廣東省廣州市第六中學(xué)

吳 林 (郵編：510300)

前不久，筆者有幸聽了一節(jié)貴州省黔南州骨干教師來我校跟崗學(xué)習(xí)的一節(jié)匯報課，講評我校高二理科中段考試卷.上課教師是跟崗團中一位最年輕的女教師，她根據(jù)學(xué)生的答卷情況，精選了部分試題講評.整節(jié)課啟發(fā)性很好、分析到位、講解透徹、與學(xué)生互動好、板書規(guī)范工整，體現(xiàn)了上課教師深厚的功底和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

但是，在講最后一道填空題(第16題)時遇到了一些小意外，現(xiàn)記錄如下：

題已知函數(shù)f(x)=(x2-1)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，則函數(shù)f(x)的值域為______.

師：本題沒有同學(xué)做對，但相信大家對本題有過嘗試和思考，請說說你的想法？

生1：向左平移3個單位后是偶函數(shù).

師：(沉默一陣)因為我準(zhǔn)備不足，我們暫時不討論這個方法.

師：我們看到函數(shù)關(guān)于x=3對稱，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)有2個零點是1，-1，由此可以得出什么結(jié)論？

生2：還有兩個零點是5，7.

師：很好.這樣我們就得到f(x)=(x-1)(x+1)(x-5)(x-7),接下來如何求值域呢？

生3：求導(dǎo).

師：求導(dǎo)？那我們試試.教師板演：f′x=4x3-36x2+68x+12,然后我們需要求它的零點，顯然不好求.

生4：再求導(dǎo).

師：再求導(dǎo)的目的也是求f′(x)的零點，而f″(x)=4(3x2-18x+17),這個二階導(dǎo)數(shù)的零點都不是整數(shù)，那么后面的計算可想而知其復(fù)雜性.

師：那我們再觀察f(x)=(x-1)(x+1)(x-5)(x-7),這個4次函數(shù)還有什么辦法可以解決？

生5：化為二次函數(shù)？

師：很好，請詳細(xì)說說.

生5：我們很多四次函數(shù)可以換元化為二次函數(shù)的，怎么化，我也沒想到.

師：很好，請大家思考，并從對稱的角度想想，怎么才能換元，化為二次呢？

停頓幾分鐘后，

生6：我想到了：f(x)=(x-1)(x+1)(x-5)(x-7)=(x-1)(x-5)(x+1)(x-7)=(x2-6x+5)(x2-6x-7),設(shè)t=x2-6x,得y=t2-2t-35,(以下從略).

師：大家給點掌聲他.

師：還有一個問題，這道題是一個直線對稱的問題，我們處理的辦法是通過零點的對稱性求解析式，再求其最值.請問一般對稱問題都能這樣解嗎？如果是中心對稱呢？請大家做變式：

fx=x3+ax+3關(guān)于點P1,2對稱，求a的值.

待老師寫完題，眾生：a=-2.

師：怎么做的？

眾生：把點P代進(jìn)去就可以了.

顯然，這道題題目錯了，教師也意識到?jīng)]有編好，對問題考慮不周.而此時下課鈴聲想起，教師說：下課了，大家下去后再好好思考一下，同學(xué)之間相互討論一下.

從本題的考查知識點來看，主要有兩個：(1)通過對稱性求參；(2)對于四次函數(shù)值域的研究.從解法來看，可以通過對稱性直接計算，可以通過化為偶函數(shù)求參；對于四次函數(shù)的值域，可以用導(dǎo)數(shù)解決，也可以換元化為二次函數(shù)來解決.而教師在備課時只考慮了一種方法，就是通過零點對稱求參，再通過換元化為二次函數(shù).但這并不是學(xué)生的“生長點”，所以，本題講解出現(xiàn)了以下意外：

意外一生1說將原函數(shù)平移后可得到一個偶函數(shù)，這應(yīng)該是一個大多數(shù)學(xué)生經(jīng)常容易想到的思路，也體現(xiàn)了我們常說的將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題這一重要的轉(zhuǎn)化思想，是值得肯定的，也是通法之一.教師在備課時準(zhǔn)備不足，說明教師對這個問題研究不深入，同時對學(xué)生這一想法的點評不足，應(yīng)該更多地予以鼓勵與肯定.

事實上，將函數(shù)圖象向左平移3個單位后，得到函數(shù)y=f(x+3)是偶函數(shù).

所以，y=f(x+3)=x4+(a+12)x3+(9a+b+53)x2+(26a+6b+102)x+8(9+b+3a)為偶函數(shù)，從而，a+12=0且26a+6b+102=0,所以，a=-12,b=35.以下從略.

意外二生3在說用求導(dǎo)的方法去求f(x)的極值點后，教師對f′x=4x3-36x2+68x+12的零點的求法研究不足，否定了這一做法，這個方法雖然計算要求高，但也是學(xué)生思維的增長點.

事實上，因為f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，所以x=3是f(x)的極值點，所以f′x=4x3-36x2+68x+12必有一個零點為x=3,于是f′(x)=4(x-3)(x2-6x-1),從而求出f′(x)的零點，再求出f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域.

意外三生5、生6能想到常見的處理特殊的簡單四次函數(shù)方法：化為二次函數(shù)，從而通過嘗試想到“配對”展開再換元，這樣的學(xué)生是我們尋找并要好好培養(yǎng)的學(xué)生.這是一個意外的驚喜.

