張同喜 龔方友

中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第715研究所，杭州，310000

0 引言

航空絞車在軍用領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，是吊放聲吶探測(cè)系統(tǒng)的重要組成部分，主要用于航空聲吶的吊放和回收，其操作簡(jiǎn)單，自動(dòng)化程度高。由于反潛直升機(jī)處于海洋環(huán)境中，在惡劣的海況下，機(jī)身擺動(dòng)較為劇烈，這不僅會(huì)降低聲吶的投放精度，還會(huì)導(dǎo)致吊放電纜及聲吶設(shè)備的損傷[1]，因此對(duì)航空聲吶吊放系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)分析，對(duì)航空絞車的作業(yè)有積極作用。

航空絞車吊放系統(tǒng)包括吊頭、吊纜、吊物(聲吶)，在機(jī)身和風(fēng)速等影響下，吊纜和吊物的運(yùn)動(dòng)包含有復(fù)雜的非線性現(xiàn)象[2]。為了便于分析絞車吊放系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而描述出絞車作業(yè)時(shí)吊纜的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)形態(tài)，可以將其運(yùn)動(dòng)分解為吊物的擺動(dòng)以及吊纜受激勵(lì)下的振動(dòng)。吊物擺動(dòng)可以分為單擺模型[3-4]和空間球擺模型[5]。CHIN等[6]用彈性球擺來模擬吊重，對(duì)懸掛吊重的擺動(dòng)進(jìn)行了分析；HENRY等[7]建立了一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)組成的平面單擺模型，對(duì)吊重的擺動(dòng)進(jìn)行分析；董秋艷等[8]對(duì)起重船吊物系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了研究；胡于進(jìn)等[9]對(duì)運(yùn)架梁起重船吊重?cái)[動(dòng)進(jìn)行了分析。目前一些文獻(xiàn)都是對(duì)吊物在不同工況下的擺動(dòng)進(jìn)行分析研究，少有涉及其振動(dòng)的研究。

本文以某型航空絞車為研究對(duì)象，基于以球坐標(biāo)為擺動(dòng)角的單擺理論，建立聲吶擺動(dòng)數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出絞車收放作業(yè)時(shí)吊放電纜的振動(dòng)微分方程。通過數(shù)值方法分析了不同的激勵(lì)頻率對(duì)吊物擺動(dòng)的影響，并且對(duì)吊纜振動(dòng)情況做了研究，從而對(duì)聲吶擺動(dòng)過大的情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，能有效地避免作業(yè)中吊放系統(tǒng)和聲吶設(shè)備的損傷。

1 機(jī)身激勵(lì)下吊纜運(yùn)動(dòng)分析

1.1 絞車吊放系統(tǒng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

根據(jù)絞車吊放系統(tǒng)吊纜運(yùn)動(dòng)特性，在水平面內(nèi)建立絕對(duì)坐標(biāo)系oxyz，如圖1所示，其中，x軸指向機(jī)身頭部，y軸指向翼弦，z軸垂直向下。

圖1 吊放系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Shematic of lifting system

隨機(jī)身運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系為相對(duì)坐標(biāo)系ox0y0z0，當(dāng)?shù)躅^在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，ox與ox0夾角為β，絞車吊放系統(tǒng)中吊頭的絕對(duì)坐標(biāo)(x,y,z)與相對(duì)坐標(biāo)(x0,y0,z0)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系為

x=x0cosβ-y0sinβ
y=x0sinβ+y0cosβ
z=z0

1.2 吊纜擺動(dòng)數(shù)學(xué)模型

從上述分析可知，機(jī)身對(duì)吊頭的影響體現(xiàn)在x、y、z三個(gè)方向位移的變化，因此選取一個(gè)方向分析即可，為便于分析，在這里選取吊頭x軸方向的位移u(t)來分析吊物擺動(dòng)情況。設(shè)聲吶質(zhì)量為ms，吊纜長(zhǎng)度為L(zhǎng)，假定吊頭在x軸位移變化為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則t時(shí)刻吊頭位移為

u(t)=Ucosωt

(1)

式中，U為吊頭運(yùn)動(dòng)最大位移；ω為吊頭激勵(lì)頻率。

根據(jù)單擺原理[10]，可得到吊物的擺動(dòng)方程：

(2)

