屈 程, 王江峰(1. 中國飛行試驗(yàn)研究院, 陜西 西安 710089; . 南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院, 江蘇 南京 10016)

0 引 言

DSMC方法是Bird從流動(dòng)的物理模擬出發(fā)發(fā)展的一種直接模擬蒙特卡洛方法[1]，是模擬過渡領(lǐng)域真實(shí)氣體流動(dòng)問題最成功的方法之一[2-5]。然而，DSMC方法的較大缺點(diǎn)是其對(duì)較高密度稀薄流問題的模擬能力不強(qiáng)，并且計(jì)算耗時(shí)太長，這大大限制了該方法的大規(guī)模應(yīng)用。為克服上述缺點(diǎn)，研究者們發(fā)展了多種方法，如采用多線程并行計(jì)算[6-7]、設(shè)計(jì)高效率分子搜索算法[7]、更改DSMC方法中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)[8]、引入碰撞距離思想[9-10]、發(fā)展自適應(yīng)當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長方法[11-12]等。

DSMC方法中，計(jì)算網(wǎng)格起兩種作用[13]。第一種是對(duì)流場宏觀流動(dòng)參數(shù)進(jìn)行空間離散，第二種是促進(jìn)碰撞分子碰撞對(duì)的選擇，使其滿足基本的幾何接近。為了保證模擬結(jié)果的正確性，DSMC數(shù)值模擬中需要保證網(wǎng)格尺寸不超過當(dāng)?shù)胤肿悠骄杂沙痰娜种?。高超聲速稀薄流場中激波區(qū)域密度相對(duì)較大，分子平均自由程相對(duì)較小，而其它區(qū)域密度相對(duì)較低，分子平均自由程相對(duì)較大，在數(shù)值模擬過程中很難保證全流場滿足上述網(wǎng)格尺寸要求[10]；同時(shí)，為了對(duì)密度相對(duì)較大的區(qū)域有較高的平均自由程和碰撞頻率的分辨率，流場時(shí)間步長必須取得非常小，這會(huì)降低流場整體計(jì)算效率[11]。

為了放寬DSMC方法對(duì)網(wǎng)格尺寸的限制，文獻(xiàn)[7]在選擇分子碰撞對(duì)時(shí)引入了碰撞距離的思想，預(yù)先給定分子碰撞距離，以第一個(gè)分子的位置為圓心(或球心)，以碰撞距離為半徑做圓(或球)，在分子所在網(wǎng)格與圓(或球)的公共區(qū)域選擇第二個(gè)分子，該方法在每次分子碰撞對(duì)選擇時(shí)都需要進(jìn)行公共區(qū)域判定及區(qū)域內(nèi)模擬分子標(biāo)記，這必然會(huì)帶來較大的計(jì)算消耗。文獻(xiàn)[10]將自適應(yīng)碰撞距離的思想引入虛擬子網(wǎng)格方法，能夠避免上述處理帶來的計(jì)算消耗，但是該文獻(xiàn)采用常數(shù)作為分子碰撞對(duì)選取的最大循環(huán)次數(shù)，常數(shù)值過小會(huì)對(duì)計(jì)算精度造成影響，而過大又會(huì)降低計(jì)算效率；并且，當(dāng)循環(huán)結(jié)束仍未找到滿足要求分子碰撞對(duì)時(shí)，該文獻(xiàn)直接采用隨機(jī)選擇的分子對(duì)進(jìn)行碰撞處理，這會(huì)降低較疏網(wǎng)格情況下的計(jì)算精度。本文發(fā)展了一種基于自適應(yīng)碰撞距離的分子碰撞對(duì)選取方法，能夠在程序中動(dòng)態(tài)設(shè)定適合于每個(gè)網(wǎng)格單元的分子碰撞對(duì)最大循環(huán)次數(shù)，同時(shí)對(duì)于循環(huán)結(jié)束仍不能找到滿足碰撞距離要求分子碰撞對(duì)的情況也做了針對(duì)性處理。

