萬里鵬,趙小龍,曹智,賀永寧

(西安交通大學(xué)微電子學(xué)院,710049,西安)

無源互調(diào)(Passive Intermodulaton,PIM)是指當(dāng)多個(gè)載波信號(hào)通過無源器件時(shí),由于無源器件寄生的非線性特性而產(chǎn)生雜散信號(hào)的現(xiàn)象[1]。隨著移動(dòng)通信技術(shù)的進(jìn)步,發(fā)射機(jī)的功率和接收機(jī)的靈敏度不斷提高,因無源互調(diào)而產(chǎn)生的干擾日益嚴(yán)重,因此無源互調(diào)指標(biāo)已成為衡量通信系統(tǒng)質(zhì)量的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。PCB作為電路元器件的載體,由其所產(chǎn)生的無源互調(diào)問題不可忽視[2]。PCB上的無源互調(diào)直接地反映在其微帶圖形上,對(duì)基本的微帶線進(jìn)行研究可以直觀地分析PIM的來源與變化。

目前,對(duì)微帶PIM的研究工作大多集中在不同結(jié)構(gòu)微帶電路的測(cè)試和比較之上,而基于PIM產(chǎn)生機(jī)理的物理建模和數(shù)學(xué)計(jì)算研究工作報(bào)導(dǎo)較少,對(duì)微波部件和電路PIM產(chǎn)物及其規(guī)律的量化分析研究相對(duì)也不多。因此,本文針對(duì)PCB微帶線的PIM建模問題,考慮將傳輸線模型和電熱耦合模型相結(jié)合,建立了PIM產(chǎn)物對(duì)微帶線形狀參數(shù)的計(jì)算模型,并研究了PIM產(chǎn)物對(duì)微帶線結(jié)構(gòu)和頻率的依賴關(guān)系。為了對(duì)微帶線結(jié)構(gòu)的PIM信號(hào)進(jìn)行時(shí)域量化分析,本文在傳統(tǒng)的傳輸線模型上引入一個(gè)電阻非線性系數(shù)λ2,將物理空間上分布的非線性源抽象化為數(shù)學(xué)的非線性系數(shù),計(jì)算時(shí)在時(shí)域?qū)㈦娏鞅硎緸楦鞔沃C波的疊加,分析三次諧波項(xiàng)的系數(shù),從而建立PIM信號(hào)(功率幅值)對(duì)與微帶線長(zhǎng)度的變化關(guān)系。為了對(duì)微帶線上的PIM問題作出物理解釋,引入了電熱耦合理論[3],電熱耦合理論將微帶線的非線性解釋為分布電阻參數(shù)的非線性,由熱損耗導(dǎo)致的溫變非線性引起[4]。基于電熱耦合理論的PIM功率計(jì)算考慮了溫度、微帶線寬度和載波頻率等變量,對(duì)之前基于傳輸線的微帶線長(zhǎng)度與PIM關(guān)系做出了補(bǔ)充引入趨膚效應(yīng)對(duì)不同頻率下微帶線中的PIM功率進(jìn)行分析。

本文實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證部分采用多頻段PIM測(cè)試儀測(cè)試了不同頻率(700～2 600 MHz)下微帶線長(zhǎng)度和寬度與PIM功率的關(guān)系,該研究結(jié)論對(duì)于分析PCB印刷線路中無源互調(diào)功率的大小具有一定的參考價(jià)值。

1 理論計(jì)算

1.1 基于電熱耦合效應(yīng)的傳輸線非線性分析

理想傳輸線模型將微帶線等效為一段均勻的傳輸線,如圖1所示。該模型由4個(gè)線性無源元件構(gòu)成,模型中唯一的變量為傳輸線長(zhǎng)度方向的位移z。

