楊麗平

【摘要】 數(shù)學是一種文化.數(shù)學不僅具有工具屬性，還具有文化屬性.本文從文科學生的特點分析了數(shù)學文化對大學文科數(shù)學教學的意義和作用，并從傳播數(shù)學文化的角度，以“定積分概念”為例，從教學內(nèi)容分析、教學目標設(shè)計、教學方法設(shè)計和教學過程設(shè)計等方面進行了教學設(shè)計.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學文化;文科數(shù)學;教學設(shè)計

自1983年南開大學在部分文科專業(yè)中開設(shè)數(shù)學課程以來 [1] ，國內(nèi)許多高校相繼開設(shè)了大學文科數(shù)學等課程.經(jīng)過三十多年的探索和實踐，大學文科數(shù)學教育已取得了巨大成就.實踐已表明：在大學文科專業(yè)中開設(shè)數(shù)學課程對于培養(yǎng)文科生的數(shù)學意識和提升文科生的數(shù)學素養(yǎng)有著重要的作用.然而，與理工科數(shù)學相比，文科數(shù)學還比較年輕，還存在諸多問題，如對數(shù)學價值認識不明、學習興趣不濃、教學方式不足、學習方法不當、教學內(nèi)容不適等 [2] .近年來，數(shù)學文化這一概念引起了國內(nèi)外專家學者的廣泛關(guān)注.數(shù)學文化觀認為，數(shù)學是一種文化.數(shù)學不僅具有工具屬性，還具有文化屬性 [3] .因此，數(shù)學教育理應(yīng)承擔起傳授數(shù)學知識和傳播數(shù)學文化的雙重責任.特別是文科學生有著與理工科學生顯著不同的數(shù)學基礎(chǔ)、專業(yè)背景、學習需求和認知特點，則對于文科學生而言，“了解數(shù)學文化，增進理性思維”要比“掌握數(shù)學工具”更加重要 [4] .

一、數(shù)學文化對大學文科數(shù)學教育的意義

數(shù)學文化概念雖提出有三十多年，但至今沒有統(tǒng)一的定義.顧沛教授認為：數(shù)學文化的解釋有狹義和廣義之分，狹義的數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言以及它們的形成和發(fā)展;廣義的數(shù)學文化是指除狹義解釋外，還包含數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學與人文的交叉、數(shù)學與各種文化的關(guān)系 [5] .王新民等人認為：數(shù)學文化是指人類在數(shù)學行為活動的過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品，物質(zhì)產(chǎn)品是指數(shù)學命題、數(shù)學方法、數(shù)學問題和數(shù)學語言等知識性成分;而精神產(chǎn)品是指數(shù)學思想、數(shù)學意識、數(shù)學精神和數(shù)學美等觀念性成分.在數(shù)學文化中，觀念性成分即數(shù)學觀念是數(shù)學文化的核心，它可以從精神層面上來影響人們的信念、行為和價值觀 [6] .

日本著名數(shù)學教育家米山國藏在《數(shù)學的精神、思想和方法》一書中說道：“在學校學的數(shù)學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，不到一兩年，就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，隨時隨地產(chǎn)生作用，使他們終身受益.”對于大學文科學生而言，亦是如此.首先，文科學生中大部分學生的數(shù)學基礎(chǔ)較差，對數(shù)學缺乏學習興趣，甚至畏懼數(shù)學.其次，文科類專業(yè)對數(shù)學知識要求不高，掌握數(shù)學知識的多與少、深與淺，不會對后續(xù)學習產(chǎn)生直接影響.第三，文科學生在未來所從事的工作中用到大學數(shù)學知識的機會很少，甚至部分學生根本就沒有機會用大學數(shù)學知識去解決生活和工作中的問題.第四，文科學生擅長感性認識和形象思維，但理性認識和邏輯思維相對較弱，對具體的、直觀的事物認識較強，對抽象的、邏輯的概念理解較弱.以上這些特點決定了在大學文科數(shù)學教學中傳播數(shù)學文化要比單純地傳授數(shù)學知識有意義得多.

除此之外，在大學文科數(shù)學教學中傳播數(shù)學文化還具有以下作用：

1.有助于提高文科學生對數(shù)學及其價值的認識.文科學生通常對數(shù)學的科學價值認識較為充分，但對數(shù)學所具有的社會價值知之甚少.通過數(shù)學與文化的融合，可以使他們了解數(shù)學在人類文明進步和社會文化發(fā)展中的作用，提高他們對數(shù)學的價值，特別是社會價值的認識.

2.有助于培養(yǎng)文科學生學習數(shù)學的興趣.數(shù)學文化讓學生面對的不再是枯燥的計算和復(fù)雜的推導，而是豐富而有趣的數(shù)學思想、數(shù)學精神、數(shù)學思維、數(shù)學方法、數(shù)學趣聞、數(shù)學美以及數(shù)學應(yīng)用等文化成分，可以使文科學生更好地感受數(shù)學的魅力，激發(fā)他們學習數(shù)學的興趣.

