宋文斌, 李 響, 王曉鵬, 左英桃(. 北京理工大學(xué), 北京 0008; . 上海機(jī)電工程研究所, 上海 00;. 西北工業(yè)大學(xué), 陜西 西安 7007)

0 引 言

機(jī)載導(dǎo)彈能否從載機(jī)上安全、平穩(wěn)地分離影響到載機(jī)的安全與導(dǎo)彈后續(xù)作戰(zhàn)任務(wù)的順利完成[1-2]，文獻(xiàn)[3-6]中研究指出，在分離過(guò)程中加入舵面控制可以有效地改善分離特性?，F(xiàn)有的機(jī)載導(dǎo)彈分離研究中，重點(diǎn)是發(fā)展基于高精度CFD方法(如動(dòng)態(tài)嵌套網(wǎng)格技術(shù)等)的分離軌跡仿真技術(shù)[7]。

本文探討的分離軌跡優(yōu)化問(wèn)題不同于單次的分離軌跡數(shù)值模擬，由于軌跡優(yōu)化是一個(gè)迭代過(guò)程，在迭代過(guò)程中嵌套CFD計(jì)算的計(jì)算量太大。目前的軌跡優(yōu)化一般采用參數(shù)化氣動(dòng)模型[8]，即有足夠精度的解析氣動(dòng)系數(shù)表達(dá)式，因此，構(gòu)建起一個(gè)有足夠精度的分離過(guò)程中的導(dǎo)彈參數(shù)化氣動(dòng)模型是進(jìn)行分離軌跡優(yōu)化的前提。相對(duì)于CFD嵌套仿真技術(shù)與柵格化的氣動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)，參數(shù)化氣動(dòng)模型更加方便直觀，便于敏感性分析和分離過(guò)程中導(dǎo)彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。自由流條件下的飛行器氣動(dòng)建模技術(shù)相對(duì)比較成熟[9-11]，而機(jī)-彈分離過(guò)程中導(dǎo)彈氣動(dòng)力系數(shù)和力矩系數(shù)除了與迎角、側(cè)滑角有關(guān)外，還與導(dǎo)彈相對(duì)載機(jī)的空間位置和姿態(tài)相關(guān)，其氣動(dòng)建模問(wèn)題更加復(fù)雜，相關(guān)文獻(xiàn)十分有限。

本文采用“自由流模型+擾動(dòng)量模型”的方法建立起了分離過(guò)程中導(dǎo)彈參數(shù)化氣動(dòng)模型，在此基礎(chǔ)上，考慮分離過(guò)程的安全性、平穩(wěn)性與分離終端時(shí)刻姿態(tài)穩(wěn)定性，構(gòu)建了縱向平面內(nèi)最優(yōu)分離軌跡的最優(yōu)控制問(wèn)題[12]。以升降舵偏角為控制量，通過(guò)高斯偽譜法(Gauss Pseudospectral Method，GPM)[13-14]求解了該縱向平面內(nèi)的分離軌跡優(yōu)化問(wèn)題，得到了縱向平面內(nèi)的最優(yōu)分離軌跡。對(duì)結(jié)果的分析表明，優(yōu)化后得到的分離軌跡確保了分離過(guò)程的安全平穩(wěn)。

1 分離過(guò)程中導(dǎo)彈氣動(dòng)系數(shù)參數(shù)化模型

1.1 模型概述

針對(duì)機(jī)-彈分離過(guò)程，文獻(xiàn)[1]中提出了“自由流模型+擾動(dòng)量模型”的氣動(dòng)模型，即分離過(guò)程中，導(dǎo)彈氣動(dòng)系數(shù)可視為自由流場(chǎng)中氣動(dòng)系數(shù)與受載機(jī)影響下氣動(dòng)系數(shù)擾動(dòng)量的疊加，表述如下：

C=CU(MaM,αM,βM,δ)+ΔCNU(rM/A,ΩM/A)

(1)

其中，CU表示自由流條件下的導(dǎo)彈氣動(dòng)系數(shù)，是導(dǎo)彈迎角αM、側(cè)滑角βM、馬赫數(shù)MaM和舵偏角δ的函數(shù)，ΔCNU表示載機(jī)干擾下的導(dǎo)彈氣動(dòng)系數(shù)擾動(dòng)量，是導(dǎo)彈與載機(jī)的相對(duì)位置rM/A和相對(duì)姿態(tài)ΩM/A的函數(shù)。