(a)微帶傳輸線等效電路 (b)微帶線模型 圖1 微帶傳輸線模型

理想的傳輸線模型完全由線性元器件構(gòu)成,是一個(gè)線性模型。微帶線上的非線性來源非常復(fù)雜,材料的電導(dǎo)特性、磁滯特性、接觸界面狀態(tài)等一系列因素都會(huì)對(duì)微帶線的PIM產(chǎn)生影響[5],這些因素在數(shù)學(xué)計(jì)算上具有等效性,可以將所有的非線性因素總結(jié)為傳輸線上串聯(lián)電阻的非線性。在非線性電阻模型中,電阻上的總電壓可以表示為線性部分和高次非線性部分的疊加,表達(dá)式為

Utotal=I(R0+λ1I+λ2I2+…)=

R0I+λ1I2+λ2I3+…=

U0+Usum2f+Usun3f+…

(1)

式中:R0為常數(shù)電阻;λk為k+1階非線性電阻參量;Usum2f與Usum3f分別為電壓中2倍頻率組合分量之和與3倍頻率組合分量之和?；フ{(diào)問題中主要關(guān)心的是總電壓中分量中頻率為2f1-f2與2f2-f1的項(xiàng),Usun3f中包含了所需的頻率項(xiàng),故對(duì)非線性電阻R作簡(jiǎn)化,將其表示為以下2個(gè)部分[6]

R=R0+λ2(i(z))2

(2)

式中:λ2i(z)2為三階非線性電阻;λ2為非線性電阻系數(shù),λ2的大小通過實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行擬合。為了分析影響非線性強(qiáng)弱的因素,本文結(jié)合PIM產(chǎn)生的物理機(jī)理,對(duì)λ2進(jìn)行解析計(jì)算。覆銅層電熱耦合被認(rèn)為是微帶線上PIM產(chǎn)生的主要原因之一,微帶線在功率輸入下存在導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗[7],該損耗以熱量的形式耗散,導(dǎo)致局部溫度升高。常用金屬的電導(dǎo)率是隨溫度變化的函數(shù),溫度升高會(huì)導(dǎo)致金屬電導(dǎo)率下降,進(jìn)而改變傳輸線模型中的電阻阻值,將在原本的常數(shù)電阻基礎(chǔ)上引入隨輸入功率(溫度)變化的非線性電阻。

電熱耦合效應(yīng)引起的溫度的變化是一個(gè)復(fù)雜的時(shí)變過程,為了對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化,忽略PIM變化對(duì)溫度變化的響應(yīng)時(shí)間,同時(shí)給予足夠長(zhǎng)的時(shí)間讓系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)溫度平衡的穩(wěn)定狀態(tài),可以將時(shí)變問題簡(jiǎn)化為不含時(shí)的穩(wěn)態(tài)問題。在此考慮的電熱耦合效應(yīng)是一個(gè)穩(wěn)態(tài)效應(yīng),求解的對(duì)象是達(dá)到平衡狀態(tài)(即溫度不再發(fā)生變化)時(shí)的互調(diào)功率。在溫度平衡狀態(tài)下,電熱耦合效應(yīng)引起的溫度變化最終可以歸結(jié)為由溫度變化引起的材料參數(shù)的變化,依然是材料非線性問題,此時(shí)的互調(diào)仍然遵守非線性傳輸線法則,可以使用非線性傳輸線方程求解。

根據(jù)電熱耦合效應(yīng),在某一輸入功率下,微帶線上的溫度變化由導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗兩部分決定。若以ΔPc和ΔPd分別表示單位輸入功率下單位長(zhǎng)度的傳輸線導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗的功率,其單位功率溫度增量為

(3)

式中:Wec和Wed分別為考慮導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗兩種情況下的等效微帶線寬度[8]

(4)

(5)

式中:W為微帶線的寬度。

對(duì)于輸入功率Pin,其溫度增量為PinΔT,相應(yīng)的金屬電阻率和電阻為

ρ=ρ0(1+αrPinΔT)

(6)

R=(πfμ0ρP)-1/2

(7)

式中:αr為電阻率-溫度系數(shù),銅的αr為0.003 93 Ω·m/K。非線性電阻系數(shù)λ2與輸入功率的關(guān)系由下式?jīng)Q定[9]

(8)