3.有助于提高文科學生的數(shù)學素養(yǎng).傳統(tǒng)的數(shù)學教學觀將學生的視野局限于數(shù)學知識.將數(shù)學文化融入教學，可以拓展文科學生的數(shù)學視野，培養(yǎng)他們用數(shù)學的眼光看世界的意識，提高他們用數(shù)學思維分析問題和解決問題的能力.

二、“定積分概念”的教學設(shè)計

（一）教學內(nèi)容分析

定積分是大學文科數(shù)學的重要內(nèi)容之一.定積分概念是學習定積分的基礎(chǔ)，是數(shù)學、物理等有關(guān)問題高度抽象的 結(jié)果.除定積分的定義外，本節(jié)還蘊含了以下數(shù)學文化的內(nèi)容：

1.數(shù)學史.定積分起源于計算面積和體積等實際問題，演化于窮竭法（The method of exhaustion）.古希臘智人學派學者安提豐（Antiphon）在解決“化圓為方”的問題上最早表述了“窮竭法”;歐多克索斯（Eudoxus）發(fā)展建立了嚴謹?shù)母F竭法，并計算了圓、圓錐和棱錐的體積;歐幾里得（Euclid）在《幾何原本》第Ⅻ篇中運用窮竭法證明了命題2，5，10，11，12，18;阿基米德（Archimedes）運用窮竭法計算了橢球體、旋轉(zhuǎn)拋物體等幾何體的體積以及一些阿基米德螺線所包圍的面積.16世紀至17世紀的數(shù)學家們認識到窮竭法在邏輯上的優(yōu)美，增長了純計算的興趣，并從修改阿基米德的窮竭法開始，獲得了計算面積、體積以及物體重心等的新方法，他們的探索推動了窮竭法向積分的發(fā)展，其中開普勒、費馬、格雷戈里、卡瓦列里、瓦利斯等人都做出了巨大貢獻.直到牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，窮竭法才被根本地修改，演化成了定積分.今天，窮竭法已成為歷史名詞.

2.數(shù)學思想.定積分的概念與性質(zhì)中蘊含著豐富的數(shù)學思想和方法.如曲邊梯形面積求解問題、變速直線運動路程求解問題都蘊含了以直代曲、以常代變，將未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想;定積分定義的導出過程蘊含了從特殊到一般，從具體到抽象的歸納思想;以及用近似代替精確的思想方法;用極限求解無限的思想方法;以及量變引起質(zhì)變、用局部認識整體的辯證思想等.

3.數(shù)學應(yīng)用.定積分的產(chǎn)生和發(fā)展從未離開過應(yīng)用.定 積分起源于計算面積、體積等實際問題，廣泛應(yīng)用于幾何學、物理學、經(jīng)濟學、計算機科學以及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)等領(lǐng)域.典型的例子如幾何學中的曲邊梯形的面積問題、旋轉(zhuǎn)體的體積問題、物理學中變速直線運動的路程問題等.

4.數(shù)學美.定積分用一個簡單的公式形象直觀地描述了“大化小，常代變，近似和，取極限”的過程，充分展現(xiàn)出了數(shù)學的形式美和簡潔美.

（二）教學目標設(shè)計

1.知識與技能：了解定積分的定義過程，能用自己的語言描述曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程求解思路;理解定積分的概念，能用自己的語言描述定積分的定義以及公式中各部分的名稱和含義;理解定積分的幾何意義，能用定積分表示平面圖形的面積.

2.文化與素養(yǎng)：了解定積分的起源、發(fā)展過程及其應(yīng)用;體會以直代曲、以常代變、將未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想;體會從特殊到一般，從具體到抽象的歸納思想;體會量變引起質(zhì)變、用局部認識整體的辯證思想等;體會定積分公式展現(xiàn)出的數(shù)學美.

（三）教學重點與難點

1.重點：曲邊梯形面積求解過程和變速直線運動路程求解過程及蘊含的將未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想;定積分的定義過程及蘊含的從具體到抽象的歸納思想;定積分的幾何意義及數(shù)形結(jié)合思想方法.

2.難點：理解曲邊梯形面積求解過程和變速直線運動路程求解過程;理解以直代曲、以常代變、將未知轉(zhuǎn)化為已 知的化歸思想;理解從特殊到一般，從具體到抽象的歸納思想.

（四）教學方法設(shè)計

本節(jié)主要采用啟發(fā)式、探究式教學方法.定積分是一個新的概念，但其定義建立在極限基礎(chǔ)上，可以通過極限方法導出.因此，在教學過程中，可以引導學生積極思考，調(diào)動學生學習的積極性，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.

（五）教學過程設(shè)計

1.概述.概述主要介紹定積分產(chǎn)生的過程、思想來源以及應(yīng)用領(lǐng)域，重點闡述“窮竭法”思想，為第三步分析問題做好思路上的鋪墊.

2.提出問題，導入新課.定積分的概念來源于計算面積和體積等實際問題.以曲邊梯形面積問題為例導入新課，不僅能帶領(lǐng)學生“穿越時空”回到古希臘時代，追尋定積分的“足跡”，為探究式教學創(chuàng)設(shè)情境，還有助于引發(fā)學生的好奇心，激發(fā)學習興趣，引導學生思考.

