給學(xué)生自己學(xué)習(xí)，讓學(xué)生分組課下討論，通過(guò)對(duì)高等代數(shù)知識(shí)的應(yīng)用理解，找到兩門(mén)課程的結(jié)合點(diǎn).用高等代數(shù)的理論知識(shí)去解釋幾何中的問(wèn)題，在此過(guò)程中，一方面，學(xué)生理解了代數(shù)中枯燥的理論知識(shí)，另一方面，也更好地學(xué)習(xí)了這些理論知識(shí)在幾何中的直觀的應(yīng)用背景.

下面本文從一個(gè)實(shí)例出發(fā)討論一下如何進(jìn)行具體的教學(xué).

高等代數(shù)中，向量的線性相關(guān)性也是一個(gè)相對(duì)較抽象、較難理解的知識(shí)點(diǎn).但是，在解析幾何這門(mén)課程中卻有相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，因此，可以在進(jìn)行兩個(gè)相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)過(guò)程中相互穿插，實(shí)現(xiàn)兩者互補(bǔ)[7].例如，在空間解析幾何的第二章內(nèi)容中，空間直角坐標(biāo)系中講到三個(gè)向量共面的充要條件時(shí)，有如下定理：ai={Xi，Yi，Zi}（i=1，2，3）共面的充要條件是X1Y1Z1X2Y2Z2X3Y3Z3=0.在講到這一知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候就可以與高等代數(shù)中向量的線性相關(guān)性以及行列式相關(guān)內(nèi)容相關(guān)聯(lián).因?yàn)榭臻g解析幾何中的所謂三個(gè)向量等價(jià)于代數(shù)內(nèi)容中的“三個(gè)向量線性相關(guān)”.而在判斷向量的線性相關(guān)性的時(shí)候一個(gè)重要的辦法就是看關(guān)于λ1，λ2，λ3的齊次線性方程組（如下）是否有非零解.

X1λ1+X2λ2+X3λ3=0，Y1λ1+Y2λ2+Y3λ3=0，Z1λ1+Z2λ2+Z3λ3=0.

依據(jù)線性方程組解的理論，可知上述方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式為零，即

X1Y1Z1X2Y2Z2X3Y3Z3=0.

在進(jìn)行這部分內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，如果能夠在各自的知識(shí)點(diǎn)中相互穿插，就能讓學(xué)生更直觀地理解所學(xué)內(nèi)容，使得本來(lái)抽象程度高、邏輯性強(qiáng)的高等代數(shù)知識(shí)有了更為直觀的解釋?zhuān)彩沟孟鄳?yīng)的幾何知識(shí)有了豐富的理論背景.為此可以先講授向量的線性相關(guān)知識(shí)，然后將幾何中相應(yīng)的向量的內(nèi)容的學(xué)習(xí)任務(wù)留給學(xué)生，讓學(xué)生帶著任務(wù)去學(xué)習(xí).實(shí)現(xiàn)課堂的翻轉(zhuǎn)，讓學(xué)生的被動(dòng)接受成為主動(dòng)學(xué)習(xí).

三、一體化教學(xué)之外的優(yōu)化教學(xué)的建議

目前，由于實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)兩門(mén)課程的一體化教學(xué)是一個(gè)需要探究的過(guò)程.因此，在沒(méi)有高效率地更好地實(shí)現(xiàn)一體化教學(xué)的階段，也應(yīng)該采取積極的措施更好地促進(jìn)兩門(mén)課程的教學(xué).可以從如下方面入手.

第一，盡量在同一時(shí)間段開(kāi)設(shè)兩門(mén)課程，讓兩門(mén)課程在課堂講授環(huán)節(jié)相互銜接.例如，可以將空間解析幾何與高等代數(shù)下冊(cè)安排在同一個(gè)學(xué)期，因?yàn)楦叩却鷶?shù)上冊(cè)內(nèi)容與空間解析幾何相互交叉的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)較少，而且易于理解.

第二，兩門(mén)課程的任課教師要進(jìn)行更多的知識(shí)交流，讓每一門(mén)課程的任課教師都要對(duì)兩門(mén)課程相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通.然后在此基礎(chǔ)上，要做到在教學(xué)中相互滲透，更好地幫助學(xué)生理解所學(xué)知識(shí).

第三，兩門(mén)課程的任課教師相互協(xié)作，早日實(shí)現(xiàn)兩門(mén)課程的更系統(tǒng)更完整的一體化教學(xué).作為空間解析幾何的任課教師，可以在授課過(guò)程中轉(zhuǎn)換角色，改變以往的教師為主的嚴(yán)肅無(wú)趣的數(shù)學(xué)課堂模式，讓學(xué)生成為課堂的主角；讓學(xué)生的被動(dòng)接受學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)換為主動(dòng)探索學(xué)習(xí).

【參考文獻(xiàn)】

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[7]孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：科學(xué)出版社，1998.

[8]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2005.endprint