張雪

【摘要】 高中函數的最值問題，一直都是高中數學課程的重要組成部分，不僅是數學教學的重點，同時也是高考重要的考點.但是因為最值問題涉及的范圍比較廣，解題方法也比較靈活多變，因此，要求學生一定要有扎實的數學基礎功和良好的數學思維能力.本文主要對函數最值問題的解題方法進行探討和總結.

【關鍵詞】 高中;函數;最值;求解方法

一、定義法

利用定義求解函數最值的問題時，其中重要的一點就是要把握好定義的內涵，然后準確地加以運用，需要特別注意的是函數一定有值域，但是不一定有最值.

例1 ??設函數f（x）的定義域為 R ，下列命題中對的是：

（1）如果存在一個常數p，使得對任意x∈ R ，有f（x）≥p，那么p是函數f（x）的最小值;（2）如果存在x o∈ R ，使得對任意的x∈ R ，有f（x）≥f（x o），則f（x o）是函數f（x）的最小值.

解 ?由函數的最小值定義可知，（1）是假命題：條件雖然滿足了最小值定義中的任意性，但是不滿足存在性，所以錯誤.（2）正確

二、配方法

配方法是求二次函數最值的一個基本方法，例如， F（x）= af2（x）+bf（x）+c函數的最值問題，可以用配方法解決，但是要注意自變量的取值范圍和對稱軸與區(qū)間的相對位置關系.

例2 ??已知函數f（x）=x2+8x+4，求其最值.

解 ?原式=（x+4）2-16+4=（x+4）2-12，

對稱軸是直線x=-4，開口向上，頂點（-4，-12）.當x=-4時，函數有最小值-12.

三、換元法

換元法的主旨就是通過引入一個或者幾個新的變量，替換掉原來的某些變量或代數式，使問題更易于解決的一種方法.

例3 ??求函數y=x+ 1-2x 的最值.

解 ?設t= 1-2x （t≥0），則由原式得y=- 1 2 （t-1）2+1≤1.

當且僅當t=1，即x=0時取等號.故函數的最大值為1，無最小值.

四、不等式法

求解函數最值，還有一種比較常用的方法，就是不等式法.這種方法主要是通過利用均值不等式以及其變形公式來解決函數的最值問題.常用的基本不等式為：a2+b2≥2ab（a，b為實數）; a+b 2 ≥ ab （a≥0，b≥0）;? a+b 2? 2≤ a2+b2 2 （a，b為實數）.

例4 ??設x，y，z為正實數，x-2y+3z=0，求 y2 xz 的最小值.

解 ?因為x-2y+3z=0，所以y= x+3z 2 ，

所以 y2 xz = x2+9z2+6xz 4xz .

又x，z為正實數，所以由基本不等式得 y2 xz ≥ 6zx+6xz 4xz =3，當且僅當x=3z時取等號.故 y2 xz 的最小值為3.

五、函數單調性法

函數單調性法是通過確定已知函數在給定區(qū)間的單調性，依據其單調性求函數的最大值或最小值.

例5 ??設a>1，函數f（x）=log ax在區(qū)間[a，2a]上的最小值與最大值之差為 1 2 ，求a的值.

解 ?因為a>1，則函數f（x）=log ax在區(qū)間[a，2a]上是增函數，所以函數在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值分別是log a2a，log aa=1.又因為它們的差為 1 2 ，所以a=4.

六、導數法

設函數f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間（a，b）內可導，則f（x）在[a，b]上的最大值和最小值應為f（x）在（a，b）內的各極值與f（a），f（b）中的最大值和最小值.

例6 ??函數f（x）=x3-3x+2在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是多少？

解 ?f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，得x=-1.

又f（-3）=-16，f（-1）=4，f（0）=2.通過比較得 f（x） 的最大值為4，最小值為-16.

七、判別式法

判別式法指的是把函數轉化成x的二次方程F（x，y）=0，然后通過方程有實根，判別式Δ≥0，從而得到函數最值.判別式法多用于求形如y= ax2+bx+c dx2+ex+f （a，b不同時為0）的分式函數的最值.

例7 ??求函數y= x2-3x+4 x2+3x+4 的最大值和最小值分別是多少.

解 ?因為x2+3x+4=0的判別式Δ 1=32-4×1×4=-7<0，所以x2+3x+4>0對一切x∈ R 均成立.所以函數的定義域為 R .

所以函數表達式可化為（y-1）x2+（3y+3）x+4y-4=0.

當y=1時，x=0;

當y≠1時，由x∈ R ，上面的一元二次方程必有實根，

所以Δ=（3y+3）2-4（y-1）（4y-4）≥0，

解得 1 7 ≤y≤7（y≠1）.

綜上，函數的最大值為7，最小值為 1 7 .

【參考文獻】

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