賈英鋒，鄭 鵬，張琳娜，郭俊可

（鄭州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

隨著現(xiàn)在制造技術(shù)的提高，人們對(duì)精密零件的加工、檢測(cè)要求也越來(lái)越高。磨加工主動(dòng)測(cè)量?jī)x是一種能夠在線檢測(cè)工件尺寸，并由測(cè)得尺寸變化值與設(shè)定信號(hào)點(diǎn)值做比較，進(jìn)而對(duì)機(jī)床發(fā)出指令信號(hào)，控制機(jī)床動(dòng)作的儀器，如圖1所示。主動(dòng)測(cè)量能夠?qū)崿F(xiàn)不停機(jī)測(cè)量和控制機(jī)床動(dòng)作，可以降低工人勞動(dòng)強(qiáng)度、提高生產(chǎn)效率，同時(shí)也可提高工件表面質(zhì)量、產(chǎn)品一致性。磨削加工過(guò)程中，為了在保證工件表面質(zhì)量的前提下提高加工效率，一般采用“粗磨—精磨—光磨”的三級(jí)加工模式，或者“粗磨—精磨—半精磨—光磨”四級(jí)加工模式，如圖2所示。顯然，在逐級(jí)加工模式下，工件的圓度是隨著加工進(jìn)程而逐漸降低的。影響工件圓度的因素是復(fù)雜多樣的，其中一個(gè)重要因素是上一級(jí)加工過(guò)程中工件形成的圓度，工件已有的圓度通過(guò)工件與砂輪間的法向切削力的變化映射和影響到下一級(jí)加工過(guò)程的工件圓度。因此，對(duì)于工件圓度的檢測(cè)往往也希望能夠?qū)崿F(xiàn)逐級(jí)檢測(cè)，而不是等待整個(gè)加工過(guò)程完成后機(jī)后檢測(cè)工件圓度。以常

見(jiàn)的“粗磨—精磨—光磨”的三級(jí)加工模式介紹磨加工主動(dòng)量?jī)x在同時(shí)檢測(cè)尺寸和圓度模式下的加工流程，如圖3所示。其中，工件為外徑時(shí)，尺寸信號(hào)點(diǎn)設(shè)定值 P1＞P2＞P3＞P4，其中 P4=0，即到尺寸。圓度信號(hào)點(diǎn)設(shè)定值 Y2＞Y3＞Y4，Y2、Y3、Y4分別為工件尺寸值到達(dá) P2、P3、P4時(shí)要求達(dá)到的圓度值，其中Y4即最終圓度要求。

圖1 磨加工主動(dòng)量?jī)xFig.1 Grinding Active Measuring Instrument

圖2 磨加工主動(dòng)量?jī)x“粗磨—精磨—光磨”模式Fig.2 The Mode of“Rough Grinding，F(xiàn)ine Grinding and Polishing”for Grinding Machine

圖中：P1、P2、P3、P4—主動(dòng)測(cè)量控制器信號(hào)設(shè)定點(diǎn)；S1-S2—粗磨階段；S2-S3—精磨階段；S3—S4—光磨階段。

圖3 磨加工主動(dòng)量?jī)x檢測(cè)尺寸、圓度工作流程圖Fig.3 The Working Flow Chart of Measuring Dimension and Roundness of Grinding Machine

從磨加工主動(dòng)測(cè)量對(duì)于尺寸、圓度的檢測(cè)工作流程中可以看出：圓度的在線檢測(cè)可以在加工過(guò)程中確定圓度不合格的工件，相比于機(jī)后圓度檢測(cè)可提高加工效率。磨削加工與圓度檢測(cè)同步進(jìn)行的制造模式是必要的[1]。

