閆佳潔 張定強(qiáng)

大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，也是影響高考數(shù)學(xué)成績的重要因素.以近五年數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國理科卷Ⅱ?yàn)檠芯繉?duì)象，對(duì)高考中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查進(jìn)行梳理，發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)運(yùn)算基本貫穿高考解題過程，主要是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算方法、運(yùn)算思路和演繹推理等方面的考查;結(jié)合歷年高考數(shù)學(xué)試題，解析數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)中的理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、求得運(yùn)算結(jié)果的表現(xiàn)形態(tài)，提出了相應(yīng)的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);試題解析;教學(xué)建議

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)[1]，并與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)一起形成數(shù)學(xué)素養(yǎng).在問題解決的過程中，良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算好比通往數(shù)學(xué)思維和問題解決的高速公路，可以快捷地打開問題解決的大門，提高問題解決的速度和準(zhǔn)確度.

數(shù)學(xué)運(yùn)算作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，其重要性不言而喻.但目前高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的現(xiàn)狀不容樂觀，經(jīng)常出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全，全而不優(yōu)”的現(xiàn)象[2]，夏春南認(rèn)為學(xué)生對(duì)運(yùn)算的重視程度不夠以及教師教學(xué)中疏忽了對(duì)學(xué)生解題規(guī)范的訓(xùn)練是造成這種現(xiàn)象的主要原因[3]，章建躍認(rèn)為可以通過落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)來改變高中生運(yùn)算能力差的現(xiàn)狀，要注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算的基本技能，要從“數(shù)系擴(kuò)充的背景、內(nèi)容、方法及其數(shù)學(xué)思想”處提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)[4]，不少研究者也認(rèn)為高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)要從基本技能和思想方法上重點(diǎn)培養(yǎng)[2][5].數(shù)學(xué)高考作為探測學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量的重要方式，對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查采取以知識(shí)為基礎(chǔ)，以題為載體[6]的評(píng)價(jià)方式，因此透過高考這一視角就可以在一定程度上了解學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的真實(shí)水平.本文以近五年（2014—2018）數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國理科卷Ⅱ?yàn)檠芯繉?duì)象，對(duì)高考試題中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)做一深度解析.

1 試題中的“數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)”的整體呈現(xiàn)析理

數(shù)學(xué)高考是綜合考查學(xué)生高中階段數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平的關(guān)鍵路徑，因此一道試題可能考查多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)素養(yǎng)，例如一道圓錐曲線題，要運(yùn)用圓錐曲線知識(shí)，通過看圖、讀圖、推理、計(jì)算等方式來解決，包含了對(duì)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等的考查.數(shù)學(xué)運(yùn)算作為解決問題的手段，是影響數(shù)學(xué)成績高低的重要因素，現(xiàn)就近五年高考數(shù)學(xué)試題中涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的主要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，以概述“數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)”的整體呈現(xiàn).

由表1可知，每年的高考題都重視對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查，小到運(yùn)用運(yùn)算公式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，大到探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法等，從考查方式來看，主要和其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，運(yùn)用記憶、理解、推理的方式溝通不同的知識(shí)點(diǎn)，建構(gòu)問題解決的思路.

從橫向看，集合、復(fù)數(shù)、向量、指對(duì)冪函數(shù)等內(nèi)容的考查以運(yùn)算法則和性質(zhì)定理為主，圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的考查以運(yùn)算思路和演繹推理為主，三角函數(shù)、解三角形、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容的考查以運(yùn)算方法為主.從縱向看，每一知識(shí)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查都具有較強(qiáng)的繼承性，但是側(cè)重點(diǎn)有所不同.例如向量數(shù)量積運(yùn)算幾乎每年的試題中都有所涉及，有的側(cè)重于考查定義，有的側(cè)重于坐標(biāo)表示與運(yùn)算;又如對(duì)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的考查每年都涉及求導(dǎo)運(yùn)算，但2014年、2016年重點(diǎn)考查運(yùn)算的演繹推理品質(zhì)，而2015年、2018年側(cè)重考查探究運(yùn)算思路的能力，2017年則側(cè)重考查求得運(yùn)算結(jié)果的能力.

2 試題中的“數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)”考查重點(diǎn)例析

每一道試題都有其考查的重點(diǎn)，有的聚焦于重要數(shù)學(xué)概念、命題、思想、方法的理解和應(yīng)用，有的注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)及通性、通法的掌握.涉及到“數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)”的試題也不例外，主要表現(xiàn)為對(duì)理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、求得運(yùn)算結(jié)果等方面的考查.

