（人民教育出版社）

在中國(guó)教育學(xué)會(huì)舉行的2018年會(huì)員開(kāi)放日活動(dòng)中，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)承辦了初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀摩與交流活動(dòng)，來(lái)自全國(guó)的一千多名代表參與了活動(dòng)，取得了非常好的效果.活動(dòng)中展示了4節(jié)課，在課堂教學(xué)展示后，筆者點(diǎn)評(píng)了“變量與函數(shù)”一課.本文是在現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)評(píng)基礎(chǔ)上整理出的書(shū)面點(diǎn)評(píng)稿，增加了一些內(nèi)容，與教學(xué)設(shè)計(jì)及課后反思一起發(fā)表，希望得到大家的批評(píng)指正.

一、有關(guān)理論基礎(chǔ)

1.核心素養(yǎng)的落實(shí)途徑

我們知道，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是立德樹(shù)人根本任務(wù)在數(shù)學(xué)課程中的具體化.當(dāng)前和今后的一個(gè)時(shí)期內(nèi)，數(shù)學(xué)教改研究的主要任務(wù)就是要探究如何把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)融入到日常教學(xué)中.

在新近頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》）中提出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而逐步形成的具有數(shù)學(xué)特征的關(guān)鍵能力、必備品格與價(jià)值觀念，它包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大要素，事實(shí)上，這是具有數(shù)學(xué)特征的六個(gè)關(guān)鍵能力.《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為“三用”，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.

如何才能在教學(xué)中落實(shí)好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為，其中的關(guān)鍵是要結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，在落實(shí)“四基”、培養(yǎng)“四能”的過(guò)程中，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.要把握好教學(xué)內(nèi)容的整體性、系統(tǒng)性和完整性，以研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的“基本套路”為依據(jù)，以“事實(shí)—概念（內(nèi)涵）—性質(zhì)（關(guān)系）—結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）—應(yīng)用”為教學(xué)主線，強(qiáng)化內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，從而顯化“事實(shí)—方法—方法論—數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”的數(shù)學(xué)育人過(guò)程，把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)到位.

為什么要強(qiáng)調(diào)這樣的教學(xué)主線呢？從思維過(guò)程、基本思想，以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)相互關(guān)聯(lián)的觀點(diǎn)出發(fā)，“事實(shí)—概念”的教學(xué)中，學(xué)生主要是在經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等過(guò)程，即通過(guò)對(duì)典型、豐富的具體實(shí)例屬性的分析，歸納共同屬性，抽象本質(zhì)屬性，再概括到同類(lèi)事物中去而形成數(shù)學(xué)概念.這一過(guò)程中需要加強(qiáng)“概念的抽象要做哪些事”“如何用數(shù)學(xué)的眼光看待事物的屬性”“如何抽象”和“如何概括”等的思考；“概念—性質(zhì)”的教學(xué)主要是從概念出發(fā)，通過(guò)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等發(fā)現(xiàn)和證明數(shù)學(xué)結(jié)論，包括通過(guò)歸納推理發(fā)現(xiàn)、再通過(guò)（邏輯）演繹推理證明，這個(gè)過(guò)程集中體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)的思維思考世界；在“性質(zhì)—結(jié)構(gòu)”的教學(xué)中，學(xué)生要經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等過(guò)程，建立相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)而形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；而在“概念—性質(zhì)—結(jié)構(gòu)—應(yīng)用”的過(guò)程中，要進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決內(nèi)外問(wèn)題的過(guò)程.因此，強(qiáng)調(diào)上述教學(xué)主線對(duì)于落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有重要意義.

2.關(guān)于概念教學(xué)

從上述教學(xué)主線可見(jiàn)，概念教學(xué)處于基礎(chǔ)地位.根據(jù)概念學(xué)習(xí)理論，概念的獲得有兩種基本方式，即概念形成和概念同化.筆者認(rèn)為，中學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中，兩種方式是融合在一起的，據(jù)此可以得出如下概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié).

（1）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，即提供典型而豐富的具體實(shí)例，給出學(xué)習(xí)任務(wù).

（2）概念的抽象，即通過(guò)對(duì)具體實(shí)例屬性的分析、比較、綜合，歸納事物的共同屬性，抽象本質(zhì)屬性.

（3）下定義，即概括出這類(lèi)事物的本質(zhì)屬性，得到概念的全部?jī)?nèi)涵，并用準(zhǔn)確、精煉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以描述，用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表示.

（4）概念的辨析，即以具體實(shí)例（正例、反例）為載體分析概念關(guān)鍵詞的含義，更準(zhǔn)確地把握概念的內(nèi)涵.