3.引導探究，解決問題.從方法論的角度講，定積分在概念形成過程中體現(xiàn)出的“以直代曲”“以常代變”“將未知轉(zhuǎn)化為已知”的化歸思想要比定積分概念本身重要得多.因此，在此過程中，要注意引導學生進行探究，充分體會數(shù)學的化歸思想.首先引導學生對“曲邊梯形面積問題”進行探究，提煉出“大化小，常代變，近似和，取極限”思路，并將思維過程表示為

A= lim ??λ→0 ?∑ n ?i=1 ?f（ξ i）Δx i. （1）

然后再提出“變速直線運動路程問題”，啟發(fā)學生利用類比方法，按照曲邊梯形面 積問題的解題思路，再次提煉出“大化小，常代變，近似和，取極限”思路，并將思維過程表示為

S= lim ??λ→0 ?∑ n ?i=1 ?v（τ i）Δt i. （2）

在分析過程中，注意讓學生體會量變與質(zhì)變、局部與整體之間的辯證關(guān)系.

4.啟發(fā)歸納，提煉定義.首先啟發(fā)學生對上述兩個問題及其結(jié)果進行比較分析，引導學生“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，去除兩個問題的具體情境和意義，抽取共同特征：（1）問題相同，均是“非均勻分布總量問題”;（2）思路相同，均為“大化小，常代變，近似和，取極限”;（3）結(jié)果相同，表達式結(jié)構(gòu)一致.然后引導學生抽象出定積分的定義及其表達式為

∫b af（x）dx= lim ??λ→0 ?∑ n ?i=1 ?f（ξ i）Δx i. （3）

再引導學生回到曲邊梯形面積問題，結(jié)合圖形討論定積分的幾何意義.

在此過程中，可以讓學生充分體會從特殊到一般，從具體到抽象的歸納思想.

5.討論練習，提升能力.練習的目的是讓學生充分理解定積分的定義，理解“大化小，常代變，近似和，取極限”的思維過程.如，

∫1 0x2dx= lim ??λ→0 ?∑ n ?i=1 ?ξ2 iΔx i= lim ??n→∞ ?∑ n ?i=1 ???i n? 2 1 n

= lim ??n→∞ ??1 6? 1+ 1 n?? 2+ 1 n? = 1 3 .

解題的難點在于根據(jù)定義寫出表達式 ?lim ??λ→0 ?∑ n ?i=1 ?ξ2 iΔx i，關(guān)鍵在于“大化小”，即積分區(qū)間的分割方式.定義中雖對積分區(qū)間的分割結(jié)果有明確要求（即最大分割區(qū)間λ→0），但并沒有給出具體的分割方式（“任意插入若干個分點”）.因此，要引導學生采用等分方式進行分割，在分析過程中，注意讓學生體會一般與特殊的辯證關(guān)系.

6.總結(jié).引導學生回顧總結(jié)從兩個實際問題導出定積分定義和應(yīng)用定積分定義分析解題的過程，將“大化小，常代變，近似和，取極限”解題思路升華到“以直代曲”“以常代變”“將未知轉(zhuǎn)化為已知”的化歸思想，將定積分定義的導出過程升華到“從特殊到一般”“從具體到抽象”的歸納思想，將定義導出到例題求解升華到“實踐上升到理論，理論指導實踐”的哲學思想.

三、結(jié) 語

數(shù)學知識與數(shù)學文化不是一分為二的，而是相互融合、相互滲透的，只有找到二者的最佳契合點，恰如其分地融合在一起，才能充分發(fā)揮數(shù)學文化的作用.就如茍長義所說：“數(shù)學文化在教學中不是點綴的，而是整體的;不是附著的， 而是有機的;不是鋪天蓋地的，而是恰如其分的;不是牽強附會的，而是水到渠成的;不是長篇大論的，而是畫龍點睛的.” [7]

【參考文獻】

[1]顧沛，戴瑛，溫媛.借助現(xiàn)代信息技術(shù)手段促進數(shù)學文化融入“大學文科數(shù)學”的教改[J].大學數(shù)學，2010（2）：1-6.

[2]何穗，胡典順，李書剛.大學文科數(shù)學教學的現(xiàn)狀與對策[J].數(shù)學教育學報，2013（1）：47-50.

[3]張永新.大學文科數(shù)學教學目標的雙重性及教學對策[J].樂山師范學院學報，2012（11）：34-35，97.

[4]顧沛.培養(yǎng)學生形象思維、邏輯思維、辯證思維的相輔相成——兼談“大學文科數(shù)學”的教學改革[J].中國大學教學，2010（3）：31-35.

[5]顧沛.數(shù)學文化課與大學生文化素質(zhì)教育[J].中國大學教學，2007（4）：6-7.

[6]王新民，馬岷興.新課程中“數(shù)學文化”的涵義詮釋[J].教學和管理，2006（27）：97-98.

[7]茍長義，顧沛.以數(shù)學文化的融入改進文科數(shù)學教學[J].數(shù)學教育學報，2008（6）：5-7.