張 巍，應(yīng)祖光，顏光鋒

（1.浙江理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心，杭州 310018；2.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州 310027）

車輛運(yùn)行過(guò)程的振動(dòng)水平是評(píng)估其動(dòng)力學(xué)性能的重要指標(biāo)，該振動(dòng)對(duì)于車載器件的正常工作具有極其重要的影響，因此必需進(jìn)行車輛振動(dòng)控制。由于路面不平度的隨機(jī)性，車輛振動(dòng)是隨機(jī)的，需要進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)控制。通常車輛由車輪、軸等垂直支承，系統(tǒng)一般是線性的。這類車輛的被動(dòng)、主動(dòng)與半主動(dòng)控制已有很多研究[1-6]。然而，一類特殊的重型多軸車輛受空間限制其懸架采用可轉(zhuǎn)動(dòng)的斜桿支承，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的幾何非線性[7]，其非線性隨機(jī)振動(dòng)控制方法與效果完全不同于普通車輛。對(duì)于反饋控制，還需要考慮狀態(tài)觀測(cè)，由于觀測(cè)噪聲不可避免，故不能由測(cè)量值直接確定系統(tǒng)狀態(tài)，導(dǎo)致出現(xiàn)不完全觀測(cè)或部分觀測(cè)的控制問(wèn)題[8]。部分可觀系統(tǒng)的非線性隨機(jī)最優(yōu)控制是一個(gè)極其困難的問(wèn)題，研究成果非常有限，例如文獻(xiàn)[9]在十分特殊的條件下給出一個(gè)控制策略，先將部分可觀系統(tǒng)的非線性隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為完全可觀線性系統(tǒng)的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題，再根據(jù)隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理確定控制律。最近文獻(xiàn)[10-11]發(fā)展了基于推廣的Kalman濾波的非線性隨機(jī)最優(yōu)控制策略，可用于一般的部分可觀系統(tǒng)的非線性隨機(jī)最優(yōu)控制，從而為斜桿支承車輛系統(tǒng)的振動(dòng)控制提供了一個(gè)基本策略。

關(guān)于可轉(zhuǎn)動(dòng)斜桿支承車輛系統(tǒng)振動(dòng)控制的研究非常有限，例如文獻(xiàn)[7]通過(guò)多體動(dòng)力學(xué)分析討論了斜桿支承懸架的優(yōu)化，因此需要進(jìn)一步深入研究。實(shí)際上，在懸架與車輪間安裝控制器，產(chǎn)生一對(duì)作用力是通常的措施，但受空間限制也只能類似于支承的斜向安裝?？刂破饕话悴捎么帕髯冏枘崞鱗12]，從而導(dǎo)致一個(gè)半主動(dòng)控制問(wèn)題?？刂破鞯淖饔昧κ怯邢薜模鼘⒊蔀橐粋€(gè)控制約束[13-14]。且控制目標(biāo)是車體相對(duì)于不平路基準(zhǔn)面的絕對(duì)振動(dòng)水平，不同于通常關(guān)于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的振動(dòng)控制?？傊?，該部分可觀斜桿支承車輛系統(tǒng)的非線性隨機(jī)最優(yōu)控制是一個(gè)新的有待于研究的重要問(wèn)題。

本文研究上述具有觀測(cè)噪聲的斜桿支承與控制的非線性車輛系統(tǒng)，在隨機(jī)路激勵(lì)下振動(dòng)的部分可觀非線性隨機(jī)最優(yōu)有界控制新問(wèn)題，考慮車體與車輪的垂直耦合運(yùn)動(dòng)及斜支承桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，用拉格朗日方程建立車輛控制系統(tǒng)模型的運(yùn)動(dòng)微分方程，再轉(zhuǎn)化為非線性的耦合振動(dòng)方程，同時(shí)建立包含測(cè)量噪聲的系統(tǒng)觀測(cè)方程，組成部分可觀系統(tǒng)的非線性隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題；根據(jù)推廣的Kalman濾波方法得到關(guān)于估計(jì)狀態(tài)的非線性隨機(jī)系統(tǒng)方程，再根據(jù)隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程，考慮控制力的有界性約束，得到基于系統(tǒng)估計(jì)狀態(tài)的最優(yōu)有界控制律；最后，比較受控與未控系統(tǒng)的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)評(píng)估控制效果，通過(guò)數(shù)值結(jié)果說(shuō)明不同觀測(cè)系數(shù)下本文方法的有效控制結(jié)果。

