來 鑫，謝萬軍，姜 淳，孫 濤

（上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

4WIS電動汽車的每個車輪都可以獨(dú)立控制，能夠完成前輪轉(zhuǎn)向、后輪轉(zhuǎn)向、四輪轉(zhuǎn)向、原地轉(zhuǎn)向等多種轉(zhuǎn)向模式[1]，可控自由度冗余度大（冗余度為2n－3，n為車輪個數(shù)，n≥3），車輛的機(jī)動性和可操縱性強(qiáng)，可以滿足如今日益苛刻的對汽車靈活性、自動化及智能化的要求。4WIS電動汽車可應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事、宇宙探索等多個領(lǐng)域，成為汽車領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。美國、西班牙、日本等國家的汽車公司及科研機(jī)構(gòu)對4WIS電動汽車進(jìn)行了研究，實(shí)現(xiàn)了該車輛的多種轉(zhuǎn)向模式自由切換，也提出了多種動力學(xué)控制方法與策略[2-6]。哈爾濱工業(yè)大學(xué)對可重構(gòu)底盤進(jìn)行了設(shè)計(jì)，定義了4WIS電動汽車的7種運(yùn)動模式，山東大學(xué)、吉林大學(xué)、同濟(jì)大學(xué)等高校也對該車輛的結(jié)構(gòu)、運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)等方面進(jìn)行了大量的研究[7-11]。但是，國內(nèi)外的這些研究基本都集中在對車輛的運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)控制策略上，轉(zhuǎn)向模式的切換需在停車后完成。然而，隨著轉(zhuǎn)向要求的提高與汽車所處環(huán)境的日益復(fù)雜，停車切換嚴(yán)重影響了車輛的行駛安全性、機(jī)動性及智能性。因此，在充分利用4WIS電動汽車的冗余自由度的基礎(chǔ)上，探索在不停車情況下4WIS電動汽車的轉(zhuǎn)向模式是十分必要的。

本文在研究4WIS電動汽車動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，提出一種基于B樣條曲線的車輪軌跡規(guī)劃方法，以前輪轉(zhuǎn)向切換到后輪轉(zhuǎn)向?yàn)槔?，對各?dú)立車輪的運(yùn)動軌跡進(jìn)行運(yùn)動規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)該車輛轉(zhuǎn)向模式的不停車動態(tài)切換。在切換控制方法上通過求解瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心，提出一種復(fù)合控制策略，通過仿真研究驗(yàn)證運(yùn)動軌跡規(guī)劃控制策略的有效性。

1 4WIS電動汽車的動力學(xué)建模

為了簡化4WIS電動汽車的動力學(xué)建模過程，做如下假設(shè)：

（1）忽略懸架作用，車輛只做平行于地面的平面運(yùn)動，即車輛沿z軸位移，繞y軸俯仰角和繞x軸側(cè)傾角均為0。

（2）車輛側(cè)向加速度限定在約3.92 m/s2以下，輪胎側(cè)偏特性處于線性范圍，不考慮地面切向力對輪胎側(cè)偏特性的影響。

在上述假設(shè)下將4WIS電動汽車簡化為一個線性二自由度模型，如圖1所示。

圖1 車輛二自由度模型示意圖

圖1中：定義俯視時(shí)車輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動為正；u為車輛縱向速度，m/s；v為車輛側(cè)向速度，m/s；la為車輛質(zhì)心到前軸的距離，m；lb為質(zhì)心到后軸的距離，m；γ為車輛橫擺角速度，rad/s；uc為質(zhì)心合速度，m/s；ICR為瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心，m；β為質(zhì)心側(cè)偏角，rad；δ1、δ2、δ3、δ4為左前輪、左后輪、右后輪、右前輪的轉(zhuǎn)向角，rad；Cαf、Cαr為前后輪胎側(cè)偏剛度，N/rad；X、Y為固定坐標(biāo)系下車輛質(zhì)心縱向和側(cè)向位移，m；Vx、Vy為固定坐標(biāo)系下車輛質(zhì)心的縱向和側(cè)向速度，m/s；Ψ為固定坐標(biāo)系下車輛的橫擺角，rad/s。