（5）概念的初步應(yīng)用，即通過(guò)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，形成用概念做判斷的具體步驟.

（6）概念的“精致”，即通過(guò)建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，形成“概念網(wǎng)絡(luò)”.

上述概念教學(xué)環(huán)節(jié)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過(guò)程，學(xué)生可以經(jīng)歷到完整的觀察、想象、比較、歸納、抽象、概括等思維活動(dòng)，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展都可以滲透其中.

3.關(guān)于函數(shù)概念的教學(xué)

由上述概念教學(xué)理論可知，函數(shù)一般概念的教學(xué)，在精選具體實(shí)例的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)是要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程的分析，歸納變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的共同特征，抽象概括出函數(shù)概念；在對(duì)具體實(shí)例特性進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，從不同實(shí)例的特性中發(fā)現(xiàn)和歸納共性，從共性中抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)特征，再用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)概念，這是教學(xué)難點(diǎn).所以，函數(shù)概念的教學(xué)要解決以下關(guān)鍵性的教學(xué)問(wèn)題.

（1）這是一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程嗎？

（2）其中涉及哪些量？哪些是變量？

（3）兩個(gè)變量之間具有怎樣的關(guān)系？（x確定后，y是否唯一確定？）

為了突出重點(diǎn)，化解難點(diǎn)，教師應(yīng)依據(jù)概念教學(xué)的基本要求，圍繞抽象函數(shù)概念的關(guān)鍵問(wèn)題，選擇學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境.因?yàn)閷W(xué)生獨(dú)立得出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，并給出數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述存在較大困難，所以可以在明確的問(wèn)題引導(dǎo)下，由教師先做啟發(fā)式講解，帶領(lǐng)學(xué)生分析具體實(shí)例中變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的特征，然后再逐步放開(kāi)，通過(guò)系列活動(dòng)，讓學(xué)生展開(kāi)獨(dú)立思考、自主探究、合作交流等，歸納共性，抽象本質(zhì)屬性，概括出函數(shù)概念.

二、對(duì)“變量與函數(shù)”一課的點(diǎn)評(píng)

1．問(wèn)題+啟發(fā)式講解

“變量與函數(shù)”一課，從教學(xué)設(shè)計(jì)到課堂實(shí)踐都是符合上述要求的.

在課前檢測(cè)了解學(xué)生對(duì)常量、變量概念的掌握情況后，執(zhí)教教師給出勻速運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題情境（例1），并提出問(wèn)題1.

問(wèn)題1：這個(gè)問(wèn)題中有哪些量？路程、速度、時(shí)間有什么關(guān)系？誰(shuí)是變量？這兩個(gè)變量之間是什么關(guān)系？

再通過(guò)兩個(gè)追問(wèn)，把學(xué)生的注意力引導(dǎo)到“兩個(gè)變量具有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系”的思考上.通過(guò)學(xué)生回答、師生互動(dòng)形成對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系的直接體驗(yàn)，然后執(zhí)教教師給出具有一定規(guī)范性的描述：s隨t的變化而變化；t取任意一個(gè)值，s的值唯一確定.

這個(gè)問(wèn)題的教學(xué)以“問(wèn)題+啟發(fā)式講解”的形式展開(kāi)，這里的問(wèn)題聚焦在函數(shù)概念的內(nèi)涵，是有結(jié)構(gòu)的，有利于學(xué)生進(jìn)行變量之間關(guān)系的歸納，無(wú)形中滲透了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

接著，教師給出例2.這個(gè)問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)是有考慮的，用表格表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是一個(gè)函數(shù)，但沒(méi)有解析式，它有利于破除學(xué)生對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系的一些不準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí).例如，許多學(xué)生認(rèn)為函數(shù)都是有解析式的，不同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也不同，等等.在函數(shù)概念形成之初，執(zhí)教教師就注意利用不同例子，消除學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的誤解，這是非常好的做法.

給出問(wèn)題情境后，教師提出如下問(wèn)題及追問(wèn).

問(wèn)題2：這是一個(gè)變化的過(guò)程嗎？在這個(gè)變化過(guò)程中包含哪些量？哪些是變量？

追問(wèn)：這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有給兩個(gè)變量之間的關(guān)系式，你還能看出兩個(gè)變量之間的關(guān)系嗎？剛才描述的兩條結(jié)論還成立嗎？

這里的問(wèn)題繼續(xù)聚焦在函數(shù)內(nèi)涵的分析上，并增加追問(wèn)：在這個(gè)變化過(guò)程中，兩個(gè)變量之間的關(guān)系如何描述？教師放手讓學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行全班交流.課堂中，學(xué)生的回答反映了他們對(duì)表格呈現(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的真實(shí)理解.