1 隨機(jī)路激勵(lì)非線性車輛系統(tǒng)振動(dòng)控制的基本方程

可轉(zhuǎn)動(dòng)斜桿支承與控制的車輛系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型如圖1所示。

圖1 斜桿支承與控制的車輛系統(tǒng)模型簡(jiǎn)圖

車體質(zhì)量為mc，車輪質(zhì)量為mw，車體由可轉(zhuǎn)動(dòng)的斜桿支承，控制器如磁流變阻尼器也斜向裝于其間。車體主要運(yùn)動(dòng)為垂直方向，用絕對(duì)坐標(biāo)yc描述。斜支承桿長(zhǎng)度為lz，其轉(zhuǎn)動(dòng)用轉(zhuǎn)角θz描述。車輪產(chǎn)生水平與垂直運(yùn)動(dòng)，可通過(guò)yc與θz表示。斜桿的扭轉(zhuǎn)剛度為kr，預(yù)設(shè)角度為θz0。車輪的支承彈簧剛度為ks，彈簧原長(zhǎng)為rw0?？刂破魃隙说淖鴺?biāo)為(x1d，yc+y1d)，由幾何關(guān)系可確定其轉(zhuǎn)角θd與兩端距離ld。x軸表示路面基準(zhǔn)線，路面不平度用yr(x)描述，當(dāng)車輛前進(jìn)速度為v時(shí)，受到的激勵(lì)為yr(vt)，它通常是隨機(jī)過(guò)程。

由第二類拉格朗日方程得到車輛系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

式中：g是重力加速度，F(xiàn)d是控制器的作用力。對(duì)于磁流變阻尼器，根據(jù)Bingham模型，控制力為

式中：C0是黏性阻尼系數(shù)，fy是屈服力，U是半主動(dòng)控制力，對(duì)于確定的阻尼器其值是有界的。

由幾何關(guān)系得阻尼器兩端距離與角度

由方程式(1)至式(2)確定相應(yīng)的靜平衡關(guān)系，利用此關(guān)系與式(3)至式(5)，將方程式(1)至式(2)化為振動(dòng)方程

式中線位移u=yc-y0，角位移α=θz0-θ0，y0與θ0是靜平衡時(shí)的線坐標(biāo)和角坐標(biāo)，由靜平衡關(guān)系確定。由方程式(6)至式(7)可見，該車輛系統(tǒng)具有強(qiáng)幾何非線性，并受隨機(jī)路激勵(lì)。

設(shè)系統(tǒng)的觀測(cè)量為速度u˙與α˙，其中將包含測(cè)量噪聲，因此不能由測(cè)量值直接確定速度，故稱為不完全觀測(cè)或部分觀測(cè)。它可表示為

式中：φ1與φ2是觀測(cè)量，d1與d2是放大系數(shù)，Ws1與Ws2是獨(dú)立的單位強(qiáng)度觀測(cè)噪聲，e11與e12表示其幅值。方程式(6)至式(9)構(gòu)成一個(gè)部分可觀非線性隨機(jī)振動(dòng)的控制問(wèn)題。

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)向量Z=[u,α,˙,˙]T，觀測(cè)向量Φs=[φ1,φ2]T，則系統(tǒng)方程與觀測(cè)方程可表示成矩陣形式

式中向量A、B、F由方程式(6)至式(7)確定，矩陣D與E由方程式(8)至式(9)確定，W是單位強(qiáng)度白噪聲，Ws=[Ws1，Ws2]T。W由隨機(jī)路激勵(lì)yr確定，對(duì)于一般不平路面，yr可通過(guò)濾波白噪聲模擬，其方程為式中空間截止頻率n00=0.01 m-1，參考空間頻率n0=0.1 m-1，Gq是路面功率譜密度，描述路面不平度，按其不同值區(qū)分路面等級(jí)。此時(shí)，通過(guò)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)向量Z，系統(tǒng)方程仍可表示為式(10)。