對圖1所示的車輛模型進(jìn)行受力分析，4WIS電動汽車二自由度微分方程為：

式中：α1、α2、α3、α4分別為 4個車輪的側(cè)偏角，rad。由于四輪轉(zhuǎn)向角均很小，同時(shí)u＞＞βγ/2，忽略βγ/2，整理得各車輪輪胎側(cè)偏角如下：

根據(jù)阿克曼幾何原理可得4個獨(dú)立車輪轉(zhuǎn)向角之間的關(guān)系為：

車輛的質(zhì)心側(cè)偏角為：

將式（2）～（4）代入式（1）中，整理得：

對于4WIS電動汽車，采用的控制策略為：（a）車輛穩(wěn)定時(shí)質(zhì)心偏轉(zhuǎn)角β = 0；（b）穩(wěn)態(tài)時(shí)橫擺角速度γ保持恒定。由式（5）可得：

式中：k為前、后輪轉(zhuǎn)向角的比值。假設(shè)δ4為主動轉(zhuǎn)向角，將其它車輪轉(zhuǎn)向角轉(zhuǎn)換成與車輪4轉(zhuǎn)向角的關(guān)系，如下：

由式（4）可知，為了保持車輛的運(yùn)動學(xué)要求，4個車輪的轉(zhuǎn)向角均與車輪4的轉(zhuǎn)向角相關(guān)，定義該角度為參考輪角度，它們之間的關(guān)系與車輛的幾何尺寸、系數(shù)k等密切相關(guān)。系數(shù)k與車速、車輛的幾何尺寸、輪胎的側(cè)偏剛度等相關(guān)。

車輛的轉(zhuǎn)向半徑R為：

在固定坐標(biāo)系下，車輛的質(zhì)心運(yùn)動軌跡方程為[13]：

2 基于B樣條曲線的車輪運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法

在研究車輛路徑規(guī)劃時(shí)一般采用圓弧+直線或分段函數(shù)的方式構(gòu)造車輛的軌跡，該方式對軌跡的構(gòu)建簡單且易實(shí)現(xiàn)，但是車輛的動力學(xué)參數(shù)可能會產(chǎn)生突變[14]。B樣條曲線具有連續(xù)性的特點(diǎn)，可以在每一段內(nèi)無限可微，通過修改幾個控制點(diǎn)就可以對局部曲線進(jìn)行修改。因此，本文采用B樣條曲線來規(guī)劃轉(zhuǎn)向模式切換時(shí)車輪的軌跡。B樣條曲線表達(dá)式如下[15]：

式中：u∈[0，1]；i=1，2，…，m，i為第i段 B樣條曲線，m表示曲線由m條樣條曲線平滑連接而成；n為樣條曲線階次；Pi+k為第i段B樣條曲線的第k個控制點(diǎn)；Fk，n為n次B樣條曲線的基函數(shù)，其表達(dá)式為：

在實(shí)際操作中，由曲率公式可知，為了滿足轉(zhuǎn)向模式切換過程中曲率的連續(xù)性，規(guī)劃的樣條曲線方程最少兩次可導(dǎo)。因此，3次4階B樣條曲線滿足要求。本文動態(tài)切換選用的曲線為4次5階，根據(jù)式（10）與式（11）可得到4次5階B樣條基函數(shù)公式為：

以前輪轉(zhuǎn)向切換到后輪轉(zhuǎn)向?yàn)槔?，借助式?0）～（12）設(shè)計(jì)一條B樣條曲線，選取的9個控制點(diǎn)坐標(biāo)為（0， 5）、（2， 5）、（3， 5）、（5.3， 5）、（5.5， 2.5）、（5.6， 0）、（5.7， 0）、（8， 0）、（10，0），該曲線0～5 s是輸入5°的轉(zhuǎn)向角，5～6 s時(shí)發(fā)生變化，6～10 s保持不變?yōu)?°，生成一條符合前輪轉(zhuǎn)向到后輪轉(zhuǎn)向要求的B樣條曲線。以B樣條作為模型的輸入，建立車輛的動力學(xué)及運(yùn)動學(xué)方程，對車輛的運(yùn)動軌跡及動力學(xué)參數(shù)進(jìn)行仿真研究。仿真參數(shù)見表1，仿真結(jié)果如圖2～4所示。

表1 4WIS電動車基本仿真參數(shù)