本文討論導(dǎo)彈在載機(jī)的縱向?qū)ΨQ(chēng)面x-z平面(歐美坐標(biāo)系)內(nèi)分離的情況，假設(shè)分離過(guò)程中載機(jī)定態(tài)飛行且導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)通道穩(wěn)定。由于分離過(guò)程時(shí)間很短，故可以認(rèn)為MaM不變。以往的研究表明，相對(duì)于縱向相對(duì)位置x和橫向相對(duì)位置y，垂向相對(duì)位置z為氣動(dòng)干擾的主要影響因素[15]。在以上假設(shè)條件下，ΔCNU可簡(jiǎn)化為導(dǎo)彈俯仰角?、偏航角ψ和z的函數(shù)，如式(2)所示。

C=CU(α,β,δ)+ΔCNU(z,?,ψ)

(2)

1.2 CU的參數(shù)化模型

自由流場(chǎng)中，CU模型一般為以α和β為變量的多項(xiàng)式回歸模型，如下所示：

CU(α,β) =c1ξ1(α,β)+…+ciξi(α,β)+…

(3)

1.3 ΔCNU的參數(shù)化模型

(4)

其中，ξj為模型中第j個(gè)多項(xiàng)式回歸項(xiàng)；cij為zi處模型的第j項(xiàng)ξj對(duì)應(yīng)的系數(shù)；n為多項(xiàng)式回歸項(xiàng)的個(gè)數(shù)。

由式(4)知，不同z值處的模型中，同一回歸項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)不同，這些系數(shù)(c1j,c2j,…,chj)分別對(duì)應(yīng)著垂向距離(z1,z2,…,zh),因此，可以將其看作是距離z的函數(shù)，記為fj(z)。

分離過(guò)程中，隨著距離z的增加，載機(jī)對(duì)導(dǎo)彈的干擾作用會(huì)趨近于0，即存在如下邊界條件：

(5)

當(dāng)機(jī)-彈分離的馬赫數(shù)超過(guò)1時(shí)，由于激波等因素的影響，導(dǎo)彈的ΔCNU并不是隨z單調(diào)下降，而是會(huì)經(jīng)過(guò)波動(dòng)再趨向于0[1]，綜合以上兩點(diǎn)，采用如下的函數(shù)形式：

fj(z)=e-φz(η0+η1z+η2z2+…+ηszs)

(6)

其中的e-φz項(xiàng)可以保證滿(mǎn)足邊界條件，(η0+η1z+η2z2+…+ηszs)項(xiàng)可以描述過(guò)程中的波動(dòng)規(guī)律。本文中取s=3。而φ與ηi則是待估計(jì)的參數(shù)。至此，可以將ΔCNU模型表示如下：

ΔCNU(z,?,ψ) =f1(z)ξ1(?,ψ)+…+fj(z)ξj(?,ψ)

+…+fn(z)ξn(?,ψ)

(7)

2 模型的參數(shù)估計(jì)

上節(jié)中給出了分離過(guò)程中導(dǎo)彈氣動(dòng)系數(shù)的參數(shù)化表達(dá)形式，如式(3)和式(7)。采用多元正交函數(shù)最小二乘法可以確定式(3)和式(4)中的模型結(jié)構(gòu)及對(duì)應(yīng)的系數(shù)。在常規(guī)的最小二乘法中，存在回歸項(xiàng)線性相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)，從而造成矩陣病態(tài)，導(dǎo)致求解困難，而多元正交函數(shù)最小二乘法較好地解決了這一問(wèn)題。式(6)中各待定參數(shù)的值的求解方法如下。

將φ與η(η=[η0,…,ηm])視為優(yōu)化變量，可以構(gòu)造如下的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題：

s.t.φmin≤φ≤φmax

ηmin≤η≤ηmax

(8)

文中采用“遺傳算法+序列二次規(guī)劃算法”的混合優(yōu)化方法對(duì)該參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，完成fj(z)的參數(shù)估計(jì)。

