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四輪漸近教學(xué)法

2018-03-06 17:32孟慶杰
理科考試研究·高中 2017年11期
關(guān)鍵詞:模仿研討自學(xué)

孟慶杰

摘要:本文依據(jù)數(shù)學(xué)家華羅庚先生提出的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的四種境界,闡述了四輪漸近教學(xué)法,即一輪課堂模仿、二輪作業(yè)獨立解決、三輪小組研討、四輪自學(xué)升華.

關(guān)鍵詞:模仿;獨立解決;研討;自學(xué);教學(xué)法

一、四輪漸近教學(xué)法

1.一輪課堂模仿

課堂模仿就是常規(guī)課堂教學(xué)即老師講清概念、性質(zhì)、公式等,師生合作完成幾個例題(以教材例題為主),學(xué)生模仿做幾個練習(xí)(以教材習(xí)題為主,基本都是定義、性質(zhì)、公式的正用),這期間包含師生交流、探討等.

2.二輪作業(yè)獨立解決

課后作業(yè)是教學(xué)過程的基本環(huán)節(jié)之一,如果教師能按照下面這樣精心設(shè)計作業(yè),就能收到很好的效果.(1)逐字閱讀今天所學(xué)定義、性質(zhì)、公式等數(shù)遍,最后一字不差的背誦下來;(2)獨立完成老師精選(基本是定義、性質(zhì)、公式等的逆用和變形用等)的作業(yè)(第二天必須上交).

3.三輪小組研討

此輪首先分好學(xué)習(xí)小組,分學(xué)習(xí)小組很有學(xué)問,一定要考慮好各項指標(biāo).較好的分組方法是自愿組合,老師協(xié)調(diào)好學(xué)習(xí)好差、男女生比例、性格內(nèi)外向、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣等,每組5—6人為宜.其次,小組成員推選一名愛好數(shù)學(xué)且對數(shù)學(xué)有感覺的組長,負(fù)責(zé)完成小組任務(wù)等工作.最后,如下布置小組任務(wù)(組長負(fù)責(zé)找好時間、地點、方式等,三天內(nèi)必須完成):(1)小組每個成員用不同于教材的語言,等價敘述本節(jié)所學(xué)定義、性質(zhì)、公式等(這里主要指用數(shù)學(xué)的三種語言即圖表語言、符號語言、文字語言),語言越簡單越易懂越好.然后組內(nèi)相互交流、補(bǔ)充,最后選出公認(rèn)的最好的在全班面前展示;(2)研究探討老師精選的題目(基本是創(chuàng)設(shè)情境,構(gòu)造新方法的題目).

4.四輪自學(xué)升華

前三輪是解決數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵即縱向問題,而此輪是研究數(shù)學(xué)概念的外延即橫向問題.本輪的任務(wù)(三天內(nèi)必須完成)(1)獨立思考查資料看一看本節(jié)所學(xué)定義、性質(zhì)、公式等與學(xué)過的(有時也可以是沒學(xué)過的)哪些知識有關(guān),有何關(guān)系?(2)獨立思考老師精選的幾個問題.

5.驗收

在學(xué)完本節(jié)內(nèi)容三天內(nèi),教師找一節(jié)課(有時是半節(jié)課或兩節(jié)課,不管多長時間,以完成教學(xué)任務(wù)為準(zhǔn)),組織全班同學(xué)解決如下問題:(1)背課文(一字不差);(2)小組推選的用不同于教材概念敘述的等價敘述概念的展示;(3)自學(xué)查資料展示;(4)師生研討解決(以教師為主)教師精選試題中的疑問及學(xué)習(xí)研究中的相關(guān)問題(有些問題師生之間、生生之間已經(jīng)交流會了).

二、四輪漸近教學(xué)法的實例說明

以高中數(shù)學(xué)人教B版數(shù)學(xué)必修1“2.1.4函數(shù)的奇偶性”[2]為例,具體說明四輪漸近教學(xué)法.

