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挖掘問題潛能,提高解題能力

2018-02-14 04:03王永明
數(shù)學學習與研究 2018年24期
關(guān)鍵詞:解題能力問題

王永明

【摘要】 從教材問題入手,通過增刪條件、變換結(jié)論、逆向思維等手段對問題進行一系列的變式,不斷挖掘其潛能,在鍛煉學生思維的靈活性、開放性和創(chuàng)造性的同時使學生體會到問題與問題的區(qū)別與聯(lián)系,從而發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律,掌握解題的技巧.

【關(guān)鍵詞】 問題;變式方式;解題能力

在數(shù)學教學中,教師應認真鉆研典型問題,挖掘其潛能,通過問題的變式,增強問題的輻射功能,真正做到舉一反三,觸類旁通,從而提高學生解題能力.

一、問題來源

當k取什么值時,一元二次不等式2kx2+kx- 3 8 <0對一切實數(shù)x都成立?(高中數(shù)學必修5第103頁A組第3題)

解 ?原題等價于二次函數(shù)y=2kx2+kx- 3 8 的圖像恒在x軸下方,則 2k<0,Δ=k2+3k<0, ?解得-3<k<0,

∴當-3<k<0時,一元二次不等式2kx2+kx- 3 8 <0對一切實數(shù)都成立.

二、問題變式

(一)變式1:刪減條件

不等式2kx2+kx- 3 8 <0對x∈ R 恒成立,求k的取值范圍.

解 ?當k=0時,原不等式可化為- 3 8 <0,恒成立,

∴k=0滿足題意.

當k≠0時,原不等式為一元二次不等式,即原問題,故有-3<k<0.

綜上:k的取值范圍為(-3,0].

評注:條件由“一元二次不等式”弱化為“不等式”,故需對二次項系數(shù)k加以分類討論.

(二)變式2:增設(shè)條件

一元二次不等式2kx2+kx- 3 8 <0對滿足-2≤x≤2的所有x都成立,求k的取值范圍.

解 ?(1)當k>0時,二次函數(shù)f(x)=2kx2+kx- 3 8 的圖像開口向上,且對稱軸x=- 1 4 ∈[-2,2],由圖1可知: f(-2)<0,f(2)<0 k< 3 80 , ∴0<k< 3 80 .

(2)當k<0時,二次函數(shù)f(x)=2kx2+kx- 3 8 的圖像開口向下,且對稱軸x=- 1 4 ∈[-2,2],由圖2可知: f - 1 4? < 0k>-3,∴-3<k<0.

綜上:k的取值范圍為(-3,0)∪ 0, 3 80? .

評注:條件由“對一切實數(shù)x都成立”強化為“對滿足 -2≤ x≤2的所有x都成立”,借助二次函數(shù)的最值加以討論.

(三)變式3:變換結(jié)論

函數(shù)y=log 2 2kx2+kx- 3 8? 的值域為 R ,求k的取值范圍.

解 ?要使函數(shù)y=log 2 2kx2+kx- 3 8? 的值域為 R ,則真數(shù)2kx2+kx- 3 8 必須取遍一切正數(shù),

令f(x)=2kx2+kx- 3 8 ,由圖3可知: 2k>0,Δ=k2+3k≥0 ?k>0,∴k的取值范圍為(0,+∞).

評注:變換結(jié)論,讓學生明確問題之間的內(nèi)在聯(lián)系,體現(xiàn)了數(shù)學解題中常用的化歸思想.

(四)變式4:逆向思維

不等式2kx2+kx- 3 8 <0對滿足-2≤k≤2的所有k都成立,求x的取值范圍.

解 ?原不等式變形為(2x2+x)k- 3 8 <0.

令g(k)=(2x2+x)k- 3 8 ,則g(k)<0對滿足-2≤ k≤ 2的所有k都成立.

(1)當2x2+x=0,即x=0或x=- 1 2 時,原不等式可化為- 3 8 <0,恒成立,∴x=0或x=- 1 2 滿足題意.

(2)當2x2+x≠0,即x≠0且x≠- 1 2 時,g(k)為k的一次函數(shù),由圖4可知: g(-2)=-4x2-2x- 3 8 <0,g(2)=4x2+2x- 3 8 <0-2- 10? 8 <x< -2+ 10? 8 ,

∴ -2- 10? 8 <x< -2+ 10? 8 ,且x≠0且x≠- 1 2 .

綜上:x的取值范圍為? -2- 10? 8 , -2+ 10? 8? 和x=0或x=- 1 2 .

評注:問題的條件與結(jié)論相互變換,通過逆向思維,使用變更主元的方法,將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(k)的問題,簡化解題過程.

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