李 陽(yáng)，劉佩進(jìn)，金秉寧

(西北工業(yè)大學(xué) 燃燒、熱結(jié)構(gòu)與內(nèi)流場(chǎng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

0 引言

國(guó)內(nèi)外大型分段固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)經(jīng)常出現(xiàn)低頻率的壓強(qiáng)振蕩現(xiàn)象[1-4]。研究發(fā)現(xiàn)，大部分的壓強(qiáng)振蕩都是由于周期性渦脫落所引起的[5]。由于對(duì)渦脫落自身形成和發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識(shí)不足，且對(duì)渦脫落與發(fā)動(dòng)機(jī)聲場(chǎng)之間相互作用的研究不足，目前工程上還沒(méi)有實(shí)用方法預(yù)示渦脫落和壓強(qiáng)振蕩。渦脫落與聲場(chǎng)的耦合可利用高精度CFD模擬[6]，但由于發(fā)動(dòng)機(jī)幾何尺寸大，工作時(shí)間長(zhǎng)，對(duì)每一時(shí)刻的工作狀態(tài)進(jìn)行CFD計(jì)算并不現(xiàn)實(shí)。從流動(dòng)穩(wěn)定性理論出發(fā)，對(duì)渦脫落與聲場(chǎng)耦合的機(jī)理進(jìn)行研究，獲得流動(dòng)穩(wěn)定特征以及演化規(guī)律，是當(dāng)前學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)[7]。

Flandro利用流動(dòng)穩(wěn)定性理論和能量平衡方法，建立了固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)的渦聲耦合模型，在動(dòng)量方程中引入局部體積力來(lái)描述渦的反饋效果，計(jì)算了由渦脫落產(chǎn)生的能量增長(zhǎng)指數(shù)[8]。而Vuillot將Flandro的方法用到實(shí)驗(yàn)發(fā)動(dòng)機(jī)C1x的設(shè)計(jì)過(guò)程中時(shí)，發(fā)現(xiàn)局部體積力的引入具有較大的任意性，計(jì)算結(jié)果敏感地依賴渦從下游撞擊點(diǎn)到剪切層原點(diǎn)的距離(此距離并非確定值，且有一定估計(jì)偏差)。因此，結(jié)果的可靠性不足[9]。Griffond采用局部非平行方法，計(jì)算了特定工況下Taylor-Culick流的穩(wěn)定性，并與Dunlap[10]的冷流實(shí)驗(yàn)做了比較，得到了兩個(gè)特定工況下的不穩(wěn)定模態(tài)。但中性曲線的分析僅描述了特定工況下方程解的分布，并不適合描述物理過(guò)程[11]。Akiki研究可壓縮Taylor平面流的穩(wěn)定性時(shí)，數(shù)值方法與解析方法分別計(jì)算得到的幅值出現(xiàn)偏差，他認(rèn)為是解析方法把有旋量和無(wú)旋量分開(kāi)的求解過(guò)程造成的[12]。但Chedevergne發(fā)現(xiàn)解析方法得到的流動(dòng)穩(wěn)定性模態(tài)可疊加，并能準(zhǔn)確地重現(xiàn)DNS結(jié)果。因此，Akiki的解釋并不令人信服[13]。楊尚榮[6]應(yīng)用局部非平行理論，分析了由主變量公式和流函數(shù)公式導(dǎo)出的擾動(dòng)方程的差異，發(fā)現(xiàn)在不發(fā)生共振的情況下，理論方法可預(yù)估發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)的流動(dòng)不穩(wěn)定頻率，但并未討論理論方法在火箭發(fā)動(dòng)機(jī)流動(dòng)穩(wěn)定性預(yù)估計(jì)算中的實(shí)際應(yīng)用。

