周素娟

【關(guān)鍵詞】認(rèn)知起點(diǎn)；學(xué)科本質(zhì)；分?jǐn)?shù)模型；數(shù)學(xué)思考；深度學(xué)習(xí)

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）09-0062-04

分?jǐn)?shù)概念是小學(xué)階段最難的學(xué)習(xí)任務(wù)之一，是一道“營養(yǎng)豐富但又不太好吃”的數(shù)學(xué)大餐?！罢J(rèn)識一個整體的幾分之一”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊的內(nèi)容，兒童在掌握這部分知識后，既可以實(shí)現(xiàn)由一個物體（圖形）到一些物體（一個整體）的數(shù)學(xué)抽象，也可以實(shí)現(xiàn)由分?jǐn)?shù)的“面積模型”到“集合模型”的思維過渡。在教學(xué)中，如何正確把握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征，建構(gòu)分?jǐn)?shù)的模型，為今后整體建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義奠定基礎(chǔ)？如何基于兒童立場實(shí)施教學(xué)，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生？這些都需要我們不斷思考和追問。

一、叩問：兒童的認(rèn)知起點(diǎn)在哪里？

朱永新教授說過：“要想把學(xué)生引到你需要的地方，你得知道學(xué)生現(xiàn)在在哪里?！贝_定了學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，了解了學(xué)生學(xué)習(xí)的前概念，再通過多種形式的操作和體驗(yàn)，不斷強(qiáng)化、完善、豐富他們對分?jǐn)?shù)概念的正確認(rèn)識，就形成了教學(xué)的主環(huán)節(jié)，教學(xué)的重難點(diǎn)就體現(xiàn)在其中。事實(shí)上，我們的學(xué)情分析往往基于教師自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，但基于教師經(jīng)驗(yàn)的學(xué)情分析是否準(zhǔn)確呢？筆者決定在兩個班級進(jìn)行前測，以期更深入、更準(zhǔn)確地了解學(xué)情，改進(jìn)教學(xué)方案。

（一）第一題

1.前測內(nèi)容：

下面涂色部分可以用哪個分?jǐn)?shù)表示？

2.數(shù)據(jù)分析：按兩個班級共117人合并統(tǒng)計(jì)，第1小題做對的有109人，正確率為93.16%。第2小題做對的有108人，正確率為92.31%。第3小題做對的有34人，正確率為29.06%。對比發(fā)現(xiàn)，同為本節(jié)課要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容，第2小題的正確率極高，而第3小題的正確率很低，說明學(xué)生的認(rèn)知“卡”在了這里。

（二）第二題

1.前測內(nèi)容：

在圖中用豎線分一分并涂色表示分?jǐn)?shù)。

2.數(shù)據(jù)分析：同樣，按兩個班級合并統(tǒng)計(jì)，第1小題分對、涂對的有50人，正確率為42.74%；分局部或沒分、涂對的有67人，占57.26%。第2小題分對、涂對的有42人，正確率為35.90%；分局部或沒分、涂對的有49人，占41.88%；分錯或涂錯的有26人，占22.22%。

分析數(shù)據(jù)可知，對于“認(rèn)識一個整體的幾分之一”這個知識，當(dāng)圖中“具體的數(shù)”（數(shù)量）和“關(guān)系的數(shù)”（份數(shù)）相一致時，學(xué)生理解起來沒有問題，他們可由舊知遷移得到答案；當(dāng)“具體的數(shù)”（數(shù)量）和“關(guān)系的數(shù)”（份數(shù)）不一致時，學(xué)生的認(rèn)知困難就產(chǎn)生了。因此，造成學(xué)生新知學(xué)習(xí)障礙的原因，既與學(xué)生對直觀材料“怎么看”“如何分”密切相關(guān)，也與他們能否讀懂每一幅圖所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)語言，是否具備透過表面看到內(nèi)隱關(guān)系的能力有關(guān)，更與他們能否厘清“具體的數(shù)”（數(shù)量）和“關(guān)系的數(shù)”（份數(shù)）的本質(zhì)區(qū)別高度關(guān)聯(lián)。

二、慎思：如何讓兒童對分?jǐn)?shù)概念的重構(gòu)順暢而深刻？

瑞士心理學(xué)家皮亞杰的認(rèn)知建構(gòu)主義理論認(rèn)為，新概念的獲得過程并不總是一個在原有概念結(jié)構(gòu)上豐富的過程，有時候新概念的獲得需要從根本上進(jìn)行原有知識的重構(gòu)，而學(xué)生總是試圖將新概念吸收到原有知識框架之中，這就容易產(chǎn)生認(rèn)知障礙。通過對前測情況的深層次分析和思考，筆者重新定位了本節(jié)課的三個核心認(rèn)知：