2.1理解運(yùn)算對(duì)象的考查例析

理解運(yùn)算對(duì)象就是要明確對(duì)誰進(jìn)行運(yùn)算，即了解運(yùn)算對(duì)象的背景，理解運(yùn)算對(duì)象的實(shí)質(zhì)、幾何意義、相關(guān)數(shù)學(xué)思想以及相關(guān)聯(lián)的概念等，對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解不是一蹴而就，而是由淺入深的過程，并通過運(yùn)算過程加深對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解和認(rèn)知，從而明晰運(yùn)算對(duì)象的所指和能指，感受運(yùn)算對(duì)象的內(nèi)涵和外延.解高考題的過程中，只有對(duì)運(yùn)算對(duì)象及其特征做到心中有數(shù)，才能使運(yùn)算自然順暢進(jìn)行.

2.3探究運(yùn)算思路的考查例析

運(yùn)算思路是運(yùn)算操作的路線圖，具有內(nèi)在的邏輯性，蘊(yùn)含著豐富的推理過程，不同的運(yùn)算思路反映著不同的運(yùn)算思維，運(yùn)算思路通過運(yùn)算方法與運(yùn)算過程來體現(xiàn).運(yùn)算思路是體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的精華，運(yùn)算思路的探索是“解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵”[8]，運(yùn)算的過程是反應(yīng)、揭示規(guī)律的過程，是演繹推理的過程，通過探究運(yùn)算思路，能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展;高考解題中，通常把一個(gè)大的運(yùn)算問題分解為多個(gè)小問題運(yùn)算的思路來解決，隨著每一步運(yùn)算結(jié)果的出現(xiàn)，都會(huì)推進(jìn)問題解決的進(jìn)程，達(dá)到問題解決的目的.

例3（2018年·理第19題）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k（k>0）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，AB=8.

（Ⅰ）求l的方程;

（Ⅱ）求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

分析本題考查拋物線與直線相交的問題.第一問運(yùn)算的總體思路是設(shè)而不求，聯(lián)立方程求解并確定l的方程;第二問主要采用一般圓的方程確定方法，這一方法的關(guān)鍵在于求圓心坐標(biāo)，即幾何問題代數(shù)化，這是本題中運(yùn)算思維的第一步，也是關(guān)鍵一步，圓心確定的關(guān)鍵是數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即圓與準(zhǔn)線相切的基本條件可以通過半徑進(jìn)行刻畫，通過勾股定理解決問題.在解題過程中，運(yùn)算思路決定了解題方法的可行性和運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，尤其第二問會(huì)因?yàn)檫\(yùn)算思路的偏差出現(xiàn)漏解的情況，求解過程中，不能因?yàn)閽佄锞€的某一性質(zhì)（以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切）就確定要求解的圓是以AB為直徑的圓，這一不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\(yùn)算思路會(huì)直接導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果不完整，正確的運(yùn)算思路是在幾何圖形的情境中，深入對(duì)代數(shù)化的幾何圖形進(jìn)行分析，靈活運(yùn)用幾何特征和代數(shù)運(yùn)算法則產(chǎn)生的.

2.4求得運(yùn)算結(jié)果的考查例析

求得運(yùn)算結(jié)果是正確理解運(yùn)算對(duì)象、靈活運(yùn)用運(yùn)算法則、機(jī)智使用運(yùn)算方法來解得正確答案的綜合體現(xiàn).求得運(yùn)算結(jié)果的能力分為基本運(yùn)算能力和綜合運(yùn)算能力.基本運(yùn)算能力主要考查運(yùn)算技能，是根據(jù)已知量算出未知量的運(yùn)算過程，考查基本運(yùn)算的高考題重點(diǎn)不在運(yùn)算，而在于知識(shí)本身，因此這一類題對(duì)于運(yùn)算的要求以關(guān)注會(huì)算、算對(duì)及運(yùn)算的速度為主.綜合運(yùn)算能力基于基本運(yùn)算能力之上，是理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算方法、探究運(yùn)算思路、求得運(yùn)算結(jié)果的綜合體現(xiàn)，其中運(yùn)算思路與方法是運(yùn)算的正確性、運(yùn)算量、運(yùn)算的復(fù)雜性與技巧性的主要影響因素，對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解程度是求得正確運(yùn)算結(jié)果的充要條件，通過對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解判斷運(yùn)算結(jié)果是否都滿足條件是求得運(yùn)算結(jié)果的一種品質(zhì)，是學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)精神的一種表征.高考中對(duì)于綜合運(yùn)算能力的要求較高，往往不只停留在數(shù)值和符號(hào)運(yùn)算中，更是數(shù)學(xué)思維的表征，這類題通常設(shè)置在試卷的最后部分，運(yùn)算在這類試題中充當(dāng)?shù)慕巧帽壬眢w中的血液，連通了所有的解題思路和解題過程.