為了加快流場的時(shí)間發(fā)展歷程，研究者們發(fā)展了自適應(yīng)當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長方法，通過構(gòu)造流場探測器，在流場計(jì)算中動(dòng)態(tài)更新每個(gè)網(wǎng)格單元內(nèi)的時(shí)間乘數(shù)因子Ti，網(wǎng)格單元i內(nèi)的模擬分子在Ti倍基時(shí)間步長間隔內(nèi)只處理一次。本文結(jié)合自適應(yīng)當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長方法和DSMC方法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)展了一種自適應(yīng)分子時(shí)間步長方法，能夠以模擬分子為最小時(shí)間步長調(diào)整單位，為其分配適當(dāng)?shù)臅r(shí)間步長。

1 計(jì)算方法

1.1 DSMC方法介紹

DSMC方法使用大量的模擬分子模擬真實(shí)的氣體，用一個(gè)模擬分子代表一定數(shù)量的真實(shí)氣體分子，整個(gè)模擬中分子之間以及分子和物面之間不斷進(jìn)行能量交換，在充足的模擬時(shí)間后，通過采樣統(tǒng)計(jì)得到每個(gè)網(wǎng)格的宏觀流場結(jié)果[14-15]。本文采用非結(jié)構(gòu)貼體網(wǎng)格，計(jì)算中采用可變硬球(Variable Hard Sphere，VHS)分子模型，采用恒溫邊界條件，物面采用完全漫反射條件，使用Larsen- Borgnakke唯象論模型處理模擬分子間的能量交換。

1.2 自適應(yīng)碰撞距離碰撞對(duì)選取方法

為了在保證計(jì)算精度的同時(shí)降低DSMC方法對(duì)網(wǎng)格尺寸的限制，本文引入碰撞距離的思想，發(fā)展了一種自適應(yīng)碰撞距離的分子碰撞對(duì)選取方法，網(wǎng)格單元i中的自適應(yīng)碰撞距離di由下式確定：

di=min(Hi,ref,λi/3)

(1)

其中，Hi,ref為網(wǎng)格單元i的特征尺寸，λi為單元i中的局部分子平均自由程，數(shù)值模擬過程中每隔400步對(duì)網(wǎng)格單元i中的λi和di進(jìn)行一次更新，式(1)使碰撞距離限制在三分之一局部自由程之內(nèi)。

分子碰撞對(duì)選取的主要處理步驟如下：

1) 給定碰撞對(duì)中第二個(gè)分子選取的最大循環(huán)次數(shù)pi=max[1,int(NUMi/2)]，其中NUMi為網(wǎng)格單元i中的模擬分子數(shù)，集合{1,2,3...,NUMi}中的每個(gè)正整數(shù)對(duì)應(yīng)網(wǎng)格單元i中的一個(gè)模擬分子；

2) 首先在集合{1,2,3...,NUMi}中隨機(jī)選取一個(gè)正整數(shù)，并找到與之對(duì)應(yīng)的模擬分子M；

3) 采用步驟2中的方法隨機(jī)選取第二個(gè)模擬分子L，計(jì)算并存儲(chǔ)M和L之間的距離dML；

4) 判斷0

上述處理步驟中采用與網(wǎng)格單元i中分子數(shù)相關(guān)的max[1,int(NUMi/2)]作為碰撞對(duì)中第二個(gè)分子選取的最大循環(huán)次數(shù)，采用這種方式能夠獲得較高的碰撞對(duì)選取效率，引入max()函數(shù)是為了保證循環(huán)順利進(jìn)行。步驟4中，達(dá)到pi次循環(huán)后仍未找到滿足需求的分子時(shí)，直接選取循環(huán)過程中距離M最近的分子與之構(gòu)成分子碰撞對(duì)，這樣處理可以在盡量滿足計(jì)算精度的同時(shí)保證計(jì)算效率。

1.3 自適應(yīng)分子時(shí)間步長方法

采用DSMC方法進(jìn)行流場模擬時(shí)，需要記錄每個(gè)分子的性質(zhì)信息，包括速度、內(nèi)能、位置、所在網(wǎng)格單元以及分子組分等。經(jīng)過分析可以發(fā)現(xiàn)，如果在DSMC模擬中額外存儲(chǔ)每一個(gè)分子的時(shí)間乘數(shù)因子信息，并參照自適應(yīng)當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長的思想，利用分子速度大小和與分子所在網(wǎng)格單元相關(guān)的特征長度構(gòu)造時(shí)間乘數(shù)因子，則可以發(fā)展出一種以模擬分子為最小時(shí)間步長調(diào)整單位的自適應(yīng)分子時(shí)間步長方法，主要思想如下：