生1：x-40=y，由x可以得到y(tǒng)的值.

生2：關(guān)系式不對(duì)，例如，由表格可知，當(dāng)x=60時(shí)，y=6 000，而不是等于20.

生3：不同的x可以有相同的y值，例如，當(dāng)x=63和67時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值都等于6 210.

執(zhí)教教師繼續(xù)追問(wèn)：一個(gè)x是否對(duì)應(yīng)了唯一確定的一個(gè)y值呢？

生4：售價(jià)確定，就有一個(gè)利潤(rùn)值，沒(méi)有多余的.

上述回答中，生1不僅沒(méi)有理解題意，而且也說(shuō)明部分學(xué)生潛意識(shí)中認(rèn)為對(duì)應(yīng)關(guān)系必須用解析式表示；生3看到了不同的x有可能對(duì)應(yīng)相同的y，教師通過(guò)追問(wèn)把學(xué)生的思路引導(dǎo)到函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征上；而生4的回答是對(duì)“x確定，y就唯一確定”的理解，“沒(méi)有多余的”就是“唯一”的.

通過(guò)上述過(guò)程，比較好地實(shí)現(xiàn)了教學(xué)設(shè)計(jì)意圖，即明確研究變化過(guò)程中變量之間關(guān)系的思路，能夠模仿描述兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

2.定向探究，抽象函數(shù)概念

接著，教師安排了“活動(dòng)1”，并要求結(jié)合三個(gè)實(shí)例思考和討論如下問(wèn)題：在不同的變化過(guò)程中有哪些是變量？每個(gè)問(wèn)題中的變量之間是否具有相同的關(guān)系？如果有，這個(gè)相同的關(guān)系是什么？

可以看到，這里提出的問(wèn)題一如既往地聚焦在函數(shù)概念本質(zhì)特征上，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)“有結(jié)構(gòu)的探究活動(dòng)”，這是一種定向探究.教師提出的問(wèn)題具有開(kāi)放性，要求學(xué)生進(jìn)行共性歸納，并給予學(xué)生充分的時(shí)間思考.在學(xué)生進(jìn)行小組討論的過(guò)程中，教師走到學(xué)生中間參與討論，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程，并從中選擇有代表性的回答進(jìn)行全班交流.

學(xué)生通過(guò)探究和交流，給出了非常精彩的回答.

生5：第（1）（2）題能列出關(guān)系式；第（3）題中，溫度和時(shí)間沒(méi)有關(guān)系，溫度是受其他因素影響的.

師：你從影響氣溫的物理因素考慮，得出“溫度與時(shí)間沒(méi)有關(guān)系”的結(jié)論是對(duì)的.但這里要考慮的關(guān)系是溫度是不是隨時(shí)間的變化而變化？在一個(gè)確定的時(shí)刻，t是否有唯一的溫度值？

生5：是.

生6：當(dāng)時(shí)間t確定時(shí)，溫度是唯一確定的.

師：如何確定？

生6：在x軸上取一個(gè)點(diǎn)，作x軸的垂線，可以得到唯一的溫度.

生7：這三個(gè)實(shí)際問(wèn)題有一個(gè)共同點(diǎn)，它們都是一個(gè)變化過(guò)程，一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化，一個(gè)量定了另一個(gè)也定了.

生8：時(shí)間不同時(shí)，溫度可能一樣.

……

在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步提出問(wèn)題：每個(gè)問(wèn)題中的變量之間是否具有相同的關(guān)系？歸納上述這些具體問(wèn)題的共性，就可以得到一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念——函數(shù)．你能說(shuō)說(shuō)歸納的結(jié)果嗎？

生9：變化過(guò)程中，其中一個(gè)有確定值時(shí)，它是自己變的，這個(gè)可以叫做自變量；另一個(gè)是隨著變化的變量，這個(gè)就應(yīng)該是函數(shù)了.

上述活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)“變化過(guò)程”“變量之間的關(guān)系”“一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化的特征”等的理解都得到了充分的展示.其中有的不太全面，有的出現(xiàn)了偏差，而生9給出的樸實(shí)說(shuō)法，表明他對(duì)函數(shù)本質(zhì)特征的理解已經(jīng)很到位了.無(wú)論如何，通過(guò)活動(dòng)1，學(xué)生的思維得到了充分暴露，為抽象概括函數(shù)概念奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).這時(shí)教師給出定義就自然而然、水到渠成了.可以相信，在這個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)于如何分析具體實(shí)例、如何歸納共性、如何抽象本質(zhì)特征等都能形成體驗(yàn)，這是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)“三用”的過(guò)程.