本文利用譜配置方法，對(duì)不同結(jié)構(gòu)及工況下的Taylor-Culick流進(jìn)行分析，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)、流動(dòng)擾動(dòng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響。本文討論了對(duì)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行穩(wěn)定性預(yù)估時(shí)，側(cè)向注入雷諾數(shù)、長(zhǎng)徑比、頻率、環(huán)向波數(shù)與空間穩(wěn)定性的相互關(guān)系，得到了不穩(wěn)定模態(tài)的變化規(guī)律。

1 控制方程與求解方法

本文研究的徑向加質(zhì)Taylor-Culick流模型，是固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室前部?jī)?nèi)流場(chǎng)的一種簡(jiǎn)化模型，模型中不包含噴管附近的高馬赫數(shù)流動(dòng)部分，幾何構(gòu)型與坐標(biāo)如圖1所示。固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)前部的燃燒室，流動(dòng)馬赫數(shù)小于0.3，適合采用不可壓流體控制方程。

利用歸一化參考量(半徑R、徑向加質(zhì)速度Vinj、密度ρ*、運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)υ)對(duì)不可壓粘性流體N-S方程進(jìn)行無(wú)量綱化。將歸一化N-S方程中的瞬時(shí)變量分解為平均量和擾動(dòng)量之和，得到關(guān)于擾動(dòng)量的方程：

▽·u′=0

(1)

平均量作為基本流可以求出解析解：

(2)

利用分離變量法，假設(shè)擾動(dòng)量為簡(jiǎn)正模態(tài)形式：

=(ur,uθ,uz,p)(r)ei(mθ+αz-ωt)

(3)

其中，ω為實(shí)數(shù)，代表無(wú)量綱擾動(dòng)頻率；α=αr-iαi為復(fù)數(shù)，實(shí)部αr為軸向擾動(dòng)波數(shù)，負(fù)虛部-αi為軸向擾動(dòng)增長(zhǎng)率。m為正整數(shù)，代表環(huán)向波數(shù)。進(jìn)行空間穩(wěn)定性分析時(shí)，給定頻率ω和環(huán)向波數(shù)m，利用譜配置方法可求得任意軸向位置z處的增長(zhǎng)率-αi和波數(shù)αr。

將簡(jiǎn)正形式的擾動(dòng)量代入擾動(dòng)方程，可化為如下關(guān)于α的多項(xiàng)式的特征值問(wèn)題：

(4)

Taylor-Culick流的邊界條件為壁面上和對(duì)稱軸上的速度邊界條件：頭部壁面速度為零、側(cè)壁上注入速度為常數(shù)、側(cè)壁上軸向速度無(wú)滑移以及對(duì)稱軸上的徑向速度對(duì)稱條件。利用擾動(dòng)量表示物理邊界條件，得到擾動(dòng)方程的齊次邊界條件。利用擾動(dòng)方程，還可得到壓力邊界條件。

(ur，uθ，uz)(±1)=0,Dp(±1)=0

(5)

利用譜配置方法，選擇切比雪夫多項(xiàng)式Tk(x)=cos(karccos(x))進(jìn)行空間離散；配置點(diǎn)選擇Gauss-Lobatto積分點(diǎn)：

(6)

權(quán)函數(shù)α(x)=1。通過(guò)MatLab編程計(jì)算得到相應(yīng)結(jié)果[14-15]。

2 計(jì)算結(jié)果與討論

2.1 計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

作為驗(yàn)證，計(jì)算了長(zhǎng)徑比z=10，側(cè)向注入雷諾數(shù)Re=4500，頻率ω=80，環(huán)向波數(shù)m=0下的軸向波數(shù)、軸向增長(zhǎng)率與不穩(wěn)定模態(tài)，得到的特征譜如圖2所示。圖2中，兩個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn)即為兩個(gè)不穩(wěn)定模態(tài)，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為軸向波數(shù)、縱坐標(biāo)為軸向增長(zhǎng)率。Griffond通過(guò)設(shè)定初值，并利用泰勒展開(kāi)的牛頓-拉夫森迭代法計(jì)算了相應(yīng)結(jié)果，其定性分析與dunlop實(shí)驗(yàn)結(jié)果[10]沒(méi)有矛盾。本文結(jié)果與Griffond的結(jié)果[11]比較，如表1所示。