圖2 四個車輪轉(zhuǎn)角仿真曲線

圖3 質(zhì)心軌跡曲線

圖4 質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)

從仿真結(jié)果來看，利用B樣條曲線實(shí)現(xiàn)了4WIS電動汽車前輪轉(zhuǎn)向與后輪轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)向模式不停車切換，質(zhì)心軌跡平滑，質(zhì)心側(cè)偏角滿足要求，驗(yàn)證了所提出的方法的可行性。

3 4WIS轉(zhuǎn)向模式動態(tài)切換控制方法

3.1 基于瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心的運(yùn)動學(xué)建模

4WIS電動汽車的模式切換控制是通過控制4個獨(dú)立的轉(zhuǎn)向電機(jī)來實(shí)現(xiàn)的。由式（7）可知，把車輪4作為基準(zhǔn)轉(zhuǎn)向車輪，其它車輪的轉(zhuǎn)向角可通過基準(zhǔn)轉(zhuǎn)向角求得，這種控制策略比較簡單。但是這種控制策略存在以下問題：跟隨車輪轉(zhuǎn)向角是相互獨(dú)立的，當(dāng)某個車輪的轉(zhuǎn)向角受到外界干擾時(shí)，其它車輪的轉(zhuǎn)向角（包括基準(zhǔn)車輪）不能隨之進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，這時(shí)車輛的動力學(xué)參數(shù)受到影響。因此，必須建立一種能夠?qū)崟r(shí)反映4個車輪轉(zhuǎn)向角之間實(shí)時(shí)關(guān)系的控制策略。

車輛在轉(zhuǎn)向模式切換過程中，可以通過各車輪的位置求解瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心的坐標(biāo)來建立各獨(dú)立車輪之間的虛擬連接。如圖1所示，設(shè)在車輛坐標(biāo)系中假設(shè)車輛瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心ICR坐標(biāo)為()，車輪i的旋轉(zhuǎn)軸為AXi。當(dāng)AXi相交于一點(diǎn)時(shí)，說明4個車輪滿足運(yùn)動學(xué)要求（滿足阿克曼幾何學(xué)原理）；當(dāng) 不相交時(shí)，定義ICR為到各個車輪旋轉(zhuǎn)軸AXi的距離之和最小的點(diǎn)。設(shè)ICR到AXi的距離為di，求解車輛瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心就是求解到各車輪旋轉(zhuǎn)軸距離之和最小的點(diǎn)，即：

式（13）中，di可以表示為：

式中：ai= tan(δic+π/2) ；bi= yi-aixi。

由多元函數(shù)求取極值條件得：

求解式（15）的方程組可以求出瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心的坐標(biāo)值：

式（16）中：

以瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心為基礎(chǔ)，可以得出各個車輪實(shí)時(shí)運(yùn)動學(xué)約束角度為：

因此，實(shí)時(shí)運(yùn)動學(xué)誤差可以表示為：

由式（18）可知，通過實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)向中心坐標(biāo)，建立了4個獨(dú)立車輪轉(zhuǎn)向角之間的虛擬連接。

同時(shí)定義動力學(xué)誤差為：

式中：δTi為目標(biāo)轉(zhuǎn)向角；δci為當(dāng)前轉(zhuǎn)向角的瞬時(shí)值。

3.2 轉(zhuǎn)向模式動態(tài)切換控制動態(tài)仿真

動力學(xué)約束模型能夠保證車輛的動力學(xué)要求，基于瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心ICR的車輛運(yùn)動學(xué)關(guān)系，建立4個車輪之間的虛擬連接，通過實(shí)時(shí)運(yùn)動學(xué)誤差來協(xié)調(diào)各個車輪的運(yùn)動，在受到外界干擾時(shí)能夠及時(shí)做出反應(yīng)。因此，由式（18）和式（19）提出一種“動力學(xué)—運(yùn)動學(xué)”復(fù)合控制策略，該控制策略設(shè)計(jì)控制器消除運(yùn)動學(xué)誤差及動力學(xué)誤差?？刂扑惴ú捎肞ID控制。