目前，尺寸的主動(dòng)測(cè)量已成為現(xiàn)有主動(dòng)量?jī)x最基本的功能，理論研究和技術(shù)應(yīng)用都十分成熟。圓度在線評(píng)定方面，已經(jīng)有學(xué)者做了一定的研究工作。文獻(xiàn)[2]設(shè)計(jì)了基于PMAC—PC下零件外圓表面磨削在線測(cè)量及加工系統(tǒng)；文獻(xiàn)[3]提出了基于IRM（改進(jìn)反向法）和小波變換的圓度誤差在線檢測(cè)技術(shù)以實(shí)現(xiàn)主軸回轉(zhuǎn)誤差分離和環(huán)境噪聲消除；文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種基于LabView虛擬儀器技術(shù)的圓度誤差在線測(cè)量裝置；文獻(xiàn)[5]結(jié)合新一代GPS圓度誤差評(píng)定準(zhǔn)則研究了磨加工主動(dòng)測(cè)量?jī)x在線圓度誤差評(píng)定技術(shù)及應(yīng)用。但現(xiàn)有的在線圓度評(píng)定中“在線”基本上側(cè)重的是將圓度評(píng)定的硬件設(shè)備和軟件程序與加工設(shè)備相整合，也可以做到提高加工效率和一定的反饋控制。但是沒(méi)有考慮在線評(píng)定時(shí)加工進(jìn)程對(duì)圓度的影響，在線圓度評(píng)定的原理與機(jī)后測(cè)量的圓度評(píng)定原理并無(wú)區(qū)別。因此，在考慮加工過(guò)程對(duì)在線圓度評(píng)定的影響基礎(chǔ)上，研究磨加工主動(dòng)測(cè)量?jī)x的在線圓度評(píng)定技術(shù)。

2 在線圓度評(píng)定技術(shù)

GB/T24632.1—2009中規(guī)定了四種圓度誤差評(píng)定方法[6]：最小二乘法、最小外接圓法、最大內(nèi)切圓法和最小區(qū)域法。ISO/TC213發(fā)布的GPS規(guī)定[7]，切比雪夫擬合法也可以作為圓度誤差的評(píng)定方法。其中，最小區(qū)域法是圓度誤差的仲裁方法，計(jì)算精度高于其他方法，當(dāng)其他方法出現(xiàn)爭(zhēng)議的時(shí)候，必須用最小區(qū)域法仲裁。最小外接圓法、最小內(nèi)切圓法和最小區(qū)域法的算法難以簡(jiǎn)單、快速確定擬合圓的圓心，一般通過(guò)移心算法實(shí)現(xiàn)，對(duì)于計(jì)算機(jī)編程而言較為復(fù)雜和困難。切比雪夫擬合法存在運(yùn)算速度不高、初始值與算法關(guān)系的問(wèn)題[6]。最小二乘法計(jì)算簡(jiǎn)便，易于編程實(shí)現(xiàn)，可行性較高，故在實(shí)際應(yīng)用中較為常見(jiàn)。對(duì)在線圓度的評(píng)定以最小二乘法為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行討論研究。

2.1 最小二乘法

圓的最重要信息在于圓心的位置和圓的半徑大小。最小二乘的擬合過(guò)程就是利用實(shí)際輪廓測(cè)得值確定擬合圓圓心和半徑值的過(guò)程。在圓度評(píng)定時(shí)，實(shí)際被測(cè)點(diǎn)的位置可以用極坐標(biāo)（Ri，θi）表示，其中Ri是測(cè)點(diǎn)的極徑，θi是測(cè)點(diǎn)的極角，如圖4所示。將測(cè)點(diǎn)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為：

圖4 最小二乘數(shù)學(xué)模型示意圖Fig.4 Schematic Diagram of Least Squares Mathematical Model

設(shè)最小二乘圓的圓心坐標(biāo)為（a，b），則相對(duì)于最小二乘圓心各實(shí)際測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)和半徑分別為：最小二乘是使擬合圓半徑R與實(shí)測(cè)輪廓圓半徑的誤差的平方和為最小[8]。磨加工主動(dòng)測(cè)量?jī)x實(shí)際的圓度評(píng)定過(guò)程中，可以認(rèn)為最小二乘圓的圓心與回轉(zhuǎn)類(lèi)工件的回轉(zhuǎn)軸心十分接近，即a，b值極小。半徑誤差值 ei可近似表示為：ei=Ri-acosθi-bsinθi-R（i=1，2，…，m） （2）

