王世宇，趙小雪

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計入基礎(chǔ)運(yùn)動的環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)振動特性分析

王世宇1, 2，趙小雪1

(1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300350；2. 天津市非線性動力學(xué)與控制重點實驗室，天津 300350)

研究了一類工程領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的彈性振動特性，重點分析了基礎(chǔ)運(yùn)動對彈性振動穩(wěn)定性和固有頻率分裂的影響．首先在隨動坐標(biāo)系下采用Hamilton原理建立了計入基礎(chǔ)運(yùn)動和面內(nèi)切向及徑向彈性振動的偏微分形式的動力學(xué)模型．然后，應(yīng)用伽遼金方法將其離散得到一組常微分動力學(xué)方程．根據(jù)經(jīng)典振動理論，得到了系統(tǒng)特征值的數(shù)學(xué)表達(dá)．最后采用數(shù)值方法計算了系統(tǒng)的特征值．根據(jù)特征值的實虛部取值預(yù)測了不穩(wěn)定域和固有頻率分裂規(guī)律，并用Runge-Kutta法給出穩(wěn)定性的數(shù)值驗證．該研究為陀螺儀等呈現(xiàn)平面或空間基礎(chǔ)運(yùn)動的環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能的改善提供了理論借鑒．

環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)；彈性振動；穩(wěn)定性；特征值

工程領(lǐng)域廣泛應(yīng)用環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)，例如旋轉(zhuǎn)電機(jī)的定轉(zhuǎn)子、行星傳動的齒圈以及軸承的內(nèi)外圈等．在電磁力、嚙合力及其他激振力的作用下，構(gòu)件呈現(xiàn)復(fù)雜的振動行為．在基礎(chǔ)運(yùn)動的作用下，動力學(xué)響應(yīng)將變得更為復(fù)雜[1]．隨著現(xiàn)代機(jī)械向高速化、輕量化及精密化方向發(fā)展，振動問題日益突出．本文擬研究基礎(chǔ)運(yùn)動對環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的動力穩(wěn)定性及固有頻率分裂的影響．

美國學(xué)者Canchi等[2-4]采用多尺度法分別研究了非旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的動力穩(wěn)定性，揭示了基本參數(shù)與穩(wěn)定性之間的映射關(guān)系．Zhang等[5]采用攝動法分析了環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的特征參數(shù)與固有頻率分裂的關(guān)系，并提出一種頻率分裂抑制方法．Wang等[6]探討了分組對稱構(gòu)型周期結(jié)構(gòu)的固有頻率分裂規(guī)律及其抑制方法，并給出有限元驗證．徐進(jìn)友等[7]采用直接攝動法研究了環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，給出了由附加子結(jié)構(gòu)個數(shù)及振動波數(shù)決定的固有頻率分裂條件. Zhang等[8]研究了分裂模態(tài)處的共振響應(yīng)規(guī)律．應(yīng)當(dāng)指出的是，上述研究均未計入基礎(chǔ)運(yùn)動的影響．

在航空航天等呈現(xiàn)空間運(yùn)動的場合，構(gòu)件的微幅彈性振動與基礎(chǔ)運(yùn)動耦合，呈現(xiàn)高度復(fù)雜的動力學(xué)行為．Esmaeili等[9]以陀螺儀為研究對象，建立了復(fù)雜的動力學(xué)模型，研究了基礎(chǔ)運(yùn)動對動力學(xué)行為的影響機(jī)理．但是，該文獻(xiàn)忽略了基礎(chǔ)運(yùn)動對穩(wěn)定性的影響．事實上，動力穩(wěn)定性及模態(tài)特性與系統(tǒng)的動態(tài)性能密切相關(guān)．Yoon等[10]采用拉格朗日方法建立了計入面內(nèi)彎曲振動和剛體振動的多維動力學(xué)模型，分析了振動對輸出特性的影響，還探討了制造誤差和對稱性與振動模態(tài)的關(guān)系及其對陀螺儀誤差的影響．但是，該文獻(xiàn)僅研究了基礎(chǔ)的定軸轉(zhuǎn)動情形．考慮實際運(yùn)動形式的復(fù)雜性，應(yīng)該計入更多因素以精確預(yù)測動力學(xué)行為．張薇薇等[11]計入基礎(chǔ)運(yùn)動的影響，建立了磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子-基礎(chǔ)系統(tǒng)的機(jī)電耦聯(lián)動力學(xué)模型，分析了動力學(xué)性能．但是該文獻(xiàn)僅考慮了平面基礎(chǔ)運(yùn)動．文獻(xiàn)[1]運(yùn)用有限元和拉格朗日方法建立了艦船汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型，研究了基礎(chǔ)繞橫軸定速旋轉(zhuǎn)和繞縱軸的簡諧運(yùn)動對臨界轉(zhuǎn)速和軸心軌跡的影響．受應(yīng)用場合限制，該文獻(xiàn)將渦輪和壓氣機(jī)簡化為圓盤結(jié)構(gòu)．文獻(xiàn)[12]以陀螺儀為背景建立了圓環(huán)模型，分析了振動穩(wěn)定性，結(jié)果表明固有頻率分裂、激勵力和阻尼系數(shù)均影響零點偏移．應(yīng)當(dāng)指出的是，該研究僅針對駐波響應(yīng)．