本文所得結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果基本吻合，可驗(yàn)證本文所用方法可行。

利用譜方法計(jì)算的結(jié)果，通過(guò)側(cè)向注入雷諾數(shù)Re、長(zhǎng)徑比z、頻率ω及環(huán)向波數(shù)m的變化與軸向波數(shù)的關(guān)系，來(lái)討論流動(dòng)不穩(wěn)定現(xiàn)象。計(jì)算結(jié)果基于歸一化擾動(dòng)方程，量綱為1，對(duì)于不同的物理構(gòu)型及物理量，可換算成真實(shí)數(shù)值。定性分析利用無(wú)量綱參變量代替物理數(shù)值。

模態(tài)Griffond的結(jié)果[11]本文結(jié)果誤差/‰16．09529456566．09529597-1．0787998140-1．078801377<123．32642853663．326428826-0．1095525589-0．1095526851<1

2.2 側(cè)向注入雷諾數(shù)的影響

側(cè)向注入雷諾數(shù)定義為Re=RVinj/υ，其中R為圓管半徑，不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)為常數(shù)。不可壓縮流體的密度為常數(shù)，動(dòng)力粘度確定后，運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)也隨之確定。由定義可知，當(dāng)圓管半徑一定時(shí)，加質(zhì)速度越大，側(cè)向注入雷諾數(shù)越大。因此，側(cè)向注入雷諾數(shù)的變化反映了徑向加質(zhì)速度變化對(duì)流動(dòng)不穩(wěn)定的影響。

在不同側(cè)向注入雷諾數(shù)下，流動(dòng)會(huì)產(chǎn)生不同的狀態(tài)。低側(cè)向注入雷諾數(shù)不易出現(xiàn)不穩(wěn)定情況，隨著側(cè)向注入雷諾數(shù)增大產(chǎn)生的不穩(wěn)定模態(tài)增多(對(duì)于圖3中情況，對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定模態(tài)增加的側(cè)向注入雷諾數(shù)臨界值約為100、750)。不同的不穩(wěn)定點(diǎn)隨側(cè)向注入雷諾數(shù)變化的趨勢(shì)并不相同。不穩(wěn)定點(diǎn)1是最早出現(xiàn)的對(duì)應(yīng)于小側(cè)向注入雷諾數(shù)的波動(dòng)，隨著側(cè)向注入雷諾數(shù)增大，其軸向波數(shù)及波動(dòng)增長(zhǎng)率都是不斷增大的，側(cè)向注入雷諾數(shù)在1500以內(nèi)時(shí)，頻率和增長(zhǎng)率增幅較大，而隨后增幅趨緩，并逐漸趨近于有限值。這種現(xiàn)象符合物理規(guī)律，不穩(wěn)定波動(dòng)并不是無(wú)限增大的。不穩(wěn)定點(diǎn)2點(diǎn)對(duì)應(yīng)于中側(cè)向注入雷諾數(shù)波動(dòng)，此點(diǎn)在側(cè)向注入雷諾數(shù)達(dá)到一定程度時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，軸向增長(zhǎng)率逐漸增大，并趨近于有限值，而軸向波數(shù)逐漸減小逐漸由高頻變?yōu)榈皖l。所以，隨著側(cè)向注入雷諾數(shù)的增加，高低頻不穩(wěn)定模態(tài)會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)換。這意味著某些工作狀態(tài)下(如側(cè)向加質(zhì)雷諾數(shù)的變化過(guò)程中對(duì)應(yīng)的波動(dòng)頻率正好跨過(guò)某一階聲腔頻率)，更易引發(fā)流動(dòng)不穩(wěn)定。

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)是大雷諾數(shù)流動(dòng)，一般在103量級(jí)，上文討論范圍選取0～7000，僅為全面反映TC流模型側(cè)向加質(zhì)雷諾數(shù)的影響，固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的討論限定在圖3中大側(cè)向加質(zhì)雷諾數(shù)的部分。