2 基于推廣Kalman濾波的隨機(jī)最優(yōu)有界控制律

部分可觀非線性隨機(jī)控制問(wèn)題表達(dá)式(10)至式(11)包括最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)與基于估計(jì)狀態(tài)的最優(yōu)控制。最優(yōu)估計(jì)的性能指標(biāo)為

式中：WI是高斯白噪聲向量，方差矩陣Rs=EET，估計(jì)偏差的方差矩陣R由下列方程確定

因R較快趨向于平穩(wěn)，故可取方程式(15)的平穩(wěn)解。

系統(tǒng)表達(dá)式(14)最優(yōu)有界控制的性能指標(biāo)為

式中：函數(shù)fC(Z)≥0，tf是控制的終時(shí)，ψ是控制終值。根據(jù)隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理可得非線性隨機(jī)系統(tǒng)表達(dá)式(14)與指標(biāo)式(16)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程[10-11]

式中：V是值函數(shù)，tr[?]是跡算符?？紤]控制力U的有界性，通常有U∈[-Ua,，Ua]，Ua為控制力界限。由式(17)左邊第二項(xiàng)極小化可得最優(yōu)有界控制律

對(duì)于半主動(dòng)控制，最優(yōu)控制律還需滿足式(3)。如果不滿足時(shí)，只能取為0，因此控制效果有所影響。將式(18)代入式(17)得到值函數(shù)方程，求解之得到V，通常可取平穩(wěn)解，從而由式(18)確定最優(yōu)控制。再由方程式(14)計(jì)算估計(jì)系統(tǒng)響應(yīng)，結(jié)合估計(jì)偏差的方差可計(jì)算原系統(tǒng)的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)。比較受控與未控系統(tǒng)的響應(yīng)可評(píng)估控制效果。

3 數(shù)值結(jié)果

考慮具有觀測(cè)噪聲的受隨機(jī)路激勵(lì)的斜桿支承與控制的車輛系統(tǒng)模型，其基本參數(shù)為：mc=2 804 kg，mw=104 kg，lz=0.33 m，kr=13 kN?m/rad，ks=2×107N/m，θz0=0.96 rad，rw0=0.295 m，x1d=0.621 m，y1d=0.312 m，C0=1 640 kg/s，e11=0.03，e12=0.03，d1=1，d2=1，Ua=2.5 kN，車速v=50 km/h，B級(jí)不平路。按照上述方法確定最優(yōu)控制，用龍格-庫(kù)塔法計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)，再作統(tǒng)計(jì)，數(shù)值結(jié)果如圖2至圖6所示。圖2為車輛在B級(jí)不平路面以50 km/h前進(jìn)時(shí)路面相對(duì)基準(zhǔn)線波動(dòng)位移隨時(shí)間變化的曲線，表達(dá)了隨機(jī)路激勵(lì)。

圖2 車速50 km/h工況下的不平路面

圖3展示了半主動(dòng)控制、主動(dòng)控制與未控制時(shí)車體振動(dòng)位移響應(yīng)隨時(shí)間的變化，其中主動(dòng)控制是按式(18)確定的最優(yōu)控制，半主動(dòng)控制是按式(18)確定最優(yōu)控制并滿足阻尼器動(dòng)力學(xué)約束式(3)。未控制時(shí)車體位移標(biāo)準(zhǔn)差為0.047 3 m，半主動(dòng)控制時(shí)的車體位移標(biāo)準(zhǔn)差為0.015 4 m(相對(duì)降低67%)，主動(dòng)控制時(shí)的車體位移標(biāo)準(zhǔn)差為0.013 8 m(相對(duì)降低71%)?？梢娚鲜鲎顑?yōu)控制能顯著降低車輛系統(tǒng)的非線性隨機(jī)振動(dòng)，主動(dòng)控制效果略好于半主動(dòng)控制，因?yàn)榘胫鲃?dòng)控制受到一定約束。