1. 一輪課堂模仿

(1)老師通過導(dǎo)課引出奇函數(shù)和偶函數(shù)定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果對D內(nèi)的任意一個x,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),則這個函數(shù)叫做奇函數(shù). 設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域為D,如果對D內(nèi)的任意一個x,都有-x∈D,且g(-x)=g(x),則這個函數(shù)叫做偶函數(shù).老師強(qiáng)調(diào):定義域內(nèi),x、-x屬于定義域,f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x).

①教師模仿:教材例1(1)判斷函數(shù)f(x)=x+x3+x5的奇偶性.

解:因為函數(shù)的定義域為R,當(dāng)x∈R時,-x∈R.因為f(-x)=-x-x3-x5=-f(x),所以函數(shù)f(x)=x+x3+x5是奇函數(shù).

②學(xué)生模仿(老師叫一名學(xué)生解答):教材例1(2)判斷函數(shù)f(x)=x2+1的奇偶性.學(xué)生解答略,參考答案:偶函數(shù).老師再強(qiáng)調(diào)判定方法:定義域內(nèi),對稱,f(x)與f(-x)的關(guān)系.

③全體學(xué)生模仿:教材P49判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性:

A.f(x)=x+x3B.f(x)=-x2

C.f(x)=1+x3D.f(x)=1x2+1,x∈[-1,2].

參考答案:A.奇函數(shù);B.偶函數(shù);C.f(x)與f(-x)既不相等也不相反,非奇非偶;D.定義域不對稱,非奇非偶.

(2)通過上面的模仿,我們基本知道了如何判斷函數(shù)的奇偶性.研究函數(shù)主要研究函數(shù)的圖象和性質(zhì),老師話題一轉(zhuǎn),看一看奇函數(shù)和偶函數(shù),他們的圖象有何特點.通過具體實例觀察,用特殊到一般的思想,給出奇函數(shù)和偶函數(shù)的圖象特征:如果一個函數(shù)是奇函數(shù),則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形;反之,如果一個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形,則這個函數(shù)是奇函數(shù). 如果一個函數(shù)是偶函數(shù),則它的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形;反之,如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,則這個函數(shù)是偶函數(shù).

①教師模仿:教材P538.已知偶函數(shù)f(x)在y軸右邊的一部分圖象(如圖1),根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),作出函數(shù)在y軸左邊的圖象.教師根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,作出y軸左邊的圖象(略).

②全體學(xué)生模仿:教材P538.已知奇函數(shù)f(x)在y軸右邊的一部分圖象(如圖2),根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì),作出函數(shù)在y軸左邊的圖象. 多數(shù)學(xué)生能根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,作出y軸左邊的圖象(略).

教師強(qiáng)調(diào)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.

③師生共同模仿:教材P494(改編).如圖3,給出函數(shù)y=f(x)的局部圖象,當(dāng)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時,試分別比較f(1)與f(3)的大小.參考答案:f(x)是奇函數(shù)時,f(1)>f(3);f(x)是偶函數(shù)時,f(1)

④師生合作探究教材例2.研究函數(shù)y=1x2的性質(zhì)并作出它的圖象.

通過討論及教師的啟發(fā),學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)此函數(shù)是偶函數(shù).所以只考慮x>0時的圖象性質(zhì),就可以知道定義域內(nèi)整體的性質(zhì)和圖象(略).

教師總結(jié)強(qiáng)調(diào),進(jìn)入下一輪.

2.二輪作業(yè)獨立解決(有時當(dāng)堂可以做作業(yè))

模仿完成開始布置作業(yè):(1)逐字閱讀教材P47—P49 數(shù)遍,一字不差的背誦奇偶函數(shù)定義及圖象特征或一字不差的背誦從P47—P49 整篇內(nèi)容.(2)能背誦下來后,獨立完成如下試題(第二天上交):

①判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性:

(1)f(x)=x2-2ax,x>0-x2-2ax,x<0;

(2)f(x)=-x2+ax,x>0-x2-ax,x<0

②已知函數(shù)f(x)=x+1+x-a是偶函數(shù),求實數(shù)a.