1.建立整體觀念：從具體事物走向整體事件。

建立對事物認(rèn)知的整體觀念，即排除具體數(shù)量的干擾，把一些物體看成一個整體，這是每一個學(xué)生在其個人“認(rèn)數(shù)”學(xué)習(xí)史上的一個飛躍；幫助學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)由一個具體事物轉(zhuǎn)向一個事件的思維方式轉(zhuǎn)變，這是分?jǐn)?shù)認(rèn)知的一個重要支點(diǎn)。要引導(dǎo)學(xué)生體會到，不管數(shù)學(xué)素材里面的物體有多少個，在畫上集合圈之后，它就不再是生活中的具體事物，而成了研究數(shù)量關(guān)系的對象。

2.經(jīng)歷均分過程：從隱性感知走向顯性表征。

學(xué)生的認(rèn)知是內(nèi)隱的、無意識的，能真正讀懂“圖的語言”和理解意義的不多。這一學(xué)情對我們進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)有著重要的參考價值。由于分?jǐn)?shù)是由“分”而生的數(shù)，起源于“分”，分?jǐn)?shù)的概念本身就直觀而生動地表示了它的特征——是一個動態(tài)的過程。因此，我們不能僅僅滿足于學(xué)生做出判斷，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)著力于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“分”的過程，從隱性感知走向顯性表征，幫助他們透過表面看到內(nèi)隱的數(shù)量關(guān)系。

3.運(yùn)用數(shù)學(xué)處理：從直觀思維走向邏輯抽象。

本節(jié)課要讓學(xué)生正確理解分?jǐn)?shù)這個數(shù)學(xué)符號的意義，就要在“平均分”的基礎(chǔ)上建立分?jǐn)?shù)的“份數(shù)模型”，引導(dǎo)學(xué)生對直觀材料進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，再通過深入領(lǐng)悟“一份”與“總份數(shù)”的內(nèi)在聯(lián)系，理解分?jǐn)?shù)是“先分后數(shù)”產(chǎn)生的數(shù)，是一種運(yùn)用數(shù)學(xué)手段“創(chuàng)造”出來的數(shù)。學(xué)生自此在數(shù)的抽象能力方面有了質(zhì)的提升，可以將目光聚焦到如何對研究對象進(jìn)行數(shù)學(xué)處理上來，一步一步脫離整數(shù)背景下的思維束縛，形成新的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力。

三、實(shí)踐：聆聽兒童數(shù)學(xué)思考的真實(shí)聲音

基于前測分析、兒童立場和數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，筆者進(jìn)行了如下教學(xué)實(shí)踐：

環(huán)節(jié)一：課前交流，經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)

交流：課前，大家用自己喜歡的方式表示出了1/2，現(xiàn)在我們一起來交流一下。

大部分學(xué)生畫餅，畫各種圖形，愛美的女生畫一個蝴蝶結(jié)，將其中的一半涂色。當(dāng)然，畫出的都是一個物體（圖形）的1/2。

環(huán)節(jié)二：聚焦疑點(diǎn)，思維碰撞

師：小宇和小亮的1/2是這樣畫的（如下圖1和圖2所示），大家同意他倆的畫法嗎？

有一些學(xué)生同意，覺得這樣表示好像也有一定的道理。但也有一些學(xué)生明確反對。

生1：我不同意，我認(rèn)為他們畫的應(yīng)該用2/4和4/8來表示。

師（追問生1）：你是怎么想的？

生1：我是通過數(shù)一數(shù)得到的。一共4條魚，涂色部分有2條，這個分?jǐn)?shù)就應(yīng)該是2/4。

生2：我也認(rèn)為這兩幅圖不能用1/2來表示，兩幅圖中的數(shù)量都不一樣，你們看，（他舉起自己和同桌的作品），雖然我倆一個畫圓形，一個畫長方形，但我們畫的圖形的數(shù)量是一樣的呀。所以我們畫的才能用1/2來表示。

生3：我要請問小宇同學(xué)，你畫的明明是4個和2個。那么，分母的2和分子的1是從哪里來的？

師：聽明白了，你們都是通過數(shù)物體的個數(shù)得到分?jǐn)?shù)的，是嗎？

師（轉(zhuǎn)向小宇和小亮）：你們的想法呢？為什么認(rèn)為自己畫的是1/2？

小宇：我不是一個一個看的，我把這兩個看成一組（手指在前兩條魚上面畫一個圈），一共有兩組。所以，2和1就是這么來的。

有不少學(xué)生投去贊同的目光。

小亮：我也沒有數(shù)個數(shù)，我想的是關(guān)系，看涂色的這一部分和全部之間的關(guān)系，它們是1份和2份的關(guān)系。

師（給予肯定）：你們沒有數(shù)具體數(shù)量，而是把它們看成“部分”和“全部”之間的關(guān)系，從而得到分?jǐn)?shù)。確實(shí)厲害！數(shù)學(xué)眼光獨(dú)特！