分析這是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)綜合考查的一道題目，數(shù)學(xué)運(yùn)算貫穿于整道題的解題過程.運(yùn)算的主要思路是通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值解決問題，運(yùn)算的主要方法是用求導(dǎo)解函數(shù)單調(diào)性和極值，第一問通過將f（x）拆分成兩個(gè)函數(shù)的乘積，從而構(gòu)造函數(shù)h（x）（假設(shè)構(gòu)造的函數(shù)為h（x））并通過求導(dǎo)運(yùn)算解得h（x）的極值，理解a在h（x）中的意義，求得a的大小;第二問運(yùn)算利用極值、零點(diǎn)存在定理、分類討論思想等解決問題，通過每一步運(yùn)算得到的結(jié)果提示進(jìn)行邏輯推理，得到更加準(zhǔn)確明晰的運(yùn)算思路，因此運(yùn)算的過程是揭示規(guī)律、邏輯推理的過程，在解題過程中運(yùn)算使用頻率較高，難度較大.

3 教學(xué)建議

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）把數(shù)學(xué)運(yùn)算作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，顯現(xiàn)出數(shù)學(xué)運(yùn)算在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，高考是學(xué)生學(xué)業(yè)素養(yǎng)的評(píng)價(jià)工具和手段，對(duì)高中課堂教學(xué)具有重要的導(dǎo)向作用，基于對(duì)高考試題中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的解析，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的落實(shí)提出如下教學(xué)建議.

3.1觀念轉(zhuǎn)變，重視學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算在90%的高考數(shù)學(xué)題目中均有所涉及，因此在日常教學(xué)中應(yīng)高度重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).首先教師要正確理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)含義，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)不僅包含技能層面的數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)，還包含認(rèn)知層面的數(shù)學(xué)思維，對(duì)于高中生的教學(xué)更應(yīng)該注重后者.教師要正確理解2015年出版的課程標(biāo)準(zhǔn)中“刪減繁瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容”[9]的意義，避免雙基異化現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法的設(shè)計(jì)與實(shí)施中，重視數(shù)學(xué)運(yùn)算的設(shè)計(jì)與分析，不斷挖掘數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì);其次，數(shù)學(xué)運(yùn)算不只是小學(xué)和初中的重要內(nèi)容，應(yīng)該明確數(shù)學(xué)運(yùn)算在高中階段也是學(xué)生重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，只是不同階段對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求不同，在高中階段，運(yùn)算中要凸顯演繹推理、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展學(xué)生的思維，同時(shí)應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)運(yùn)算技能階段性要求，在關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確、速度、方法的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生在問題解決中搭好數(shù)學(xué)運(yùn)算這輛高速列車.

3.2聚焦核心，關(guān)注數(shù)學(xué)運(yùn)算中數(shù)學(xué)思維發(fā)展

數(shù)學(xué)運(yùn)算不是簡單的記公式背運(yùn)算性質(zhì)的技能，還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.高中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是繼義務(wù)教育階段之后對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的進(jìn)一步提高，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)運(yùn)算偏重于運(yùn)算技能和算理，高中階段的數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)應(yīng)該更加關(guān)注運(yùn)算中演繹推理過程和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).高中階段數(shù)學(xué)運(yùn)算在數(shù)系的擴(kuò)充——復(fù)數(shù)和引入向量的運(yùn)算兩部分內(nèi)容上形成了兩次飛躍，豐富了數(shù)學(xué)運(yùn)算，特別是帶有方向的向量運(yùn)算使數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵得到了拓展，對(duì)于這些數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)應(yīng)該更加關(guān)注運(yùn)算的的算理和背景、數(shù)學(xué)思想等內(nèi)容，對(duì)比實(shí)數(shù)、自然數(shù)的運(yùn)算，幫助學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)運(yùn)算，關(guān)注數(shù)學(xué)運(yùn)算的算理，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，幫助學(xué)生養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神[1]，同時(shí)通過解析幾何、導(dǎo)數(shù)等模塊的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理的內(nèi)涵，在運(yùn)算中探究思路、選擇運(yùn)算方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

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