③已知y=f(x)+x2是奇函數(shù),且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,則g(-1)=.

④已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=x2-x,求函數(shù)f(x)和g(x)的解析式.

⑤討論函數(shù)f(x)=a(a為不等于零的常數(shù))的奇偶性.

⑥判斷函數(shù)f(x)=1-x2+x2-1的奇偶性,并由此題結(jié)論說明任給函數(shù)g(x),若從奇偶性角度分類,有幾種情況?

參考答案:①(1)奇函數(shù)(2)偶函數(shù);②a=1;③g(-1)=-1;④f(x)=-x,g(x)=x2;⑤當(dāng)函數(shù)定義域為對稱區(qū)間時,函數(shù)是偶函數(shù).當(dāng)函數(shù)定義域不是對稱區(qū)間時,函數(shù)為非奇非偶函數(shù);⑥因為函數(shù)定義域為-1,1,且f(x)=0,所以函數(shù)f(x)為既奇又偶函數(shù). 任給函數(shù)g(x)可分為:奇函數(shù);偶函數(shù);既奇又偶函數(shù);非奇非偶函數(shù).

3.三輪小組研討(有時課堂可以研討)

此輪由組長負(fù)責(zé)(找好時間、地點及方式等)完成下列任務(wù)(三天內(nèi)完成):(1)小組每個成員,結(jié)合數(shù)學(xué)的三種語言,簡單明了地用不同于教材的語言,敘述奇函數(shù)偶函數(shù)的定義.經(jīng)小組交流補(bǔ)充后,推選一名最好的在全班面前展示.(2)運(yùn)用集體智慧完成下列問題:

①若奇函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含零,則f(0)=.從定義和圖象角度分別說明結(jié)論的正確性,若能舉例說明此結(jié)論的應(yīng)用更好.

②對任意偶函數(shù)f(x),是否等式f(x)=f(x)一定成立,說明理由.若等式成立,能否舉例說明它的應(yīng)用.

③定義域為對稱區(qū)間的函數(shù)f(x),在判斷其奇偶性時,除教材的方式外還有沒有其它方式?

④定義域相同的兩個奇函數(shù)f(x)、g(x)和兩個偶函數(shù)h(x)、t(x),它們經(jīng)過加、減、乘、除后所得函數(shù)是否還具有奇偶性?

⑤已知定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)的函數(shù)f(x),對于定義域內(nèi)任意實數(shù)x,y都有f(x·y)=f(y)x+f(x)y成立,試判斷f(x)的奇偶性.

⑥設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時f(x)是單調(diào)函數(shù),則滿足f(x2-2x-1)=f(x+1)的所有x之和為.

⑦不等式8(x+1)3+10x+1+x3+5x>0.

參考答案:①f(0)=0.由定義f(-0)=-f(0),推出f(0)=0;由奇函數(shù)圖象性質(zhì),原點關(guān)于原點的對稱點是本身,所以圖象過原點,即f(0)=0;

②一定成立.因為當(dāng)x≥0時,x=x,所以f(x)=f(x).當(dāng)x<0時,f(x)=f(-x)=f(x),所以f(x)=f(x);

③f(x)±f(-x)=0(+號成立為奇函數(shù),-號成立為偶函數(shù)),f(x)f(-x)=±1(f(-x)≠0)(+1為偶函數(shù),-1為奇函數(shù)),f(x)·f(-x)=±f(x)2(+f(x)2為偶函數(shù),-f(x)2為奇函數(shù))等;

④f(x)+g(x)為奇函數(shù),h(x)-t(x)為偶函數(shù),f(x)·h(x)為奇函數(shù)等;

⑤若f(x)恒為零,則函數(shù)為既奇又偶函數(shù).若f(x)不恒為零,函數(shù)為奇函數(shù);

⑥由題意x2-2x-1=x+1或x2-2x-1=-(x+1),解得所有x之和為4;

⑦原不等式化為(2x+1)3+5×2x+1>-x3-5x①.設(shè)f(x)=x3+5x,則①變?yōu)閒(2x+1)>-f(x).又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在R上遞增,所以f(2x+1)>f(-x),即2x+1>-x,解得x>-1為所求解集.