本文擬研究基礎(chǔ)運(yùn)動對環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)動力穩(wěn)定性及固有頻率分裂的影響．首先在隨動坐標(biāo)系下建立含空間旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的偏微分動力學(xué)模型．然后采用Galerkin離散[13]得到常微分模型，應(yīng)用解析和數(shù)值方法計算特征值，并根據(jù)特征值預(yù)測基本參數(shù)對動力穩(wěn)定性及固有頻率分裂的影響規(guī)律．最后采用數(shù)值計算驗證結(jié)論的正確性．

1?數(shù)學(xué)建模

1.1?模型描述

圖1?環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)系

1.2?數(shù)學(xué)建模

前人通常采用能量法建立彈性結(jié)構(gòu)動力學(xué)模?型[3, 4, 14-16]，該方法規(guī)范、高效，易于保證正確性．為此，本節(jié)采用能量法在圖1(a)和(b)所示慣性坐標(biāo)系和隨動坐標(biāo)系下建模．將中性線上的任意點0的位置矢量表示為

???(1)

在隨動坐標(biāo)系下，有

???(2)

???(3)

式中：x和y分別為點0的橫、縱坐標(biāo)；0x和0y分別為隨動坐標(biāo)系中和軸的振動位移分量．

將隨動坐標(biāo)系的角速度表示為

???(4)

隨動坐標(biāo)系原點的速度可表示為

???(5)

0點的速度可表示為

取速度點積

???(7)

???(8)

式中、和分別為0點在極坐標(biāo)系下的切向位移、徑向位移和位置角．

將式(8)代入式(7)，可得

?????(9)

式中

系統(tǒng)的動能可表示為

???(10)

根據(jù)薄環(huán)假設(shè)，切向應(yīng)變可表示為[17]

???(11)

其中

(12)

面內(nèi)彎曲產(chǎn)生的彈性勢能為

???(13)

式中：為截面積，＝；為截面慣性矩，＝3/12．離散支撐的彈性勢能為

???(14)

均布支撐的彈性勢能為

總勢能為

???(16)

(17)

?????(18)

2?模型求解

采用Galerkin方法[13]離散式(17)和(18)，假設(shè)

???(19)

???(20)

定義內(nèi)積

???(21)

???(22)

其中

為了確定式(22)的特征值，引入變換

(23)

則式(22)可寫為

???(24)

???(25)

???(26)

可采用經(jīng)典振動理論求解式(26)的特征值，然后預(yù)測動力穩(wěn)定性．根據(jù)三角函數(shù)的運(yùn)算特性，有

???(27)

根據(jù)式(26)和(27)可分析波數(shù)和離散支撐個數(shù)等基本參數(shù)對特征值的影響規(guī)律，進(jìn)而揭示基本參數(shù)與穩(wěn)定性及固有頻率分裂的映射關(guān)系．本文僅研究式(27)中的第1種情形．