3.概念辨析，深化認(rèn)識(shí)關(guān)鍵詞

在給出函數(shù)概念后，教師安排了概念辨析的過(guò)程，圍繞如何判斷一個(gè)變化過(guò)程中變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)，設(shè)計(jì)了三個(gè)小環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)1，通過(guò)實(shí)例，總結(jié)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的3個(gè)步驟.

環(huán)節(jié)2，通過(guò)反例，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注關(guān)鍵詞“任意”“唯一確定”的含義.

環(huán)節(jié)3，讓學(xué)生列舉生活中與函數(shù)相關(guān)的實(shí)例，學(xué)生的舉例很貼切.例如，坐地鐵的次數(shù)與總錢(qián)數(shù)的關(guān)系，學(xué)號(hào)和身高的關(guān)系，等等.

通過(guò)這一過(guò)程，學(xué)生進(jìn)一步熟悉了函數(shù)概念中變量之間的關(guān)系，明確“唯一確定”的具體涵義.

4.關(guān)于課堂小結(jié)

當(dāng)前的課堂教學(xué)中，“通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？”之類(lèi)的不著邊際的問(wèn)題非常流行，課堂小結(jié)走過(guò)場(chǎng)的現(xiàn)象很普遍，而本節(jié)課的小結(jié)，所提出的問(wèn)題則不同，內(nèi)涵比較豐富.教師通過(guò)五個(gè)問(wèn)題，不僅引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，更關(guān)注了內(nèi)容所反映的思想方法，以及如何展開(kāi)思考，其中包括如何分析具體實(shí)例、如何歸納共性、如何抽象本質(zhì)特征，等等，并提出“說(shuō)一說(shuō)接下來(lái)你想繼續(xù)研究函數(shù)的哪些內(nèi)容？從什么角度進(jìn)行研究？”的問(wèn)題.學(xué)生給出了如下非常好的回答.

生10：我想按照從一般到特殊的思路，研究一些具體的函數(shù).

生11：我想研究函數(shù)的各種表示方法之間的關(guān)系.

生12：我想看看函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.

……

這樣的小結(jié)是過(guò)程與結(jié)果相結(jié)合的，注重了數(shù)學(xué)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的落實(shí).同時(shí)，也把如何發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題滲透其中，實(shí)現(xiàn)了“四基”“四能”的融合，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有力舉措.

三、關(guān)于信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合

因?yàn)楸敬位顒?dòng)的主題是“新技術(shù)支持未來(lái)教育”，所以這里對(duì)本節(jié)課中用信息技術(shù)支持教學(xué)（主要是在信息技術(shù)使用的點(diǎn)，以及如何使用上）提出一點(diǎn)看法.

1.合理選擇、有效利用信息技術(shù)

這節(jié)課中的信息技術(shù)使用，一是課前檢測(cè)，二是學(xué)習(xí)任務(wù)的推送，學(xué)習(xí)結(jié)果的收集和點(diǎn)評(píng).

在課前檢測(cè)中，結(jié)果是即時(shí)生成的，教師可以立即看到學(xué)生解答的準(zhǔn)確率，發(fā)現(xiàn)存在哪些問(wèn)題，并及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)救.

利用信息技術(shù)推送學(xué)習(xí)任務(wù)，可以設(shè)計(jì)個(gè)性化學(xué)習(xí)任務(wù)，給不同的學(xué)生發(fā)送不同的學(xué)習(xí)任務(wù)；同時(shí)也可以節(jié)省時(shí)間，讓學(xué)生有更多的時(shí)間用于思考；還可以利用技術(shù)收集與展示學(xué)生的不同思考結(jié)果，達(dá)到更有效而充分的交流互動(dòng)，學(xué)生在相互啟發(fā)中自然而然地培養(yǎng)了探究能力.

在后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的表示法、研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程中，信息技術(shù)應(yīng)該更有用武之地.

2.利用信息技術(shù)提高課堂教學(xué)效率

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合可以減少“人力勞動(dòng)”，讓計(jì)算機(jī)去做重復(fù)性工作.本節(jié)課中，教師用平板電腦推送課前檢測(cè)和目標(biāo)檢測(cè)題，利用技術(shù)手段展示學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程，實(shí)時(shí)反饋學(xué)生完成問(wèn)題的作答情況，組織學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤答案進(jìn)行討論交流，從中可以看到教學(xué)生態(tài)的變化，課堂互動(dòng)方式的變化，極大地增強(qiáng)了師生互動(dòng)的效果和效率.

［1］中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專(zhuān)家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.