師（追問）：可是光你們這樣想還不行，這個“部分”和“全部”怎么來表示才能讓大家都看得明白呢？

學(xué)生嘗試用個性化的方式來表示。

經(jīng)過討論、交流，大家達(dá)成一致意見：可以使用簡潔的數(shù)學(xué)符號來表示某種特定意義。從而很自然地引出集合圈和分隔線這兩個數(shù)學(xué)符號。

再次明確：沒有“大圓圈”（集合圈），這是4條魚，看到的是“4”，有了“大圓圈”（集合圈），就不再是“4”，而是“1”，一個整體。

環(huán)節(jié)三：對比辨析，建構(gòu)模型

1.出示教材例1，先獨(dú)立完成再交流。

2.思考：桃的總個數(shù)不同，每份的個數(shù)也不同，為什么都可以用1/2來表示？

3.完成教材例2，再次思考：都是把6個桃平均分，為什么一次用1/2來表示，一次用1/2來表示？

4.出示一組總數(shù)、平均分的份數(shù)分別變化的問題，引發(fā)學(xué)生思考、質(zhì)疑。

環(huán)節(jié)四：練習(xí)鞏固，拓展提升（略）

四、再思：與兒童攜手向深度學(xué)習(xí)漫溯

在教學(xué)過程中，教師只有準(zhǔn)確分析和精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容和本質(zhì)，觸及數(shù)學(xué)知識的核心，才能幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的本源處、內(nèi)核處和關(guān)鍵處探尋、體驗(yàn)、感受，給他們一個有根有據(jù)、有趣有味的數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)教學(xué)從“數(shù)人”走向“樹人”。

1.把握起點(diǎn)，搭建兒童上行的斜坡。

皮亞杰認(rèn)為：由兒童去認(rèn)識自己原有觀點(diǎn)的錯誤所在，能夠激起兒童的求知欲，強(qiáng)化其學(xué)習(xí)動機(jī)，促進(jìn)其認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展。本節(jié)課中，兒童知識經(jīng)驗(yàn)的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是“平均分”，“近點(diǎn)”是“對一個物體的幾分之幾的理解和掌握”，這兩方面構(gòu)成了兒童學(xué)習(xí)的“原點(diǎn)”。再從兒童的認(rèn)知特點(diǎn)來分析，小學(xué)三年級學(xué)生的元認(rèn)知水平還比較低，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之初往往會依賴“直覺思維”來認(rèn)識分?jǐn)?shù)，這也是前面學(xué)習(xí)所積累的經(jīng)驗(yàn)，這種經(jīng)驗(yàn)既是他們學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)也是阻礙。教師要讀懂兒童的困惑，努力搭建兒童上行的斜坡，打通他們向上生長的通道。

2.體驗(yàn)過程，點(diǎn)燃兒童思維的火把。

基于兒童立場的教學(xué)觀告訴我們，研究兒童是教學(xué)工作的核心。雖然“認(rèn)識一個整體的幾分之一”必須從幾何直觀開始，但要通過數(shù)學(xué)抽象來最終實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)任務(wù)，需要經(jīng)歷觀察、分析、抽象和概括等思維活動過程。即從觀察一些物體出發(fā)，運(yùn)用畫一畫、分一分、數(shù)一數(shù)等數(shù)學(xué)手段和數(shù)學(xué)符號，逐步深入地探究一個整體中部分量與總量的關(guān)系，用“份數(shù)模型”重新認(rèn)識直觀材料并建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義。在教學(xué)中，要緊緊抓住兒童認(rèn)知發(fā)生沖突的有利契機(jī)，引導(dǎo)他們從直覺觀察走向符號處理，從符號處理走向數(shù)學(xué)思考，建構(gòu)起全新的、穩(wěn)固的分?jǐn)?shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3.回歸本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知的躍升。

兒童的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)可以概括為經(jīng)驗(yàn)、語言、圖像和符號四個基本環(huán)節(jié)。其中，最高層級的符號環(huán)節(jié)是指經(jīng)過一定程度的抽象概括，兒童能夠掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)符號來刻畫客觀世界。本節(jié)課的核心數(shù)學(xué)符號有四個，即集合圈、分隔線、份數(shù)和分?jǐn)?shù)，核心認(rèn)知是分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)特征。其中，集合圈、分隔線是對直觀材料進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的顯性標(biāo)識，更是深刻認(rèn)知的前提和基礎(chǔ)，兒童只有充分領(lǐng)悟顯性標(biāo)識的數(shù)學(xué)意義，才能向更高層級的抽象概括躍升，實(shí)現(xiàn)從學(xué)科知識到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展目標(biāo)。

通過分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)，筆者深刻體會到，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須從兒童的認(rèn)知出發(fā)，從學(xué)科本質(zhì)入手，由內(nèi)而外實(shí)施。只要讓兒童感受樂趣、經(jīng)歷過程、自主探究和體驗(yàn)成功，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)就會成為“一道好吃而又營養(yǎng)豐富的數(shù)學(xué)美食”。

（作者單位：江蘇省鹽城市第一小學(xué)教育集團(tuán)鹽瀆校區(qū)）