端木彥

解決立體幾何問題的一個基本原則就是空間問題平面化，這里面蘊(yùn)含著降維轉(zhuǎn)化思想.將三維的空間問題轉(zhuǎn)化為二維平面問題，不僅可以降低思維的難度和運算的復(fù)雜程度，還能幫助我們消滅多余信息所造成的思維誤差，大大提高思維的精準(zhǔn)度。

一、圖形維度的轉(zhuǎn)化

課本上，將棱柱描述為平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體，將圓柱、網(wǎng)錐、圓臺描述為平面多邊形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體.再經(jīng)歷投影、三視圖、斜二測畫法等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，幫助我們從不同的角度感受幾何體的平面特征.

這些知識的學(xué)習(xí)，既培養(yǎng)了我們的識圖能力與空間想象能力，又為后面空間關(guān)系的轉(zhuǎn)化打下了基礎(chǔ).

面動成體，空間問題從平面中來，最終再回到平面中去，

二、位置關(guān)系的降維轉(zhuǎn)化

證明線面平行與垂直、面面平行與垂直，通常運用降維轉(zhuǎn)化的思想方法，通過平面幾何的一些已知結(jié)論證明三維立體的一些結(jié)論.這種思想方法滲透在立體幾何各個定理和結(jié)論的推導(dǎo)和形成過程中.

我們常用類似下面的圖表來體現(xiàn)空間位置關(guān)系相關(guān)定理與結(jié)論之間的關(guān)系：

其中③指的是“如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行”；⑨指線面垂直定義的逆用，即“一條直線與一個平面垂直，則該直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直”；其他的數(shù)字路徑課本中都給出了對應(yīng)定理。

圖表中的各條數(shù)字路徑均體現(xiàn)了降維轉(zhuǎn)化思想在立體幾何證明中的運用。

如路徑④，如何在平面內(nèi)找到與面外直線平行的直線，是一個典型的空間問題.聯(lián)系直線與直線的位置關(guān)系，最終引入經(jīng)過已知直線的另一個平面，兩平面的交線即為所求.這樣，將空間問題平面化，思維難度得以降低。

義如路徑⑤，在兩個平行平面中如何尋找兩條相互平行的直線呢？通過引入第三個平面使空間關(guān)系平面化，將問題解決。

再如路徑⑩，其實就是利用了二面角的平面角，再次將空間問題平面化。這種降維平面化的思想在解決復(fù)雜問題時對理清思路很有幫助.

三、數(shù)量關(guān)系的降維轉(zhuǎn)化

1.空間角轉(zhuǎn)化為平面角

經(jīng)過空間任意一點O，分別作兩條異面直線的平行線，這兩條平行線所成的銳角（或直角）即為異面直線所成角。這一過程，將空間兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi)去研究大小，實際上也是將三維空間中的兩條直線降維轉(zhuǎn)化為二維平面圖形，再利用平面幾何知識去解決問題。

2.空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離

四、總結(jié)

立體幾何中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，其中最重要的就是降維轉(zhuǎn)化思想，它通過降低問題所屬背景的維度，化生為熟，化繁為簡。它貫穿立體幾何學(xué)習(xí)的始終，是解決立體幾何問題所共通的方法。

熟練運用降維轉(zhuǎn)化思想，不僅對立體幾何問題的求解有重要意義，更可以遷移到其他章節(jié)知識的學(xué)習(xí)中，有機(jī)整合，合理運用，形成解決相關(guān)問題的有效策略。