3 縱向平面內(nèi)的分離軌跡優(yōu)化問(wèn)題

在得到氣動(dòng)系數(shù)參數(shù)化模型后，可以構(gòu)建縱向平面內(nèi)的分離軌跡優(yōu)化問(wèn)題。機(jī)載導(dǎo)彈分離過(guò)程中，為了避免導(dǎo)彈與載機(jī)相撞，一般認(rèn)為導(dǎo)彈越快速地遠(yuǎn)離載機(jī)越好，而迎角為負(fù)的情況下升力向下，氣動(dòng)力促使導(dǎo)彈遠(yuǎn)離載機(jī)，因此選取迎角的積分來(lái)表征導(dǎo)彈遠(yuǎn)離載機(jī)的快速性，從而保證分離過(guò)程的安全；又考慮到分離過(guò)程結(jié)束后導(dǎo)彈能順利地完成后續(xù)作戰(zhàn)任務(wù)，對(duì)分離過(guò)程結(jié)束時(shí)的導(dǎo)彈迎角和俯仰角速度提出了要求，采用了如下加權(quán)形式的目標(biāo)函數(shù)[12]：

(9)

考慮到導(dǎo)彈在分離過(guò)程中的姿態(tài)穩(wěn)定性與舵偏限制，提出如下路徑約束與控制約束：

αmin≤α≤αmax?min≤?≤?max

ωymin≤ωy≤ωymaxδymin≤δy≤δymax

(10)

采用GPM方法將該分離軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn)題，并通過(guò)序列二次規(guī)劃算法求解。

4 數(shù)值算例

以某型導(dǎo)彈在載機(jī)縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)彈射分離過(guò)程為研究對(duì)象，進(jìn)行導(dǎo)彈的氣動(dòng)系數(shù)參數(shù)化建模和軌跡優(yōu)化。分離時(shí)載機(jī)以1.5Ma平飛，以升力cz為例說(shuō)明建模過(guò)程。

4.1 氣動(dòng)系數(shù)的參數(shù)化建模

4.1.1CU的參數(shù)化建模

采用多元正交函數(shù)最小二乘法完成CU的參數(shù)化建模。以升力系數(shù)cz為例，得到的czU如下：

czU=0.002455α2+0.1518α

(11)

將式(11)得到的數(shù)據(jù)與CFD源數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如圖1和圖2所示(圖中實(shí)線代表參數(shù)化氣動(dòng)模型擬合值，符號(hào)‘°’代表對(duì)應(yīng)的CFD源數(shù)據(jù))，可以看出，模型(11)有較好的擬合精度，且表達(dá)式較為精簡(jiǎn)，避免了過(guò)擬合。

圖1 參數(shù)化模型得到的czU數(shù)據(jù)與CFD源數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.1 Comparison of czU data resultingfrom parametric model with CFD data

圖2 參數(shù)化模型得到的myU與CFD源數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.2 Comparison of myU data resulting from parametric model with CFD data

4.1.2 ΔCNU的參數(shù)化建模

采用前述方法，得到ΔCNU的表達(dá)式如下：

ΔczNU=exp-0.55z(0.27-0.24z+0.18z2-0.071z3)

+exp-0.54z(0.011-0.059z+0.037z2-0.0065z3)?

+exp-2.3z(-0.033-0.14z+0.22z2-0.31z3)ψ

+exp-0.41z(-0.0049-0.0051z-0.00012z2)?ψ

+exp-0.35z(-0.0021-0.00073z+0.00010z2)?2

+exp-2.2z(-0.0061+0.053z-0.081z2+0.051z3)?ψ2

+exp-1.5z(0.0024-0.011z+0.020z2-0.0068z3)ψ2

(12)

圖3和圖4顯示了模型預(yù)測(cè)值與CFD源數(shù)據(jù)的對(duì)比(圖中實(shí)線代表參數(shù)化氣動(dòng)模型值，符號(hào)‘°’代表CFD源數(shù)據(jù))，可以看出，所得氣動(dòng)系數(shù)模型有較高的精度。

圖3 參數(shù)化模型得到的ΔczNU與CFD源數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.3 Comparison of ΔczNU data resultingfrom parametric model with CFD data

