何明旺

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

考慮平面正則曲線(xiàn)[1]

通常將s稱(chēng)為曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)參數(shù).對(duì)于正則曲線(xiàn)r，我們總可以取它的弧長(zhǎng)作為參數(shù)來(lái)表示.在弧長(zhǎng)參數(shù)下，有

即曲線(xiàn)r(s)的切向量長(zhǎng)度為常值1.我們用來(lái)表示 (s),y(s)x對(duì)參數(shù)s求導(dǎo)的量，比如.通常將單位向量(s)記為t(s).從幾何學(xué)的角度來(lái)講，是曲線(xiàn)在點(diǎn)的單位切向量.另外規(guī)定曲線(xiàn)稱(chēng)為正則曲線(xiàn)，如果：

注意到t(s)是的法向量，且與曲線(xiàn)r相切.與t(s)垂直的向量稱(chēng)為曲線(xiàn)r在點(diǎn)的法向量.選取一個(gè)單位法向量n(s)與t(s)垂直，構(gòu)成正交坐標(biāo)系，且這個(gè)坐標(biāo)系與{i,j}定向相同是右手系).稱(chēng)n(s)是曲線(xiàn)r(s)在點(diǎn)的單位正法向量，它由t(s)唯一確定.

一般的，沿曲線(xiàn)r(s)，有單位切向量t(s)和單位法向量是一個(gè)以r(s)為原點(diǎn)的正交標(biāo)架.這時(shí)候曲線(xiàn)r(s)上任何一點(diǎn)都有一個(gè)這樣的標(biāo)架，稱(chēng)為沿曲線(xiàn)r的Frenet標(biāo)架[1].可以得到它們之間存在這樣的關(guān)系：

由(8)式(9)式確定的一個(gè)函數(shù)κ(s)稱(chēng)為曲線(xiàn)r(s)的曲率.

定理1設(shè)A是一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的平面單純正則閉曲線(xiàn)C所圍成的面積，則有如下不等式：，式中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)C是圓時(shí)成立.

定理2 平面內(nèi)兩條曲線(xiàn)g和f它們的長(zhǎng)度為定值L(以弧長(zhǎng)s為參數(shù))，它們的曲率不同，那么兩條曲線(xiàn)g和f兩端點(diǎn)之間的距離Dist不同，兩條曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)曲率大的那條曲線(xiàn)的兩端點(diǎn)之間的距離Dist要小.

1 定理1的證明

證明：根據(jù)格林公式[2]

所以

若“=”成立，由(13)式可知u(s)≡常數(shù)C.

也就是當(dāng)“=”成立，平面正則曲線(xiàn)是一個(gè)圓.

所以

定理1得證.

2 定理2的證明

設(shè)兩條曲線(xiàn)g和f它們的長(zhǎng)度為L(zhǎng)(以弧長(zhǎng)s為參數(shù))，它們的兩個(gè)端點(diǎn)分別記為A,B和C,D.在平面內(nèi)建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，AB和CD都與x軸重合.

規(guī)定gθ和fθ分別為曲線(xiàn)g和f的某一點(diǎn)的切向角[4]，并且在曲線(xiàn)g上存在一點(diǎn)s0，使在該點(diǎn)的切線(xiàn)平行于x軸[5]，即，且

那么根據(jù)(18)式可知，存在一點(diǎn)s0使得.那么

所以定理2得證.

[1] 彭家貴，陳卿.微分幾何[M].北京：高等教育出版社.2002：14-21.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].上海：高等教育出版.2008：148-154.

[3] Guo H X, Philipowski R, Thalmaier A. An entropy formula for the dependent metric application to ancient solutions[J]. Pac J Math, 2013, 264 :61-82.

[4] Hamiltion R. Remarks on the entropy and Hamack estimates for the Gauss curvature flow [J]. Commun Anal &Geom,1994, 2(1):155-165.

[5] 陳省身，陳維恒.微分幾何講義[M].2版.北京：北京大學(xué)出版社，2004：331-335.

[6] Huisken G. Contracting convex hypersurfaces in Riemannian manifolds by their mean curvature [J]. Invent Math,1986, 84:463-480.