同時(shí)，工件的圓度誤差與工件半徑相比是極小的。因此，由式（2）得：Ri=R+acosθi+bsinθ（ii=1，2，…，m） （3）

磨加工主動(dòng)測(cè)量?jī)x圓度評(píng)定時(shí)需要測(cè)量的點(diǎn)數(shù)m值很大，因此式（3）是一個(gè)超正定方程組。由文獻(xiàn)[9]可得：

最小二乘圓法評(píng)定準(zhǔn)則：以擬合最小二乘圓圓心為中心，作兩個(gè)同心圓包容實(shí)際被測(cè)輪廓，該輪廓上至少有一個(gè)測(cè)點(diǎn)與同心圓的內(nèi)圓（外圓）相接觸。同心圓的半徑差即為最小二乘法所得圓度誤差[10]。設(shè)rmax、rmin為實(shí)際輪廓上測(cè)點(diǎn)至最小二乘圓心O′的最大半徑和最小半徑。則工件輪廓的最小二乘圓度誤差f為[5]：f=rmax-rmin（5）

在主動(dòng)測(cè)量?jī)x測(cè)頭測(cè)得工件一周的測(cè)點(diǎn)極徑Ri和θi極角后，由式（1）、式（4）、式（5）即可計(jì)算得到最小二乘法圓度誤差評(píng)定結(jié)果。

2.2 在線圓度評(píng)定

應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行圓度評(píng)定時(shí)，需要首先得到工件一周的輪廓位置信息，然后由測(cè)得數(shù)據(jù)計(jì)算得出圓度誤差。但是，對(duì)于在線圓度評(píng)定而言，應(yīng)該考慮到磨削加工過(guò)程中，工件輪廓尺寸在被測(cè)量的同時(shí)也在被砂輪磨削，即工件輪廓尺寸也在不斷變化。工件磨削加工過(guò)程時(shí)工件橫截面示意圖，如圖5所示。

圖5 磨削過(guò)程工件橫截面示意圖Fig.5 Schematic Diagram of Cross Section of Workpiece in Grinding Process

圖中：曲線1—砂輪輪廓線；虛線2—砂輪不進(jìn)給時(shí)工件理想截面；

實(shí)線3—砂輪進(jìn)給時(shí)工件理想截面；點(diǎn)4—砂輪輪廓在砂輪

進(jìn)給方向上點(diǎn)；S—工件旋轉(zhuǎn)一周時(shí)砂輪進(jìn)給量；O—工件旋

轉(zhuǎn)軸心；測(cè)頭固定在工件正上方（可任意位置）。

磨削加工進(jìn)行時(shí)，工件以一定轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)砂輪持續(xù)進(jìn)給，假設(shè)砂輪進(jìn)給速度不變，點(diǎn)4可認(rèn)為是砂輪磨削工件的磨削點(diǎn)，工件磨削過(guò)程中實(shí)際輪廓3是工件旋轉(zhuǎn)是被磨削形成的，即線3由點(diǎn)4構(gòu)成。點(diǎn)4勻速接近工件旋轉(zhuǎn)軸心O，并且工件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。在幾何學(xué)知識(shí)中，一個(gè)點(diǎn)勻速離開(kāi)（靠近）一個(gè)固定點(diǎn)的同時(shí)又以固定的角速度繞該固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的軌跡稱(chēng)為阿基米德螺線（等速螺線），其極坐標(biāo)方程式為：r=a+bθ（a，b∈R）

通過(guò)對(duì)磨削過(guò)程中工件實(shí)際輪廓形成的分析，可以做出如下假設(shè)：工件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，砂輪勻速進(jìn)給時(shí)，不考慮工件旋轉(zhuǎn)偏心、機(jī)床振動(dòng)、砂輪震顫等其他因素，在理想條件下，磨削過(guò)程中的工件表面輪廓橫截面是阿基米德螺線。磨削加工過(guò)程中的在線圓度評(píng)定實(shí)際就是對(duì)近似于阿基米德螺線的螺旋線的圓度評(píng)定。