首先定義模擬分子所在網(wǎng)格單元的特征長度：

Hk,locate,ref=min(Hi,ref,λi/3)

(2)

特征長度與1.2節(jié)中的自適應(yīng)碰撞距離大小一致，同樣隨流場宏觀參數(shù)變化而改變。這樣可以保證自適應(yīng)分子時(shí)間步長方法和自適應(yīng)碰撞距離碰撞對(duì)選取方法的兼容，且適用于較疏網(wǎng)格。

調(diào)整編號(hào)為k分子的時(shí)間乘數(shù)因子Tk需要確定3個(gè)參數(shù)：最大允許時(shí)間乘數(shù)因子N，各分子初始時(shí)間乘數(shù)因子Tk,0，以及基時(shí)間步長Δt。最大允許時(shí)間乘數(shù)因子由人為設(shè)定，初始時(shí)間乘數(shù)因子設(shè)定為1，本文基時(shí)間步長選取由下式?jīng)Q定：

(3)

其中，Href為網(wǎng)格單元的等效尺寸，V∞為來流速度，V∞為來流分子碰撞頻率。

k編號(hào)分子的時(shí)間乘數(shù)因子Tk的調(diào)整方法為：

1) 保存當(dāng)前的時(shí)間乘數(shù)因子，Tk,old=Tk；

2) 由分子速度大小Vk及分子所在單元特征長度Hk,locate,ref，確定其適合的時(shí)間乘數(shù)因子Tk,id= int(Hk,locate,ref/(VkΔt))，若Tk,id

如果當(dāng)前時(shí)間步Nk,t滿足mod(Nk,t,Tk)=0，則開始處理編號(hào)為k的分子，該分子下一次運(yùn)動(dòng)和碰撞的時(shí)間步長Δtp通?？梢院唵蔚乇硎緸棣p=TkΔt，但由于分子可能在下一次被處理前已經(jīng)產(chǎn)生時(shí)間乘數(shù)因子的更新，此時(shí)Δtp≠TkΔt，因此，分子k下一次運(yùn)動(dòng)的時(shí)間步長可以表示為Δtp=[mod(Nk,t,Tk,old)+Tk,new-mod(Nk,t,Tk,new)]Δt，即為時(shí)間乘數(shù)因子調(diào)整以前剩余的運(yùn)動(dòng)時(shí)間步長mod(Nk,t,Tk,old)Δt和時(shí)間乘數(shù)因子調(diào)整以后的剩余時(shí)間步長[Tk,new-mod(Nk,t,Tk,new)]Δt之和。

DSMC方法的本質(zhì)是在近似小的時(shí)間步長內(nèi)，將分子的運(yùn)動(dòng)和分子間的碰撞進(jìn)行解耦，采用自適應(yīng)分子時(shí)間步長方法時(shí)，同一個(gè)單元內(nèi)不同編號(hào)分子的時(shí)間乘數(shù)因子不盡相同，在Nk,t時(shí)間步、i單元中只有滿足mod(Nk,t,Tk)=0的分子才進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)模擬，因此，不能直接采用NTC法對(duì)i單元中的所有分子進(jìn)行碰撞對(duì)取樣，需要作出適當(dāng)調(diào)整，本文的做法是在每個(gè)基時(shí)間步都對(duì)i單元中滿足mod(Nk,t,Tk)=0的分子進(jìn)行標(biāo)記和數(shù)目統(tǒng)計(jì)，根據(jù)滿足上述條件的分子計(jì)算碰撞數(shù)，并在其中進(jìn)行分子碰撞對(duì)選取，通過上述方式保證單元中碰撞頻率與實(shí)際一致。

2 算例驗(yàn)證1：自適應(yīng)碰撞距離碰撞對(duì)選取

采用不同網(wǎng)格尺寸下的圓柱外形對(duì)發(fā)展的自適應(yīng)碰撞距離分子碰撞對(duì)選取方法進(jìn)行了計(jì)算分析。圓柱半徑R=0.08 m，來流氣體摩爾百分比為N2∶O2=0.763∶0.237，分子數(shù)密度為n=3.84×1020/m3，來流速度7500 m/s，來流溫度為Tinf=186 K，物面溫度為Twall=1000 K，采用統(tǒng)一時(shí)間步長。