2.3 長(zhǎng)徑比的影響

對(duì)于本文所述模型，長(zhǎng)徑比是固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)燃?xì)饬鲃?dòng)空腔的物理表征。固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)長(zhǎng)徑比超過(guò)10稱為大長(zhǎng)徑比發(fā)動(dòng)機(jī)，但一般不會(huì)超過(guò)15。為直觀地反映長(zhǎng)徑比變化引起不穩(wěn)定性變化的趨勢(shì)、描述流動(dòng)不穩(wěn)定的物理現(xiàn)象，本文選取長(zhǎng)徑比范圍0～15。圖4為長(zhǎng)徑比的變化對(duì)特征值的影響，反映了物理構(gòu)型與流動(dòng)穩(wěn)定性的關(guān)系。

由圖4可看出，當(dāng)長(zhǎng)徑比增加，特征值有兩段變化趨勢(shì)。當(dāng)長(zhǎng)徑比小于3.5時(shí)，隨著長(zhǎng)徑比的增加，軸向波數(shù)急劇下降，而軸向增長(zhǎng)率急劇增長(zhǎng)；當(dāng)長(zhǎng)徑比大于3.5時(shí)，軸向波數(shù)及增長(zhǎng)率都隨著長(zhǎng)徑比的增加而緩慢降低。這與物理現(xiàn)象是內(nèi)在一致的，當(dāng)長(zhǎng)徑比小于3.5時(shí)，均勻流場(chǎng)流線曲率大，加質(zhì)注入的速度激勵(lì)及速度方向的改變對(duì)不穩(wěn)定的增長(zhǎng)作用很大；當(dāng)長(zhǎng)徑比大于3.5時(shí)，均勻流場(chǎng)流線近似平行于軸向，表現(xiàn)為均勻流場(chǎng)對(duì)軸向不穩(wěn)定的阻尼增強(qiáng)，軸向增長(zhǎng)率以指數(shù)形式變化，并趨于穩(wěn)定值。

在發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)中，除了要避開(kāi)聲共振的固有頻率外，還要注意構(gòu)型對(duì)流動(dòng)不穩(wěn)定的影響，特別要注意長(zhǎng)徑比為3.5的構(gòu)型。此時(shí)，擾動(dòng)的放大效果最強(qiáng)，較小的擾動(dòng)便可產(chǎn)生較大幅度的振動(dòng)，不利于發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作。長(zhǎng)徑比對(duì)不穩(wěn)定性的影響體現(xiàn)在對(duì)擾動(dòng)的放大效果上，并不意味著長(zhǎng)徑比為3.5時(shí)，流動(dòng)不穩(wěn)定性最易發(fā)生。

2.4 頻率的影響

ω表示時(shí)間方向上的波動(dòng)頻率，其量綱化公式為

頻率在一定范圍內(nèi)對(duì)于空間穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，計(jì)算得到頻率ω影響范圍為無(wú)量綱區(qū)間[50, 190]，見(jiàn)圖5。

不穩(wěn)定模態(tài)數(shù)量(即不穩(wěn)定點(diǎn)數(shù))會(huì)隨著頻率的增長(zhǎng)而變化，見(jiàn)圖5。頻率達(dá)到66～67時(shí)，不穩(wěn)定點(diǎn)由出現(xiàn)一個(gè)變?yōu)閮蓚€(gè)(1→2)；頻率在之后達(dá)到116～117、156～157、182～183以及188～189時(shí)，不穩(wěn)定點(diǎn)數(shù)分別出現(xiàn)由(2→3)、(3→2)、(2→1)以及(1→0)的變化。但不管出現(xiàn)多少不穩(wěn)定點(diǎn)，其變化規(guī)律是相同的，軸向不穩(wěn)定波數(shù)不斷增長(zhǎng)，新的低頻軸向不穩(wěn)定模態(tài)不斷出現(xiàn)；而當(dāng)頻率達(dá)到一定的值后，流動(dòng)不穩(wěn)定模態(tài)消失，流動(dòng)變?yōu)榭臻g穩(wěn)定；不穩(wěn)定的軸向增長(zhǎng)率都是先增加后達(dá)到極值，然后快速減小?？梢?jiàn)，時(shí)間波動(dòng)與空間波動(dòng)并不是同步的，隨著頻率的增強(qiáng)，空間波動(dòng)先增強(qiáng)、再減小，然后變?yōu)榉€(wěn)定流動(dòng)。在工程中發(fā)展對(duì)流動(dòng)不穩(wěn)定的抑制方法時(shí)，可利用此特性。