式中，c為阻尼系數(shù)，c=0.05；ωn為系統(tǒng)固有頻率；θ為吊物擺角。

聯(lián)立式(1)，可以得到式(2)的解析解：

θ=Acos(ωt+β)

(3)

式中，A為擺角幅值。

根據(jù)吊纜方向受力可得吊纜張力

1.3 吊纜振動(dòng)微分方程

由吊纜材料特性可知，吊纜不能承受彎矩，即抗彎剛度為0，吊放系統(tǒng)吊纜振動(dòng)如圖2所示。

圖2 吊纜的振動(dòng)分析Fig.2 Vibration analysis of suspended cable

設(shè)吊纜單位長(zhǎng)度質(zhì)量為w，吊纜張力為N，吊纜各節(jié)點(diǎn)橫向振動(dòng)位移為x(z,t)，吊纜單位長(zhǎng)度所受風(fēng)載荷為q(z,t)，可以利用哈密頓原理[11-12]推導(dǎo)出吊纜橫向振動(dòng)非齊次微分方程：

(4)

根據(jù)吊放系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性，確定以下初始邊界條件：

(1)初始條件

(5)

(2)邊界條件

(6)

其中，u(t)表示吊頭激勵(lì)x方向位移，由機(jī)身振動(dòng)情況而定。

由圖2，對(duì)吊物進(jìn)行受力分析可得：

(7)

由于η值較小，因此可得?x/?z=-tanη,cosη=1，那么式(7)可以化為

(8)

結(jié)合式(4)，根據(jù)單擺運(yùn)動(dòng)分析，可以得到式(8)的解析解：

x(z,t)=Uexp[ω2(z-BL)/g]sinωt

(9)

式中，B為控制吊物擺動(dòng)幅度的參數(shù)，B=2。

z=L時(shí)，式(9)可化為

x(L,t)=Uexp(-ω2L/g)sinωt

(10)

根據(jù)式(10)可以得到式(4)的邊界條件。

2 吊纜振動(dòng)微分方程數(shù)值算法

為了滿足吊纜振動(dòng)的實(shí)時(shí)性，在吊纜微分方程滿足初始條件(式(5))和邊界條件(式(6))時(shí)，采用顯式差分法[13-14]來求解式(4)，可得吊纜實(shí)時(shí)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。在運(yùn)用差分方法求解偏微分方程時(shí)，先要將連續(xù)問題離散化，在求解區(qū)間劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分如圖3所示。

圖3 z-t網(wǎng)格劃分Fig.3 z-t mesh division

由圖3可以看出，方程的求解區(qū)間為

R={(z,t)|00}

在這里，首先將求解區(qū)間0

zj=jhj=0,1,…,m

tn=nτn=0,1，…,T

式中，h為空間步長(zhǎng)，h=L/m；τ為時(shí)間步長(zhǎng)。

將式(4)差分化并整理，可以得到控制方程的差分格式：

(11)

a1=a5=-N/h2,a2=2N/h2-2w/τ2,a3=

a4=w/τ2

離散化式(5)和式(6)并整理可以得到

(12)

(13)

結(jié)合式(12)、式(13)，由式(11)就可以依次迭代出x(z,t)在每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)值。吊纜形態(tài)實(shí)時(shí)仿真計(jì)算過程如圖4所示。

圖4 吊纜形態(tài)實(shí)時(shí)仿真計(jì)算過程Fig.4 Flow chart of the cable real-time simulation

3 仿真算例及其結(jié)果分析

3.1 仿真作業(yè)算例

為了驗(yàn)證本文理論分析及數(shù)值解算方法的準(zhǔn)確性，設(shè)置吊頭為正弦激勵(lì)輸入情況下，吊頭在x軸方向位移幅值u(t)=1.8 m，算例中吊纜長(zhǎng)度為24.85 m(系統(tǒng)固有頻率為0.628 rad/s)，吊纜直徑9 mm，吊纜線密度為0.1 kg/m，聲吶質(zhì)量ms為68 kg，風(fēng)速為10 m/s；仿真空間步長(zhǎng)h=L/50，時(shí)間步長(zhǎng)τ=0.5 s。為便于分析，提供作業(yè)過程中的三種不同激勵(lì)頻率。