由此式可以看出,λ2與溫度、頻率和微帶線的寬度有關(guān)。非線性電阻在此是一個(gè)分布參數(shù),可以看成是特定頻率和寬度等條件下單位長(zhǎng)度微帶線貢獻(xiàn)的非線性電阻參量。為了分析各參量對(duì)微帶線PIM功率的影響,用Matlab軟件輔助計(jì)算,計(jì)算過程中默認(rèn)取微帶線長(zhǎng)度l=40 cm,微帶線寬度W=3.72 mm,頻率f=910 MHz,可以得出雙載波信號(hào)功率為43 dBm時(shí),λ2隨微帶線寬度、頻率的變化的關(guān)系如圖2所示。

(a)λ2與微帶線寬度的關(guān)系 (b)λ2與頻率的關(guān)系圖2 λ2與微帶線寬度以及頻率的關(guān)系

根據(jù)計(jì)算結(jié)果,非線性電阻參數(shù)λ2預(yù)期隨著微帶線寬度的增加而減小;同時(shí)隨著互調(diào)信號(hào)頻率的增大,λ2預(yù)期呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)。從圖2中可以看出,微帶線寬度和互調(diào)信號(hào)頻率對(duì)λ2的影響較小。

將λ2代入微帶線模型,由戴維寧和諾頓等效原理可得微帶傳輸線方程如下

(9)

將該方程組聯(lián)立后可得

(10)

式中:A2=(R0+jωL)(G+jωC);B=R2(G+jωC)。

方程(9)是一個(gè)二階非線性齊次方程,描述了傳輸線中總體電流的分布狀態(tài)。為了計(jì)算傳輸線中的3階PIM功率,在此只需得到3次諧波電流分量的解,常用的處理方法是將總電流i(z)表示為不同諧波項(xiàng)與傅里葉級(jí)數(shù)之積的疊加[10],考慮等式兩邊電流諧波項(xiàng)的階數(shù)相等,代入電流的級(jí)數(shù)表達(dá)式

(11)

式中:a+d+g=p;b+e+h=q;c+f+i=k-1。

為了得到頻率為(2f1-f2)的3階互調(diào)信號(hào)的大小,令k=1,p=2,q=1,分離出3次諧波所在項(xiàng)。當(dāng)k=1時(shí),方程(10)解的形式為

Nq,p,1e-Aq,p(l-z)+Lq,p,1(z)

(12)

在式(12)等式右邊,前兩部分之和為方程的通解,Lq,p,1(z)為方程的特解[11]。Aq,p=[(R0+jωq,pL)(G+jωq,p/C)]-1/2,其中ωq,p=2π(pf1+qf2)。根據(jù)邊界條件可以得到系數(shù)M與N的表達(dá)式,最終3階PIM功率由下式計(jì)算得到

(13)

使用Matlab軟件進(jìn)行輔助計(jì)算,兩路載波功率皆取43 dBm,計(jì)算過程中默認(rèn)取微帶線長(zhǎng)度l=40 cm,微帶線寬度W=3.72 mm,頻率f=910 MHz,最終可以得到3階PIM功率隨長(zhǎng)度方向z的變化關(guān)系,代入λ2隨微帶線寬度的關(guān)系,同時(shí)可以得到3階PIM功率隨微帶線寬度的變化關(guān)系,如圖3所示。

(a)微帶線寬度的影響 (b)微帶線長(zhǎng)度的影響圖3 微帶線長(zhǎng)度與寬度對(duì)3階PIM功率的影響

從圖3可以看出,隨著微帶線長(zhǎng)度的增加,PIM功率預(yù)期呈現(xiàn)波動(dòng)增大的趨勢(shì)。隨著微帶線寬度的增大,單位寬度的微帶線流過的電流密度減小,結(jié)合圖2中得到的微帶線寬度與非線性電阻系數(shù)λ2的變化關(guān)系可知,相比于λ2,傳輸線中電流密度大小對(duì)微帶線寬度的變化更為敏感,是決定不同寬度的微帶線中PIM功率的主要因素。