在線圓度誤差評(píng)定相對(duì)于機(jī)后圓度誤差評(píng)定而言，工件實(shí)際輪廓半徑變化不僅僅來(lái)源于圓度誤差本身，還包括砂輪進(jìn)給所造成的尺寸變化。而在磨削加工中，磨削到尺寸前往往有光磨階段，用以修整和降低工件圓度誤差。在光磨時(shí)可以消除砂輪進(jìn)給時(shí)所造成的尺寸變化，即理想情況下，將工件輪廓截面的“阿基米德螺線”修整為圓。

在線圓度評(píng)定技術(shù)的原理就是由得到的磨削進(jìn)程中的實(shí)際輪廓測(cè)點(diǎn)半徑值，先通過(guò)尺寸補(bǔ)償將“阿基米德螺線”補(bǔ)償為“圓”，然后求“圓”的圓度誤差，其原理如下：

（1）設(shè)工件實(shí)際輪廓表面測(cè)得極坐標(biāo)為（Ri，θi），（i=1，2，…，m），其中Ri是測(cè)點(diǎn)的極徑，θi是測(cè)點(diǎn)的極角。對(duì)Ri其進(jìn)行尺寸補(bǔ)償，設(shè)直線l為以θi為橫坐標(biāo)，以Ri為縱坐標(biāo)的直角坐標(biāo)系中測(cè)點(diǎn)的最小二乘擬合線，斜率為k為補(bǔ)償后的極徑值，則

2.3 機(jī)后與在線圓度評(píng)定對(duì)比

為分析研究在線圓度評(píng)定理論的合理性、正確性，將在線圓度評(píng)定與機(jī)后圓度評(píng)定做對(duì)比分析。為方便分析起見(jiàn)，不妨假設(shè)最小二乘圓圓心與工件旋轉(zhuǎn)軸心重合，如圖5所示。橫坐標(biāo)為工件圓周測(cè)點(diǎn)極角，縱坐標(biāo)為測(cè)點(diǎn)極徑。機(jī)后圓度評(píng)定，其中實(shí)線la縱坐標(biāo)值為最小二乘圓半徑R，實(shí)線la可以視為由最小二乘圓上的點(diǎn)構(gòu)成，顯然也是所有測(cè)點(diǎn)最小二乘直線，如圖6所示。兩虛線為平行于實(shí)線la，包容所有測(cè)點(diǎn)且直線間距離最短的兩條線，則其圓度誤差評(píng)定值即為兩虛線間距離。主動(dòng)測(cè)量在線圓度評(píng)定，其中實(shí)線lb為所有測(cè)點(diǎn)的最小二乘直線，如圖7所示。兩虛線為平行于實(shí)線lb，包容所有測(cè)點(diǎn)且直線間距離最短的兩條線，同理其圓度誤差評(píng)定值即為兩虛線間距離。θ為最小二乘直線與橫坐標(biāo)夾角，設(shè)加工過(guò)程中，某時(shí)刻工件半徑平均值為r，工件旋轉(zhuǎn)一周時(shí)砂輪進(jìn)給量為 s，則

圖6 機(jī)后圓度評(píng)定Fig.6 After Machining Roundness Evaluation

圖7 主動(dòng)測(cè)量在線圓度評(píng)定Fig.7 On Line Measurement of Active Measurement

lb斜率不為0，這是因?yàn)樵诰€圓度評(píng)定時(shí)砂輪在實(shí)時(shí)進(jìn)給，工件實(shí)際輪廓半徑值不斷變化造成的。在線圓度評(píng)定中的尺寸補(bǔ)償就是將補(bǔ)償lb使其等價(jià)于la，將在線圓度評(píng)定變?yōu)闄C(jī)后圓度評(píng)定，進(jìn)而求得圓度誤差值。同時(shí)，對(duì)比分析可知在線圓度評(píng)定和機(jī)后圓度評(píng)定一樣，理論方法符合最小二乘原理，評(píng)定原則滿足最小二乘評(píng)定準(zhǔn)則。