3.2 仿真結(jié)果分析

針對(duì)仿真算例，首先分析不同激勵(lì)頻率下，吊放系統(tǒng)響應(yīng)情況，在此情況下不考慮吊纜的升降，不同激勵(lì)頻率時(shí)，200 s內(nèi)吊纜擺角的變化如圖5所示，可以看出，隨著激勵(lì)頻率的減小，吊纜的擺角逐漸變大，當(dāng)激勵(lì)頻率達(dá)到系統(tǒng)固有頻率附近時(shí)，最大擺角約為26°，這是由于激勵(lì)頻率接近吊放系統(tǒng)固有頻率引起系統(tǒng)共振，而當(dāng)激勵(lì)頻率繼續(xù)減小時(shí)，吊纜擺角逐漸減小。

圖5 吊纜擺角響應(yīng)曲線Fig.5 Swing angle response curve of cable

為了分析吊頭激勵(lì)位移對(duì)吊纜振動(dòng)的影響，進(jìn)行了兩種不同吊頭激勵(lì)位移下吊纜振動(dòng)仿真測(cè)試。吊頭激勵(lì)位移A分別為-0.8 m和-1.4 m時(shí)，吊纜振動(dòng)響應(yīng)如圖6所示。由圖6可以看出，吊纜在靠近吊頭附近范圍內(nèi)，振動(dòng)是最劇烈的。在相同激勵(lì)頻率下，吊頭位移越大，吊纜振動(dòng)越大，并且沿著吊纜方向振動(dòng)逐漸減小；在激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)固有頻率時(shí)，相同的吊頭激勵(lì)位移下，吊纜振動(dòng)有所增加，但不是很明顯，說明系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下對(duì)吊纜振動(dòng)有一定加強(qiáng)。

(a)ω=0.785 rad/s

(b)ω=0.628 rad/s圖6 吊纜橫向振動(dòng)位移Fig.6 Transverse vibration displacement of cable

為了更直觀地了解吊纜的擺動(dòng)情況，根據(jù)線性疊加原理，將吊物的擺動(dòng)與吊纜的振動(dòng)進(jìn)行疊加，得到的吊纜形態(tài)如圖7所示。激勵(lì)頻率為0.785 rad/s、0.628 rad/s時(shí)，對(duì)吊纜最終擺動(dòng)形態(tài)進(jìn)行描述，為了分析吊纜擺動(dòng)形態(tài)隨時(shí)間變化，每幅圖顯示了3個(gè)不同時(shí)刻吊纜的形態(tài)，其中最左側(cè)點(diǎn)線代表最后時(shí)刻電纜擺動(dòng)形態(tài)，其余部分代表最后時(shí)刻之前電纜擺動(dòng)形態(tài)。

(a)ω=0.785 rad/s

(b)ω=0.628 rad/s圖7 吊纜擺動(dòng)形態(tài)仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of cable swing

通過仿真結(jié)果可知，吊纜擺動(dòng)形態(tài)自然，數(shù)值方法解算結(jié)果準(zhǔn)確、收斂性好，適用于航空吊放聲吶絞車作業(yè)時(shí)聲吶擺動(dòng)的預(yù)測(cè)與控制。

4 結(jié)論

(1)機(jī)身對(duì)吊頭的激勵(lì)對(duì)吊放系統(tǒng)的擺動(dòng)影響是非常明顯的，當(dāng)激勵(lì)頻率達(dá)到吊放系統(tǒng)固有頻率時(shí)，聲吶的擺動(dòng)角度到達(dá)最大，因此在作業(yè)中應(yīng)該盡量避免發(fā)生這種情況。

(2)通過改變吊頭橫向激勵(lì)位移可以改變吊纜振動(dòng)劇烈程度，橫向激勵(lì)越大，吊纜振動(dòng)越劇烈；當(dāng)外部激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)固有頻率時(shí)，吊纜振動(dòng)程度有所增加。

(3)本文采用的顯式差分法有效地應(yīng)用于本文建立的數(shù)學(xué)模型，仿真結(jié)果表明，本文理論分析的準(zhǔn)確性高、數(shù)值方法收斂性好。

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