意外四教師最后一個變式的方向其實很好，從四次函數(shù)關(guān)于直線對稱想到三次函數(shù)關(guān)于點對稱.兩種函數(shù)，兩種對稱，通過類比，讓學(xué)生理解和掌握對稱問題的通性通法，對學(xué)生的思維提升很有幫助.但是因為教師研究不深入，導(dǎo)致題目出錯，沒能很好體現(xiàn)意圖，而且沒有對學(xué)生的解法：將點P代入函數(shù)式做追問：你是怎么想到的？為什么可以直接代進(jìn)去？

事實上，解決圖象對稱的問題一般有兩個思路：(1)取任意點，通過點的對稱來解決，我們研究奇偶函數(shù)和求軌跡方程都是用的這個思想方法；(2)從一般到特殊，通過取特殊點(比如函數(shù)的零點)對稱來求參數(shù)，計算量小.

對于習(xí)題教學(xué)的幾點思考：

1 強化用通性通法，有助于學(xué)生思維能力的培養(yǎng).

在已知函數(shù)奇偶性求參時，我們也常用特殊值法和定義法求參，這才是通法.要讓學(xué)生掌握簡單的三次函數(shù)、四次函數(shù)的研究方法，通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值，也是通法；將四次化為二次也是常見方法.這些通法才是我們要教給學(xué)生的方法，也是學(xué)生需要通過訓(xùn)練掌握的“基本功”.

本題的知識點和方法是高考?？键c，在各地高考卷中也屢見不鮮，此處僅舉兩例：

(2017年全國卷1，文科試題第9題)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x)，則( )

A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增

B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減

C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱

D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱

(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理科試題第16題)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，則f(x)的最大值為______．

2 課堂上“教學(xué)意外”如何處理？

“教學(xué)設(shè)計是一門科學(xué)，教學(xué)是一門藝術(shù)”(南京師范大學(xué)喻平教授語)，所以，教師在備課時要嚴(yán)謹(jǐn)周密，符合科學(xué)性，但在處理“教學(xué)意外”時還要符合藝術(shù)性，可以幽默風(fēng)趣地自我解嘲、坦誠自己的準(zhǔn)備不足、表揚學(xué)生的想法，并鼓勵大家下去討論研究，同時教師需要承諾學(xué)生，教師會在課后研究學(xué)生提出的方法的可行性，或約學(xué)生課下討論.在處理過程中，教師要實事求是：(1)尊重和鼓勵學(xué)生思考的價值；(2)教師面對問題和困難的信心、勇氣和態(tài)度，這能給學(xué)生以很好的示范和榜樣作用.

教師要有意識地保護學(xué)生思考的積極性，無論學(xué)生的思考結(jié)果是否成熟，是否可行，教師都要鼓勵他們大膽嘗試，可行和不可行都要給出充分的理由，不可簡單地肯定或否定.當(dāng)學(xué)生遇到復(fù)雜問題不會解決時，我們不能簡單地把這個問題歸結(jié)為學(xué)生的練習(xí)不足或者是基礎(chǔ)不牢固，有時候，是學(xué)生缺乏解題的信心，從而放棄了對正確方法的追求，這種情感態(tài)度也需要我們在平時課堂上有意識地培養(yǎng)和保護.

3 在習(xí)題課中教學(xué)，怎樣更有效地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力？

教師要充分了解學(xué)情，加強學(xué)法指導(dǎo)，通過對學(xué)生熟悉問題的挖掘和拓展能引導(dǎo)學(xué)生跳出“題?！?，重視對多題一解，一解多題的反思、歸納和總結(jié)，使學(xué)生真正地將方法內(nèi)化，將問題形成串，結(jié)成網(wǎng)，以促進(jìn)學(xué)生知識的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、綜合化和應(yīng)用化，從而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1].

引導(dǎo)學(xué)生想到解決問題的通法：老師通過分析條件、結(jié)論、題型等引導(dǎo)學(xué)生想到解決問題的第一步，也就是解題思維的起點，從而打開思路，找到通法.

引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，形成能力：教師啟發(fā)學(xué)生說出自己的想法和思路，通過方法的比較，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的習(xí)慣，學(xué)生才能真正學(xué)會分析問題；同時，教師通過對題型的歸納、總結(jié)和變式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，提高學(xué)生的綜合能力.

4 教師如何提升自己的專業(yè)素質(zhì)？

對于一線教師，最好的研究素材就是課堂和學(xué)生，教師要做教學(xué)的有心人.很多課堂的“生成”、“碰撞”甚至“沖突”，都值得我們認(rèn)真思考和研究.我們可以多做小課題研究，積累素材，久而久之，自己的專業(yè)素質(zhì)就會有很大的提升.例如，本實錄中最后的變式：三次函數(shù)的對稱中心問題(拐點是其對稱中心)，就有很多教師做過研究(有興趣的老師可以上網(wǎng)搜索，此處從略)，我們可以借鑒學(xué)習(xí)，這樣可以避免自己犯專業(yè)性錯誤.

在教學(xué)中及時記錄，及時反思，及時在課堂上與學(xué)生分享，是自我成長的基礎(chǔ).同時教師也能在分享中了解學(xué)情，更好地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，為后續(xù)的教學(xué)找到著力點，這種反思和實踐會使教師的專業(yè)成長更快.

在備課時充分考慮傳授何種知識，如何傳授？培養(yǎng)什么能力，如何培養(yǎng)？學(xué)生會學(xué)到什么，通過什么方式得到？學(xué)生會獲得什么體驗，如何獲得？將這些問題落實到教學(xué)方法、教學(xué)的具體環(huán)節(jié)中，落實到教學(xué)的預(yù)設(shè)與生成中，就能更明確教學(xué)目標(biāo)與培養(yǎng)目標(biāo).長期堅持，何愁學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)不提升？[1]

1 吳林.知識起點，立意落點-以同課異構(gòu)為例談教學(xué)設(shè)計的立意[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2015(10)