圖4 參數(shù)化模型得到的ΔmyNU數(shù)據(jù)與CFD源數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.4 Comparison of ΔmyNU data resulting from parametric model with CFD data

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所采用的模型及其求解方法的正確性，將參數(shù)化模型預(yù)測(cè)值與馬赫數(shù)1.5下的兩組CTS(Captive trajectory system)風(fēng)洞實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比，如圖5和圖6所示(實(shí)線代表參數(shù)化氣動(dòng)模型擬合值的連線，符號(hào)‘°’代表采樣點(diǎn)上的CTS實(shí)驗(yàn)風(fēng)洞數(shù)據(jù))?？梢钥闯?，模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際風(fēng)洞數(shù)據(jù)基本吻合。其中ΔczNU模型對(duì)CTS1與CTS2預(yù)測(cè)的最大相對(duì)誤差分別為4.58%和2.06%，ΔmyNU模型對(duì)于CTS1與CTS2預(yù)測(cè)的最大相對(duì)誤差分別為8.43%和9.51%，均在可接受的范圍內(nèi)，說(shuō)明文中方法得到的ΔCNU可以較好地反應(yīng)載機(jī)對(duì)于導(dǎo)彈的氣動(dòng)干擾規(guī)律。

圖5 參數(shù)化模型得到的ΔczNU數(shù)據(jù)與CTS實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.5 Comparison of ΔczNU data resultingfrom parametric model with CTS experiment data

圖6 參數(shù)化模型得到的ΔmyNU數(shù)據(jù)與CTS實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.6 Comparison of ΔmyNU data resulting from parametric model with CTS experiment data

4.2 縱向平面內(nèi)分離軌跡優(yōu)化

根據(jù)前文中得到的參數(shù)化氣動(dòng)模型，采用GPM方法求解縱向平面內(nèi)分離軌跡優(yōu)化問(wèn)題。參考相關(guān)文獻(xiàn)[12]，給出狀態(tài)初值。取升降舵偏角為控制變量，采用GPM求解該分離彈道的優(yōu)化問(wèn)題，可以得到最優(yōu)開(kāi)環(huán)控制規(guī)律，如圖7所示。將得到的最優(yōu)開(kāi)環(huán)控制規(guī)律帶入到運(yùn)動(dòng)方程中，采用四階龍格庫(kù)塔法求解微分方程組，得到對(duì)應(yīng)的狀態(tài)量，將其與軌跡優(yōu)化得到的狀態(tài)量變化規(guī)律繪制在圖8中。

如圖8所示，導(dǎo)彈俯仰角變化平穩(wěn)，避免了由于姿態(tài)不穩(wěn)定而造成的碰撞；分離末端時(shí)刻的俯仰角速度與迎角均為0，從而使導(dǎo)彈有一個(gè)較好的起始點(diǎn)火狀態(tài)；導(dǎo)彈迎角始終為負(fù)值，保證了導(dǎo)彈所受的氣動(dòng)力始終向下，從而可使導(dǎo)彈快速地遠(yuǎn)離載機(jī)，保證了分離過(guò)程的安全性。

圖7 最優(yōu)開(kāi)環(huán)控制規(guī)律Fig.7 Open-loop optimal control law

(a) 速度

(b) 彈道傾角

(c) 俯仰角速度

(d) 垂向位置

(e) 迎角

(f) 俯仰角

5 結(jié) 論

1) 參數(shù)化的“自由流模型+干擾模型”能較好地反映出機(jī)-彈分離過(guò)程中導(dǎo)彈氣動(dòng)系數(shù)的變化規(guī)律，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

2) 通過(guò)基于參數(shù)化氣動(dòng)模型的分離軌跡優(yōu)化，能夠得到一條安全、平穩(wěn)的分離軌跡，為導(dǎo)彈后續(xù)作戰(zhàn)任務(wù)的完成打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

3) 本文考慮的是一個(gè)開(kāi)環(huán)的最優(yōu)控制問(wèn)題，在初始條件存在偏差的情況下，開(kāi)環(huán)最優(yōu)控制規(guī)律將不再適用，考慮初始條件擾動(dòng)的閉環(huán)控制器設(shè)計(jì)將是后續(xù)的主要工作。

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