1.2 趨膚效應(yīng)下載波頻率與PIM功率的關(guān)系

λ2隨頻率的變化關(guān)系已經(jīng)解得,為了求解不同頻率下的PIM功率,還需求解不同頻率下微帶線中的電流密度變化。根據(jù)趨膚效應(yīng),電流在導(dǎo)體中的分布隨頻率的升高而逐漸減小。如圖1b所示,忽略邊緣效應(yīng),由于電磁波在導(dǎo)體中存在傳播損耗,微帶線中的電流集中在x>0處的一小部分區(qū)域內(nèi),因此微帶線中z方向上的面電流密度隨著進(jìn)入上導(dǎo)體中的深度的增加而不斷衰減,其相對(duì)關(guān)系為

Js(x)=Js0e-γx

(14)

式中:Js0為微帶線上導(dǎo)體的表面(x=0)電流密度;γ為電磁波在上導(dǎo)體中的傳播系數(shù),是一個(gè)復(fù)數(shù)量。由于其虛部不會(huì)引入電磁波的幅值衰減,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,只考慮引起衰減的實(shí)部。

設(shè)上導(dǎo)體的非線性電阻率為ρ2,在z方向上取單位長(zhǎng)度,則ρ2=SR2,由R2引起的PIM功率可以表示為

(15)

令ΔS→0,得到非線性電流功率

(16)

由式(2)可以得到R2與λ2的關(guān)系為R2=λ2i(z)2,將其代入式(16),考慮3階反射(z=0)互調(diào)產(chǎn)物,由此可得PIM功率與頻率的關(guān)系為

(17)

式中,λ2與頻率的關(guān)系由圖2b給出,λ2具體的表達(dá)式非常復(fù)雜,在此借助計(jì)算機(jī)軟件直接計(jì)算給出λ2與頻率之間的相對(duì)關(guān)系。取兩路載波信號(hào)功率為43 dBm、微帶線長(zhǎng)度l=40 cm、微帶線寬度W=3.72 mm時(shí),PIM功率隨頻率變化的曲線如圖4所示。

圖4 微帶線中3階PIM功率隨頻率的變化關(guān)系

從圖4可以看出,預(yù)期PIM功率隨著互調(diào)信號(hào)頻率的升高而下降。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

為了對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,測(cè)試了一系列不同長(zhǎng)度和寬度的微帶線的PIM特性。測(cè)試使用的微帶線由泰州博泰公司提供,介質(zhì)板厚度為1 mm,介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為2.5,銅箔厚度為0.035 μm。微帶線PIM的測(cè)試方法包括有線傳輸反射和探針近場(chǎng)耦合[12]兩種,這里采用傳統(tǒng)的有線反射PIM測(cè)試法。取兩路功率為20W,采用頻率f1、f2相近的雙音信號(hào)對(duì)待測(cè)微帶線進(jìn)行激勵(lì),在微帶線的另一端連接一個(gè)低互調(diào)負(fù)載,用雙工器取反射信號(hào)進(jìn)行分析,觀測(cè)其中3階互調(diào)(2f1-f2)信號(hào)的功率。測(cè)試系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)[13]如圖5所示。

實(shí)驗(yàn)1,選取長(zhǎng)度從5～46 cm的50 Ω微帶線進(jìn)行測(cè)試;實(shí)驗(yàn)2,選取寬度從2～9 mm,長(zhǎng)度為40 cm的微帶線進(jìn)行測(cè)試;實(shí)驗(yàn)3,選取不同的寬度的微帶線,在700～2 600 MHz頻率范圍內(nèi)進(jìn)行測(cè)試。測(cè)試過程中用到的雙音信號(hào)功率為2×40 dBm,得出3階PIM功率與微帶線長(zhǎng)度、寬度、頻率的變化關(guān)系如圖6所示。

(a)微帶線測(cè)試樣本 (b)微帶線PIM測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)

(c)測(cè)試系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖圖5 微帶線PIM功率測(cè)試方案