4.四輪自學(xué)升華

認(rèn)真完成前三輪的學(xué)習(xí)研究,學(xué)生對奇偶性問題已經(jīng)有點感覺和認(rèn)識了.此時獨立完成一些奇偶性的問題,時機(jī)已經(jīng)成熟.因此布置如下任務(wù)(三天內(nèi)完成):(1)獨立思考查資料,看一看奇偶性問題與學(xué)過的(也可以是沒學(xué)過的)哪些知識有關(guān),有何關(guān)系?找出一點或兩點即可.(2)獨立完成下列問題:

①已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿足f(2x-2)

②設(shè)定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(m)+f(m-1)>0,則m的取值范圍.

③已知函數(shù)y=f(2x+1)是偶函數(shù),則一定是函數(shù)y=f(2x)圖象的對稱軸的直線是().

A.x=-12B.x=0C.x=12D.x=1

參考答案:①f(2x-2)=f(2x-2)

②f(m)>-f(m-1)=f(1-m),推出-2≤m<1-m≤2,解得m∈[-1,12);

③f(2x+1)=f[2(x+12)],所以圖象向右平移12個單位,得y=f(2x) ,所以答案為C.

5.驗收

四輪完成后,就是老師收口的時候了. 在學(xué)完本節(jié)內(nèi)容三天內(nèi),教師找一節(jié)課(有時是半節(jié)課或兩節(jié)課,不管多長時間,以完成教學(xué)任務(wù)為準(zhǔn)),組織全班同學(xué)解決如下問題:(1)背課文(一字不差)(略);(2)展示小組推選的不同于教材的奇偶性定義:這里舉幾例①人體就是偶函數(shù)模型②定義域內(nèi)自變量取互為相反數(shù)時,所對應(yīng)的函數(shù)值相等為偶函數(shù),所對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)為奇函數(shù)③定義域內(nèi)自變量取互為相反數(shù)時,所對應(yīng)的函數(shù)值相減為零為偶函數(shù),所對應(yīng)的函數(shù)值相加為零為奇函數(shù)等;(3)自學(xué)查資料展示:這里舉幾例①奇函數(shù)若在y軸兩側(cè)單調(diào),則單調(diào)性相同②偶函數(shù)若在y軸兩側(cè)單調(diào),則單調(diào)性相反③非奇非偶函數(shù),若其圖象有一條平行于y軸的對稱軸,則其函數(shù)可以通過圖象平移變?yōu)榕己瘮?shù);若其圖象有一個對稱中心(a,0)(a≠0),則其函數(shù)可以通過圖象平移變?yōu)槠婧瘮?shù)等;(4)師生研討解決(以教師為主)教師精選試題中的疑問及學(xué)習(xí)研究中的相關(guān)問題(有些問題師生之間、生生之間已經(jīng)交流會了)(略).

總之,教無定法,無論怎樣好的教學(xué)方法,老師、學(xué)生都要相互配合,并且付出很多辛苦和努力.如果感到數(shù)學(xué)難教,學(xué)生難學(xué)會,不妨試一試四輪漸近教學(xué)法,可能有一定的效果.

參考文獻(xiàn):

[1]夏炎.談?wù)剶?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三種境界[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2003(11):4-5

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)教材實驗研究組.人民教育出版社B版數(shù)學(xué)必修1,2008:47-49

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