3?仿真計算

圖3描述了不同基礎(chǔ)運(yùn)動條件下不穩(wěn)定域隨徑向和切向剛度的變化規(guī)律，圖中陰影區(qū)域表示不穩(wěn)定．圖3表明繞軸的轉(zhuǎn)動比繞軸的轉(zhuǎn)動更易引起不穩(wěn)定，而且基礎(chǔ)運(yùn)動形式越復(fù)雜，不穩(wěn)定域越大．圖4(a)和(b)給出了不穩(wěn)定域隨徑向剛度和繞軸轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，圖4(c)和(d)給出了不穩(wěn)定域隨徑向剛度和繞軸轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律．圖4表明基礎(chǔ)旋轉(zhuǎn)速度越大，則不穩(wěn)定域越大，而且繞不同軸的轉(zhuǎn)動對不穩(wěn)定區(qū)域的影響具有疊加性．

表1?環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)

Tab.1?Specifications of a ring-shaped periodic structure

圖4?不穩(wěn)定域隨徑向剛度和旋轉(zhuǎn)速度的變化規(guī)律

圖5(a)描述了不穩(wěn)定域隨和軸轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律．圖5(b)描述了不穩(wěn)定域隨和軸轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律．圖5(c)和(d)給出了轉(zhuǎn)速不變時支撐剛度對穩(wěn)定性的影響．從圖5可以看出，繞和軸的轉(zhuǎn)動對不穩(wěn)定域的影響呈現(xiàn)對稱性，該結(jié)論與文獻(xiàn)[1]一致．與之相反，繞和軸的轉(zhuǎn)動對系統(tǒng)不穩(wěn)定域的影響沒有對稱性，而且若轉(zhuǎn)速恒定，則增大徑向和切向剛度可增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性．該結(jié)論在圖3和圖4中也有所體現(xiàn)．事實上，在工程實際中剛度不可能無限增大，因此必須合理匹配參數(shù)，以期獲得良好的綜合性能．

圖5?不穩(wěn)定域隨旋轉(zhuǎn)速度的變化規(guī)律

在圖6中，(a)、(c)、(e)和(g)給出了特征值隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，其余各圖為局部放大．其中，圖6(a)描述了實部隨軸轉(zhuǎn)速的變化趨勢，反映了當(dāng)前參數(shù)下的不穩(wěn)定域分布．圖6(c)為固有頻率隨軸轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律．在圖6(c)中，上面2支為高階固有頻率，其他為低階固有頻率．圖6(c)和(d)表明，對于低階固有頻率，若僅存在軸轉(zhuǎn)動且速度逐漸增加，將出現(xiàn)固有頻率先分裂，然后退化，最后再分裂現(xiàn)象，這與非旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)和受參激作用的旋轉(zhuǎn)周期結(jié)構(gòu)的固有頻率分裂規(guī)律有所不同．由于繞或軸轉(zhuǎn)動對動力學(xué)特性影響呈現(xiàn)對稱特征，本節(jié)僅研究前者對固有頻率的影響．圖6(e)描述了特征值實部隨軸轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律．圖6(g)和(h)描述了固有頻率隨軸轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，表明當(dāng)僅存在繞軸的旋轉(zhuǎn)時，低階固有頻率隨轉(zhuǎn)速增加出現(xiàn)退化現(xiàn)象．該結(jié)果對合理選擇環(huán)狀構(gòu)件的最優(yōu)工作區(qū)間有參考價值．對比圖6(c)、(d)與(g)、(h)可知，旋轉(zhuǎn)軸不同，則頻率分裂規(guī)律也有所不同．