2.5 環(huán)向波數(shù)的影響

環(huán)向波數(shù)m在擾動(dòng)方程的參量中表現(xiàn)為eimθ，環(huán)向波數(shù)增大，則環(huán)向波動(dòng)頻率增大。對(duì)于小擾動(dòng)，理論上環(huán)向與軸向波數(shù)應(yīng)在同一量級(jí)，數(shù)值計(jì)算得到同樣的結(jié)果。

圖6為環(huán)向波數(shù)變化對(duì)軸向波數(shù)與軸向增長(zhǎng)率的影響。隨著環(huán)向波數(shù)的變化，不穩(wěn)定模態(tài)的個(gè)數(shù)也發(fā)生變化。從特征譜(圖7)中可了解到，隨著環(huán)向波數(shù)的增加，不穩(wěn)定點(diǎn)(圖中右下角三點(diǎn)沿軸向依次為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ點(diǎn))逐漸由不穩(wěn)定模態(tài)變?yōu)榉€(wěn)定模態(tài)，不同的不穩(wěn)定點(diǎn)其變化規(guī)律是相同的，其中不穩(wěn)定點(diǎn)Ⅱ、Ⅲ最具有代表性。隨著環(huán)向波數(shù)的增加，軸向波數(shù)在一定范圍內(nèi)增加(見(jiàn)圖6(a))，這說(shuō)明各坐標(biāo)上的空間不穩(wěn)定是協(xié)同的，表現(xiàn)為頻率的共同增長(zhǎng)；但隨著環(huán)向波數(shù)繼續(xù)增大，軸向波數(shù)卻隨之迅速減小(見(jiàn)圖6(b))，表現(xiàn)為頻率的遷移。軸向增長(zhǎng)率卻是逐漸減小，最后變?yōu)榉€(wěn)定點(diǎn)。綜合來(lái)看，流動(dòng)不穩(wěn)定效果在軸向、徑向以及切向上表現(xiàn)為頻率共同增長(zhǎng)，波數(shù)此消彼長(zhǎng)。

3 結(jié)論

(1)側(cè)向注入雷諾數(shù)決定基頻不穩(wěn)定模態(tài)，隨著側(cè)向注入雷諾數(shù)增大，振蕩模態(tài)可能增加，振蕩頻率可能發(fā)生由高頻變?yōu)榈皖l的轉(zhuǎn)換；側(cè)向注入雷諾數(shù)影響振蕩幅值的放大比率，側(cè)向注入雷諾數(shù)越大，軸向不穩(wěn)定振幅放大率越大。

(2)構(gòu)型長(zhǎng)徑比為3.5的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)在發(fā)生壓強(qiáng)不穩(wěn)定振蕩時(shí)的軸向增長(zhǎng)率最大，較小的擾動(dòng)便有可能產(chǎn)生較大振動(dòng)。

(3)頻率范圍影響空間不穩(wěn)定出現(xiàn)的可能性，可利用此特性發(fā)展對(duì)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生流動(dòng)不穩(wěn)定主動(dòng)抑制的方法；環(huán)向波數(shù)影響不穩(wěn)定模態(tài)數(shù)目，環(huán)向波數(shù)與軸向波數(shù)具有相關(guān)性，幅度總和趨于有限值。

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