為了對(duì)自適應(yīng)碰撞距離碰撞對(duì)選取方法進(jìn)行驗(yàn)證，本文選取了兩種不同尺寸的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格進(jìn)行了計(jì)算分析：第一種為較密的網(wǎng)格(物面附近網(wǎng)格尺度為來流分子平均自由程的六分之一，遠(yuǎn)場網(wǎng)格尺度為來流分子平均自由程的三分之一)，網(wǎng)格單元數(shù)為70890；第二種為較疏的網(wǎng)格，網(wǎng)格單元數(shù)為17710。對(duì)第二種網(wǎng)格分別采用自適應(yīng)碰撞距離方法與不采用該方法兩種工況進(jìn)行了計(jì)算分析。

圖1、圖2和圖3分別給出了兩種網(wǎng)格尺寸下物面熱流、壓力以及摩阻分布，從中可以看出，17710個(gè)單元的較疏網(wǎng)格在采用自適應(yīng)碰撞距離方法后能夠得到與70890個(gè)單元的較密網(wǎng)格符合較好的物面熱流、壓力以及摩阻分布結(jié)果，不采用自適應(yīng)碰撞距離方法的較疏網(wǎng)格與較密網(wǎng)格結(jié)果吻合得相對(duì)較差，圓柱外形算例表明本文發(fā)展的自適應(yīng)碰撞距離碰撞對(duì)選取方法能夠一定程度放寬DSMC方法對(duì)網(wǎng)格尺寸的限制，在相對(duì)較疏的網(wǎng)格下取得相對(duì)令人滿意的結(jié)果。

圖1 不同網(wǎng)格下物面熱流密度分布Fig.1 Heat flux on the surface at different grid sizes

圖2 不同網(wǎng)格下物面壓力分布Fig.2 Pressure on the surface at different grid sizes

圖3 不同網(wǎng)格下物面摩阻分布Fig.3 Friction on the surface at different grid sizes

3 算例驗(yàn)證2：自適應(yīng)分子時(shí)間步長

以算例2中的圓柱外形為例，選用網(wǎng)格單元數(shù)為17710的較疏網(wǎng)格，在采用自適應(yīng)碰撞距離碰撞對(duì)選取方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)行采用自適應(yīng)分子時(shí)間步長方法和采用統(tǒng)一時(shí)間步長的對(duì)比計(jì)算，基時(shí)間步長取為2×10-7s，計(jì)算條件與算例2保持一致，流場模擬分子總數(shù)趨于穩(wěn)定后約為28萬。對(duì)比計(jì)算是在一臺(tái)配置為Intel(R) Core(TM)2 2.80GHz，2.00GBRAM的微機(jī)上進(jìn)行，運(yùn)動(dòng)和碰撞模擬共進(jìn)行100000步，流場參數(shù)統(tǒng)計(jì)進(jìn)行1000步。

圖4給出了采用不同最大時(shí)間乘數(shù)因子每執(zhí)行100步運(yùn)動(dòng)和碰撞模擬所用時(shí)間的比較，N=1表示采用統(tǒng)一時(shí)間步長。從圖4可以看出，隨著N的增大，計(jì)算時(shí)間下降較快，當(dāng)N>8時(shí)，計(jì)算時(shí)間趨于平穩(wěn)，這主要是由于局部分子碰撞頻率控制了局部分子時(shí)間步長的自適應(yīng)過程，致使計(jì)算時(shí)間不能繼續(xù)下降，該趨勢(shì)與文獻(xiàn)[7]一致。本算例中最大時(shí)間乘數(shù)因子取N=10的計(jì)算時(shí)間為3.12 h，采用統(tǒng)一時(shí)間步長的計(jì)算時(shí)間為8.92 h，加速比為2.86。因此，采用本文發(fā)展的自適應(yīng)分子時(shí)間步長方法可以顯著縮短模擬所需的計(jì)算時(shí)間。

