陳泓熹
【摘要】高中數(shù)學是我們學習的主要學科之一,提升數(shù)學學習水平的重要途徑,一方面,是掌握數(shù)學公式和基礎知識,另一方面,則在于數(shù)學解題思維的培養(yǎng).本文主要分析了構(gòu)造法在數(shù)學解題中的應用,并通過例題的方式對實際應用進行了解析,目的在于提高我們高中學生數(shù)學綜合素質(zhì).
【關鍵詞】高中;數(shù)學;解題;構(gòu)造法
數(shù)學是高中階段的一門基礎學科,隨著學段的不斷增加,數(shù)學難度也越來越高,所以解題難則是我們高中生一直以來面臨的問題.基于此,構(gòu)造法便在高中數(shù)學解題中得以普遍運用.利用構(gòu)造法,可以使抽象的數(shù)學問題形象化,降低數(shù)學問題的難度,調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性,樹立自信心.下文便以構(gòu)造法為前提,分析其在數(shù)學解題中的具體應用.
一、構(gòu)造法概述
(一)構(gòu)造法
構(gòu)造法即根據(jù)已知數(shù)學解題形式,利用一定的解題步驟進行數(shù)學問題求解的方法[1].一般學生在求解問題時,都將會形成思維定式,善于從正面思考問題,按照問題中的已知條件逐步推出答案,但是這一方法并不是適用于所有的問題,所以需要更換思維方向才能夠順利完成解題,而構(gòu)造法的應用,便能夠滿足以上要求.
(二)數(shù)學構(gòu)造法
數(shù)學構(gòu)造法即數(shù)學學習以及解題過程中,所使用的重要方法,學生在求解數(shù)學問題的過程中,若一直按照以往的思維方法無法獲得答案,便需要更換思考方向,利用反向思維發(fā)現(xiàn)問題中已知條件、數(shù)量等,突破正向思維的限制,建立一個全新的問題形式,從而將問題重新展現(xiàn)出來,進而達到降低數(shù)學問題難度的目的[2].數(shù)學構(gòu)造法在數(shù)學解題中的應用非常普遍,其本身也體現(xiàn)了多樣化、靈活以及創(chuàng)新等優(yōu)勢.和傳統(tǒng)數(shù)學思維不同之處在于,數(shù)學構(gòu)造法應用的重點體現(xiàn)在“創(chuàng)新”.
二、高中數(shù)學解題中構(gòu)造法的運用
進行數(shù)學問題求解時,構(gòu)造法已經(jīng)得到了學生普遍的應用,在應用的過程中,最為經(jīng)典的便是構(gòu)造輔助函數(shù)法、構(gòu)造方程法等.
(一)方程構(gòu)造法
所謂方程構(gòu)造法,是高中數(shù)學習題求解過程中使用效率最高的構(gòu)造法之一.方程式對高中生而言十分常見,且方程本身作為數(shù)學的一項關鍵內(nèi)容,也和函數(shù)等其他知識關聯(lián)非常緊密.通過題型、已知數(shù)量關系以及結(jié)構(gòu)特點,假設建立等量性公式,對幾個不同的未知量存在的相互聯(lián)系和方程式等量關系進行分析,并使用恒等式多角度變形這一方法,使數(shù)學習題內(nèi)所包含的抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥狻嵸|(zhì)的內(nèi)容,以提高學生數(shù)學解題的速度與質(zhì)量.此外,運用方程構(gòu)造法求解數(shù)學習題,也能夠有效提高學生的觀察能力和思維能力.
例1 設a,b,c為實數(shù),若(a+c)(a+b+c)<0,證明(b-c)2>4a(a+b+c).
解析 所證不等式(b-c)2-4a(a+b+c)>0,由此可聯(lián)想到一元二次方程根的判別式,即b2-4ac,由此便可以構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=ax2+(b-c)x+(a+b+c),只需要證明方程f(x)=0有兩根,或者是f(x)和x軸相交即可.
當a=0時,由已知條件可得b≠c,反之,若b=c,那么c(b+c)<02b2<0則不成立.當a≠0時,設f(x)=ax2+(b-c)x+(a+b+c),因為f(0)=a+b+c,f(-1)=2(a+c),由已知(a+c)(a+b+c)<0,所以,f(0)·f(-1)<0,所以二次函數(shù)f(x)圖像和x軸相交,所以Δ=(b-c)2-4a(a+b+c)>0,即(b-c)2>4a(a+b+c).
由此可知,通過方程構(gòu)造法進行高中數(shù)學習題求解,可以降低數(shù)學題的難度,提高學生思維能力與觀察能力,實現(xiàn)數(shù)學學習水平的提升.
(二)函數(shù)構(gòu)造法
函數(shù)是高中數(shù)學領域內(nèi)的一項重要內(nèi)容,并且和方程一起構(gòu)成了高中數(shù)學兩大基礎性結(jié)構(gòu).通過函數(shù)構(gòu)造法求解數(shù)學習題,可以有效培養(yǎng)學生解題思維,使學生將學習到的知識運用到實際解題中[3].學生除了要學會解題技巧之外,也要培養(yǎng)解題思維,這是數(shù)學習題求解過程的主線.所有的數(shù)學習題中,代數(shù)習題與幾何習題都包含了函數(shù)思想,因此,對這些這類題目進行求解時,便可以運用函數(shù)構(gòu)造法,將難度大的數(shù)學問題轉(zhuǎn)變成為比較簡單的函數(shù)問題,再對其進行求解,在轉(zhuǎn)化的過程中,學生思維與創(chuàng)新性也得到了提升.
例2 已知x,y,z∈(0,1),求證:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
解析 通過分析可知,本題的條件和結(jié)論都體現(xiàn)了對稱性,所以很難直接證明,可以采用函數(shù)構(gòu)造法進行求解.
證明 構(gòu)造函數(shù)f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1).(是否需要詳細說明,最好用分析法證明不等式的思想)
∵y,z∈(0,1),
∴f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)>0,f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz>0,而f(x)是一次函數(shù),其圖像是直線.
∴由x∈(0,1)恒有f(x)>0,即(y+z-1)x+(yz-y-z+1)>0,整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
三、結(jié)束語
綜上所述,構(gòu)造法在高中數(shù)學解題中的應用,既能夠降低習題難度,改變數(shù)學題的抽象特點,也可以培養(yǎng)學生的數(shù)學思維、創(chuàng)新能力,使學生的數(shù)學學習能力得到提升,為今后數(shù)學知識的學習以及習題的求解奠定了扎實的基礎.
【參考文獻】
[1]張帆.淺談在高中數(shù)學解題教學中如何巧用構(gòu)造法[J].科技資訊,2011(12):175.
[2]任海莉.淺談構(gòu)造法在數(shù)學解題中的優(yōu)點和作用[J].科技資訊,2011(33):166.
[3]楊燕.淺析構(gòu)造法在高中數(shù)學解題中的應用[J].讀與寫(教育教學刊),2016(9):112.