3 實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)機(jī)床采用MGB1320E高精度半自動(dòng)外圓磨床，如圖8所示。磨削工件材料為45鋼，磨削外圓直徑為24mm，外圓軸向尺寸為30mm；砂輪材質(zhì)為棕剛玉，直徑400mm，厚度32mm，最高線速度35m/s；磨削液使用濃度為4%的乳化液；磨削方式為外圓切入磨削。實(shí)驗(yàn)安排：砂輪以一定磨削切入速度進(jìn)給一定加工余量后光磨至到尺寸，其中磨削切入速度、磨削加工余量和光磨余量分別設(shè)定兩個(gè)水平變量，如表1所示。實(shí)驗(yàn)安排共計(jì)23=8組。

圖8 磨削實(shí)驗(yàn)設(shè)備Fig.8 Grinding Experiment Equipment

表1 工藝參數(shù)水平表Tab.1 Level of Process Parameters

磨削過(guò)程中，使用磨加工主動(dòng)測(cè)量?jī)x分別由在線圓度評(píng)定模塊和機(jī)后圓度評(píng)定模塊測(cè)定磨削切入進(jìn)給時(shí)的圓度誤差。磨削完成后，機(jī)后圓度評(píng)定模塊檢測(cè)工件最終的實(shí)際圓度誤差。最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)為在線模塊下磨削進(jìn)程時(shí)圓度值A(chǔ)（μm）、機(jī)后模塊下磨削進(jìn)程時(shí)誤差值B（μm）、磨削完成時(shí)工件實(shí)際圓度值C（μm），計(jì)算分析數(shù)據(jù)D為A相對(duì)于C的誤差、E為B與A的差值（μm），同時(shí)工件旋轉(zhuǎn)速度為300r/min，可計(jì)算得出工件旋轉(zhuǎn)一周時(shí)砂輪進(jìn)給量F（μm）、G為E相對(duì)于F的誤差結(jié)果，如表2所示。由表2可以看出，在線圓度評(píng)定得到的圓度誤差值與磨削完成后實(shí)際圓度誤差值的差值絕對(duì)值最大不超過(guò)10%，證明了在線圓度評(píng)定理論的可行性；同時(shí)，常見(jiàn)的機(jī)后圓度評(píng)定在磨削進(jìn)程時(shí)得到的圓度評(píng)定值B與在線圓度評(píng)定值A(chǔ)的差值E，與砂輪在工件旋轉(zhuǎn)一周時(shí)的進(jìn)給量F的差值絕對(duì)值不超過(guò)18%，證明了機(jī)后圓度誤差評(píng)定與在線圓度評(píng)定得到的圓度誤差值的差主要來(lái)源于工件旋轉(zhuǎn)是砂輪的進(jìn)給，間接證明了在線圓度評(píng)定尺寸補(bǔ)償理論的正確性。

表2 實(shí)驗(yàn)及分析結(jié)果Tab.2 Experimental and Analytical Results

4 結(jié)論

研究了高精密磨削加工中磨加工主動(dòng)測(cè)量?jī)x對(duì)工件尺寸和表面圓度同時(shí)檢測(cè)時(shí)的工作流程；通過(guò)對(duì)磨削進(jìn)程時(shí)工件實(shí)際表面輪廓橫截面形成的分析，得出在理想條件下，工件在磨削加工時(shí)表面輪廓截面為阿基米德螺線。結(jié)合最小二乘法原理和評(píng)定準(zhǔn)則，提出了一種尺寸補(bǔ)償法的在線圓度評(píng)定技術(shù)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明：在線圓度評(píng)定得到的圓度誤差值與磨削完成時(shí)工件實(shí)際圓度誤差值的差值絕對(duì)值最大不超過(guò)10%，驗(yàn)證了在線圓度評(píng)定理論的可行性；機(jī)后圓度誤差評(píng)定與在線圓度評(píng)定得到的圓度誤差值的差值與工件旋轉(zhuǎn)一周時(shí)砂輪進(jìn)給量的差值絕對(duì)值最大不超過(guò)18%，證明了機(jī)后圓度誤差評(píng)定與在線圓度評(píng)定得到的圓度誤差值的差主要來(lái)源于工件旋轉(zhuǎn)是砂輪的進(jìn)給，間接證明了在線圓度評(píng)定理論尺寸補(bǔ)償?shù)恼_性。該研究對(duì)于實(shí)現(xiàn)磨加工主動(dòng)量?jī)x在線圓度評(píng)定具有重要意義。

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