圖4 每100步計(jì)算時(shí)間比較Fig.4 Comparison of computing time every 100 steps

圖5為采用統(tǒng)一時(shí)間步長(N=1)的結(jié)果和N=10的流場平動(dòng)溫度和壓力等值線對(duì)比圖，等值線圖按完全相同的參數(shù)繪制，從圖中可以看出，兩種方法下流場等值線幾乎完全一致。圖6為N=1和N=10的物面壓力和熱流密度的對(duì)比圖，同樣符合很好。圖5、圖6表明采用本文發(fā)展的自適應(yīng)分子時(shí)間步長方法對(duì)計(jì)算結(jié)果幾乎不產(chǎn)生影響。

圖5 不同最大時(shí)間乘數(shù)因子對(duì)流場結(jié)構(gòu)影響的比較Fig.5 Comparison of field structure with different N

(a) 壓力

(b) 熱流密度

4 結(jié) 論

本文研究了DSMC計(jì)算中的高效處理方法，在碰撞對(duì)取樣環(huán)節(jié)引入碰撞距離的思想，發(fā)展了一種自適應(yīng)碰撞距離的分子碰撞對(duì)選取方法；在時(shí)間推進(jìn)環(huán)節(jié)以模擬分子為最小時(shí)間步長調(diào)整單位，發(fā)展了一種自適應(yīng)分子時(shí)間步長方法。對(duì)圓柱外形驗(yàn)證算例的計(jì)算分析表明在DSMC計(jì)算中采用本文發(fā)展的高效處理方法能夠在相對(duì)較疏的網(wǎng)格下得到與傳統(tǒng)DSMC計(jì)算相一致的結(jié)果。本文的方法能夠一定程度放寬DSMC方法對(duì)網(wǎng)格尺寸的限制，并且能夠大幅度縮短流場達(dá)到穩(wěn)定需要的計(jì)算時(shí)間。

[1]沈青. 稀薄氣體動(dòng)力學(xué)[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2003

[2]樊菁. 稀薄氣體動(dòng)力學(xué): 進(jìn)展與應(yīng)用[J]. 力學(xué)進(jìn)展, 2013, 43(2): 185- 201

[3]Boyd I D. Computation of hypersonic flows using the direct simulation Monte Carlo method[C]//21st AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, San Diego, CA, June 24-27, 2013

[4]Qu C, Wang J F. Hybrid grid DSMC method for chemical nonequilibrium with rarefied flow heating[J]. Transactions of Nanjing

University of Aeronautics and Astronautics, 2015, 32(4): 409-414

[5]Moss J N, Glass C E, Greene F A. DSMC simulation of Apollo capsule aerodynamics for hypersonic rarefied conditions[R]. AIAA 2006-3577

[6]Kim M G, Kim H S. A parallel cell based DSMC method with dynamic load balancing using unstructured adaptive meshes[R]. AIAA 2003-1033

[7]王學(xué)德. 高超聲速稀薄氣流非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格DSMC及并行算法研究[D]. 南京: 南京航空航天大學(xué), 2006

[8]Matthias L. Optimization and parallelization of the DSMC method on unstructured grids[R]. AIAA 97-2512, 1997

[9]Lebeau G J, Boyles K A, Lumpkin F E. Virtual sub-cells for the direct simulation Monte Carlo method[R]. AIAA 2003-1031

[10]黃飛, 陳智, 程曉麗, 等. 一種基于自適應(yīng)碰撞距離的DSMC虛擬子網(wǎng)格方法[J]. 空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 32(4): 506-510

[11]Matthias L. Local time stepping with automatic adaptation for the DSMC method[R]. AIAA-98-2670, 1998

[12]朱榮麗. 過渡區(qū)DSMC數(shù)值模擬的一種自適應(yīng)當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長新方法[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2008, 29(4): 1142-1146

[13]Gallis M A, Torczynski J R, Rader D J, et al. Convergence behavior of a new DSMC algorithm[J]. Journal of Computational Physics, 2009, 228: 4532- 4548

[14]Bird G A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flow[M]. Oxford: Clarendon Press, 1994

[15]陳偉芳, 吳明巧, 趙玉新, 等. 超聲速平板繞流DSMC/EPSM混合算法研究[J]. 空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào), 2002, 20(4): 441-445.