圖4展示了半主動(dòng)控制、主動(dòng)控制與未控制時(shí)車體振動(dòng)速度響應(yīng)隨時(shí)間的變化，同樣地主動(dòng)控制與半主動(dòng)控制均能顯著降低車輛系統(tǒng)的非線性隨機(jī)振動(dòng)速度，因此能有效控制車體振動(dòng)能量。

圖5展示了半主動(dòng)控制、主動(dòng)控制與未控制時(shí)車體振動(dòng)位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差隨觀測(cè)噪聲幅度系數(shù)e11的變化，車體振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差隨觀測(cè)噪聲幅度系數(shù)e12變化的情況類似。可見在一定范圍內(nèi)，不同觀測(cè)噪聲幅度系數(shù)或噪聲強(qiáng)度對(duì)于半主動(dòng)控制與主動(dòng)控制時(shí)車體振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的影響較小。

圖3 車體振動(dòng)位移響應(yīng)

圖4 車體振動(dòng)速度響應(yīng)

圖5 車體振動(dòng)位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差隨觀測(cè)噪聲幅度系數(shù)e11變化

圖6展示了半主動(dòng)控制、主動(dòng)控制與未控制時(shí)車體振動(dòng)位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差隨觀測(cè)響應(yīng)放大系數(shù)d1的變化，車體振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差隨觀測(cè)響應(yīng)放大系數(shù)d2變化的情況類似。在較大范圍內(nèi)，不同觀測(cè)響應(yīng)放大系數(shù)對(duì)于半主動(dòng)控制與主動(dòng)控制時(shí)車體振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的影響較小。因此上述部分可觀的最優(yōu)控制對(duì)于不同觀測(cè)系數(shù)具有一定的魯棒性，改善控制器以減少控制約束可進(jìn)一步提高控制效果。

總之，上述部分可觀的最優(yōu)主動(dòng)與半主動(dòng)有界控制能顯著降低斜桿支承車輛系統(tǒng)在隨機(jī)路激勵(lì)下的非線性隨機(jī)振動(dòng)，且該控制結(jié)果對(duì)于狀態(tài)觀測(cè)噪聲強(qiáng)度與觀測(cè)響應(yīng)放大系數(shù)具有一定的魯棒性。

圖6 車體振動(dòng)位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差隨觀測(cè)響應(yīng)放大系數(shù)d1變化

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了具有觀測(cè)噪聲的斜桿支承車輛系統(tǒng)受隨機(jī)路激勵(lì)的非線性隨機(jī)振動(dòng)控制，發(fā)展了該部分可觀車輛系統(tǒng)的非線性隨機(jī)控制新策略?？紤]車體與車輪的垂直耦合運(yùn)動(dòng)及斜支承桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，建立了部分可觀車輛控制系統(tǒng)模型的非線性隨機(jī)振動(dòng)方程與包含測(cè)量噪聲的系統(tǒng)觀測(cè)方程，建立了該部分可觀車輛系統(tǒng)的非線性隨機(jī)最優(yōu)控制模型。根據(jù)推廣的Kalman濾波方法得到了關(guān)于估計(jì)狀態(tài)的非線性隨機(jī)系統(tǒng)方程，從而將部分可觀車輛系統(tǒng)的非線性隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為完全可觀的非線性隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題。根據(jù)隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理建立了完全可觀系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程，并結(jié)合控制力的有界性，得到了基于系統(tǒng)估計(jì)狀態(tài)的最優(yōu)有界控制律，實(shí)現(xiàn)了主動(dòng)控制，同時(shí)對(duì)于磁流變阻尼器實(shí)現(xiàn)了相應(yīng)的半主動(dòng)控制。數(shù)值結(jié)果說(shuō)明了該控制策略可有效地降低具有觀測(cè)噪聲的斜桿支承與控制車輛系統(tǒng)在隨機(jī)路激勵(lì)下的非線性隨機(jī)振動(dòng)，并對(duì)于不同觀測(cè)系數(shù)具有一定的魯棒性。