(a)PIM功率-微帶線長(zhǎng)度關(guān)系 (b)PIM功率-微帶線寬度關(guān)系

(c)PIM功率-頻率關(guān)系圖6 3階PIM功率與不同變量關(guān)系的計(jì)算與測(cè)試結(jié)果

所用測(cè)試系統(tǒng)的底噪功率約為-135 dBm,從測(cè)試結(jié)果可以看出,由于制造工藝引入的表面粗糙、材料非線性等非理想效應(yīng),該批微帶線所能測(cè)得的最低PIM功率約為-120 dBm。

由圖6a可知,隨著微帶線長(zhǎng)度的增加,PIM功率呈現(xiàn)出波動(dòng)增大的趨勢(shì),且其增幅不斷下降,與計(jì)算結(jié)果吻合。這是因?yàn)榉蔷€性系數(shù)λ2是單位長(zhǎng)度微帶線分布的非線性電阻效應(yīng),隨著微帶線長(zhǎng)度的增加,微帶線上的分布非線性源隨之增多,貢獻(xiàn)的總體非線性功率呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)。與此同時(shí),PIM測(cè)試采用的是反射PIM測(cè)試法,由于不同線源與測(cè)量點(diǎn)之間距離不同。不同線源產(chǎn)生的PIM諧波相位不同,相位隨距離的波動(dòng)最終表現(xiàn)為PIM功率隨長(zhǎng)度的波動(dòng),由此可以觀察到一個(gè)隨長(zhǎng)度波動(dòng)的PIM功率。由于微帶線是有損的,隨著距離的增加,較遠(yuǎn)非線性線源產(chǎn)生的PIM諧波在傳輸?shù)綔y(cè)試點(diǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生衰減,距離越長(zhǎng),衰減越嚴(yán)重。這就導(dǎo)致隨著微帶線長(zhǎng)度的增大,由非線性線源貢獻(xiàn)的PIM功率呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)。這在測(cè)試結(jié)果中得到了體現(xiàn),隨著微帶線長(zhǎng)度的增加,PIM的增幅不斷減小。

由圖6b可知,隨著微帶線寬度的增大,PIM功率不斷減小。微帶線上的非線性由電流激勵(lì)非線性源引起,非線性強(qiáng)弱以及電流密度都是影響PIM功率的因素。隨著微帶線寬度增大,非線性線源λ2增大,同時(shí)微帶線上導(dǎo)體的電流密度變小。不考慮其他因素的影響,λ2與微帶線寬度的關(guān)系是正相關(guān)的,而電流密度與微帶線寬度的關(guān)系是負(fù)相關(guān)的,后者的負(fù)相關(guān)關(guān)系起到了主導(dǎo)作用,這一點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)中也得到了驗(yàn)證。

在圖6c中,隨著測(cè)試頻率的增加,PIM功率不斷減小,這一點(diǎn)與計(jì)算結(jié)果一致。頻率對(duì)PIM功率的影響表現(xiàn)在兩個(gè)方面:非線性系數(shù)λ2隨著頻率的增加而增大,同時(shí)總電流密度由于趨膚效應(yīng)隨頻率的增大而不斷減小。后者對(duì)PIM功率的影響起主要作用,最終導(dǎo)致PIM功率隨頻率的增大而減小。

3 結(jié) 論

本文將電熱耦合效應(yīng)應(yīng)用到了非線性傳輸線模型上,提出了一種微帶結(jié)構(gòu)的無源互調(diào)計(jì)算的方法,并通過實(shí)驗(yàn)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。通過計(jì)算推導(dǎo)得出,隨著微帶線長(zhǎng)度的增加,PIM功率波動(dòng)增大,且增幅減小。在此基礎(chǔ)上考慮趨膚效應(yīng)與電流密度的變化,可得隨著微帶線寬度和頻率的增大,PIM功率都呈現(xiàn)出下降的趨勢(shì)。該研究結(jié)論對(duì)于PCB上的PIM量化分析與預(yù)測(cè)具有參考價(jià)值。

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