4?數(shù)值驗證

以圖3(d)、4(b)和5(a)為例，分別在穩(wěn)定和不穩(wěn)定域內(nèi)選取參數(shù)，采用Runge-Kutta方法計算響應(yīng)，可得圖8所示結(jié)果．不失一般性，圖中取環(huán)狀結(jié)構(gòu)中性線上位置角為π/6的點給出響應(yīng)．圖8(a)和(b)分別為圖3(d)中穩(wěn)定點(1)和非穩(wěn)定點(2)的響應(yīng)；圖8(c)和(d)分別為圖4(b)中穩(wěn)定點(3)和非穩(wěn)定點(4)的響應(yīng)；而圖8(e)和(f)分別對應(yīng)圖5(a)中穩(wěn)定點(5)和非穩(wěn)定點(6)的響應(yīng)．圖8(a)和(b)的三軸轉(zhuǎn)速均取為10．圖8(a)的切向剛度為300，徑向剛度為200．圖8(b)的切向和徑向剛度均為100．可以看出，圖8(a)為周期響應(yīng)，表明1確實為穩(wěn)定點，而圖8(b)為非周期響應(yīng)，表明2確實為不穩(wěn)定點，該結(jié)論與圖3(d)一致．圖8(c)和(d)中的和軸轉(zhuǎn)速及切向剛度分別為10、0和10．其中，圖8(c)的徑向剛度為600，軸轉(zhuǎn)速為15，而圖8(d)的相應(yīng)參數(shù)值分別為200和25．其中，圖8(c)為周期響應(yīng)，表明3點穩(wěn)定，圖8(d)為非周期響應(yīng)，表明4點非穩(wěn)定，該結(jié)論與圖4(b)一致．圖8(e)和(f)中的切向剛度、徑向剛度和軸轉(zhuǎn)速分別為10、10和0．圖8(e)的和軸轉(zhuǎn)速均為2，圖8(f)的和軸轉(zhuǎn)速分別為9和8．顯然，圖8(e)為周期響應(yīng)，幅值較小，表明5點穩(wěn)定，而圖8(f)為非周期響應(yīng)，其幅值隨時間無限增大，呈現(xiàn)顯著的不穩(wěn)定特征，表明6點非穩(wěn)定．上述結(jié)果驗證了圖5(a)的正確性．同理可驗證圖3～圖5中其他結(jié)果的正確性．篇幅所限，本文不再給出．

5?結(jié)?論

(1)采用能量法在隨動坐標(biāo)系下建立了彈性動力學(xué)模型．該模型計入了繞3個坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和面內(nèi)徑向及切向彈性振動．

(2) 采用經(jīng)典振動理論計算了系統(tǒng)的特征值，并據(jù)此預(yù)測了動力穩(wěn)定性及固有頻率的分裂規(guī)律．

(3) 基礎(chǔ)運(yùn)動可導(dǎo)致動力不穩(wěn)定，而且與定軸旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)相似，仍然存在固有頻率分裂現(xiàn)象．

(4) 采用數(shù)值方法計算了振動響應(yīng)，驗證了基于特征值方法的動力穩(wěn)定預(yù)測結(jié)果的正確性．

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(責(zé)任編輯：金順愛)

Vibration Characteristic Analysis of Ring-Shaped Periodic Structure Incorporating Basic Movement

Wang Shiyu1, 2，Zhao Xiaoxue1

(1．School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300350，China；2．Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Control，Tianjin 300350，China)

The elastic vibration characteristic of a ring-shaped periodic structure intensively used in engineering practice was examined，where the focus was on the effect of basic movement on elastic vibration stability and natural frequency splitting．Firstly，a partial differential dynamic model incorporating basic movement and in-plane tangential as well as radial elastic vibrations was established in moving frame using Hamilton's principle．Then，a set of ordinary differential dynamic equations were formulated using Galerkin method．The mathematical expressions of eigenvalues of the system were derived according to the classical vibration theory．Finally，the eigenvalues were calculated by use of numerical method．Unstable areas and the rules of natural frequency splitting were predicted by means of real and imaginary parts of eigenvalues．The stability was verified by numerical calculation with Runge-Kutta method．This research provides theoretical reference for the dynamic performance improvement of microgyroscope or other ring-shaped periodic structures undergoing two- or three-dimensional basic movement.

ring-shaped periodic structure；elastic vibration；stability；eigenvalue

10.11784/tdxbz201704045

TH113.1

A

0493-2137(2018)02-0167-08

2017-04-14；

2017-06-03.

王世宇（1974—??），男，博士，副教授.

王世宇，wangshiyu@tju.edu.cn.

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)資助項目(2013CB035403)；國家自然科學(xué)基金資助項目(51175370，51675368)；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃重點資助項目(13JCZDJC34300)；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃資助項目(14JCYBJC18800).

the National Basic Research Program of China(No.,2013CB035403)，the National Natural Science Foundation of China (No.,51175370 and No.,51675368)，the Tianjin Key Research Program of Application Foundation and Advanced Technology (No.,13JCZDJC34300)and the Tianjin Research Program of Application Foundation and Advanced Technology (No.,14JCYBJC18800).