基于以上模型，利用Matlab/Simulink建立4WIS電動汽車的仿真模型，對控制策略進(jìn)行仿真研究。仿真時(shí)設(shè)定車輛的質(zhì)心坐標(biāo)為（0，0），車輛的初始速度為20 km/h，4個車輪的初始坐標(biāo)為：(x1, y1)=(-0. 5 45, 0. 8437)，(x2,y2)=(- 0. 5 45, -0. 6903))，(x3,y3)=(0 . 5 45, 0. 8437)，(x4,y4)= ((0 . 5 45, -0. 6903)。

基準(zhǔn)車輪4遵循B樣條曲線，在仿真時(shí)間t=2-3 s時(shí)，在車輪1的運(yùn)動軌跡上加一個0.2 rad的方波，使其轉(zhuǎn)向角發(fā)生突變，用以模擬干擾，驗(yàn)證控制策略的有效性，仿真結(jié)果如圖5～8所示。

圖5 動態(tài)切換控制下瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心軌跡仿真曲線

圖5a為僅有動力學(xué)控制的瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心ICR仿真曲線，圖5b為復(fù)合控制下的瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心ICR仿真曲線。對比兩種曲線可以看出復(fù)合控制下ICR的軌跡更加平穩(wěn)。

圖6為質(zhì)心運(yùn)動軌跡仿真曲線，可以看出在轉(zhuǎn)向模式切換過程中采用復(fù)合控制車輛的轉(zhuǎn)向半徑更小。

采用基于ICR運(yùn)動學(xué)復(fù)合控制時(shí)，從圖7b可以看出當(dāng)車輪1受到干擾轉(zhuǎn)向角發(fā)生改變時(shí)，其它車輪也會發(fā)生改變，從而保證了瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心對的穩(wěn)定性。

圖6 動態(tài)切換控制下質(zhì)心運(yùn)動軌跡仿真曲線

圖7 切換控制過程中車輪轉(zhuǎn)向角仿真曲線

圖8 加干擾后車輪動力學(xué)參數(shù)對比

由圖8可知，在受到干擾時(shí)，車輛的瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心、質(zhì)心運(yùn)動軌跡和橫擺角速度都能很快地穩(wěn)定下來，驗(yàn)證了復(fù)合控制的有效性。

4 試驗(yàn)研究

通過對4WIS電動汽車進(jìn)行試驗(yàn)研究來驗(yàn)證所提出的控制算法的有效性，采用的試驗(yàn)車輛如圖9所示。

圖10和圖11分別為前輪到四輪轉(zhuǎn)向切換和四輪轉(zhuǎn)向穩(wěn)態(tài)時(shí)4個車輪的實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)角試驗(yàn)數(shù)據(jù)。由此可知，各個車輪轉(zhuǎn)向角之間的關(guān)系基本符合式（7），從而驗(yàn)證了所提出的控制策略與方法的有效性。

圖9 試驗(yàn)車輛

圖10 前輪到四輪轉(zhuǎn)向切換四輪轉(zhuǎn)角

圖11 四輪轉(zhuǎn)向穩(wěn)態(tài)時(shí)各車輪轉(zhuǎn)向角

5 結(jié)論

（1）建立4WIS電動汽車二自由度動力學(xué)模型，得出4個獨(dú)立車輪之間的實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)向角關(guān)系，在此基礎(chǔ)上建立了4WIS電動汽車的仿真模型。

（2）提出一種基于B樣條曲線的車輪軌跡規(guī)劃方法，實(shí)現(xiàn)了前輪轉(zhuǎn)向模式動態(tài)切換到后輪轉(zhuǎn)向模式。仿真結(jié)果表明，該方法能夠?qū)崿F(xiàn)轉(zhuǎn)向模式的動態(tài)切換，切換軌跡平滑，符合運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)的要求。

（3）在轉(zhuǎn)向模式切換控制方法上，基于瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心的實(shí)時(shí)求解，構(gòu)建4個獨(dú)立車輪轉(zhuǎn)向角之間的虛擬連接。提出一種“運(yùn)動學(xué)-動力學(xué)”復(fù)合控制策略。仿真結(jié)果表明，當(dāng)某個車輪受到干擾時(shí)，其余車輪轉(zhuǎn)向角也隨之改變，保持了轉(zhuǎn)向模式切換時(shí)車輛動力學(xué)參數(shù)的穩(wěn)定性，提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。

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