江梓弘，陳曉鵬，周 林,2，賀玉成,2

（1.華僑大學(xué)廈門市移動(dòng)多媒體通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 廈門 361021；2.西安電子科技大學(xué)綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)理論及關(guān)鍵技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710000）

0 引 言

低密度奇偶校驗(yàn)（Low Density Parity Check，LDPC）碼在1962年被首次提出。Gallager在他的文章中定義了LDPC碼的概念[1-2]，指出它具有稀疏的校驗(yàn)矩陣結(jié)構(gòu)和優(yōu)異的性能表現(xiàn)，引起了廣泛研究。XiaoYu Hu等人提出了PEG（Progressive Edge Growth）算法用于隨機(jī)構(gòu)造LDPC碼[3]，在給定碼長(zhǎng)、碼率和度分布的前提下，通過逐條增加邊，獲得更大的圍長(zhǎng)和較少的短環(huán)。之后，Tao Tian等人對(duì)PEG算法中邊的選取方式進(jìn)行改進(jìn)，提出了ACE（Approximate Cycle Extrinsic Message Degree）算法[4]。結(jié)構(gòu)化構(gòu)造法是工程中實(shí)用的構(gòu)造方法。L.Djurdjevic等人發(fā)明了一種利用RS碼構(gòu)造QCLDPC碼的方法，這種碼具有優(yōu)異的瀑布區(qū)性能和很低的錯(cuò)誤平層[5]。Shu Lin團(tuán)隊(duì)通過有限域方法構(gòu)造了一系列具有準(zhǔn)循環(huán)（Quasi-Cyclic，QC）特性的LDPC碼[6-7]——QC-LDPC碼，能夠有效避免短環(huán)，具有較好的性能表現(xiàn)，且其校驗(yàn)矩陣擁有準(zhǔn)循環(huán)的特性，在實(shí)際應(yīng)用中具有很大優(yōu)勢(shì)[8]。

編碼調(diào)制技術(shù)方面，1992年Zehavi提出了比特交織編碼調(diào)制（Bit-Interleaved Coded Modulation，BICM）[9]，用于改善衰落信道下的性能表現(xiàn)。該方案中，信息序列在經(jīng)過編碼后進(jìn)入一比特交織器，之后再進(jìn)行調(diào)制。這樣可以分別設(shè)計(jì)編碼器和調(diào)制器，靈活性大。同時(shí)，由于引入了編碼分集增益，使得漢明距離盡量最大化，明顯改善了衰落信道下的性能。1998年，Caire等人[10]推導(dǎo)證明了BICM系統(tǒng)抗干擾能力主要是由星座中最小歐氏空間調(diào)和均值、最小近鄰數(shù)以及漢明距離決定的，并完善了BICM系統(tǒng)的理論框架。

1999年，Li等人在BICM的基礎(chǔ)上，在解調(diào)器和譯碼器之間引入聯(lián)合軟信息迭代，提出了比特交織迭代譯碼編碼調(diào)制（Bit-Interleaved Coded Modulation with Interleaved Decoding，BICM-ID）系統(tǒng)[11]，大大改善了系統(tǒng)性能。BICM-ID系統(tǒng)在AWGN、Rayleigh衰落信道下都具有優(yōu)異的抗干擾能力。理論和實(shí)踐均表明，將具有強(qiáng)大糾錯(cuò)能力的LDPC碼與抗干擾特性強(qiáng)的BICM-ID系統(tǒng)結(jié)合，是一種可逼近信道容量的高效編碼調(diào)制方案。

本文基于有限域構(gòu)造法，在一定的約束條件下，通過選取兩個(gè)有限域子集構(gòu)造QC-LDPC碼的基矩陣，保證其Tanner圖中的圍長(zhǎng)至少為6或8，并設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單有效的掩模矩陣構(gòu)造法，在矩陣維數(shù)較小的情況下，能夠獲得較大的圍長(zhǎng)和更少的短環(huán)，從而構(gòu)造出性能優(yōu)異的QC-LDPC碼。然后，將構(gòu)造的QC-LDPC碼與BICM-ID系統(tǒng)相結(jié)合，對(duì)比文獻(xiàn)[12]，給出本文構(gòu)造的各種碼在AWGN信道、Rayleigh衰落信道下的誤比特率性能，并簡(jiǎn)單討論分析解調(diào)器和譯碼器迭代次數(shù)對(duì)本文系統(tǒng)性能的影響。

1 基于有限域子集的QC-LDPC碼構(gòu)造法

1.1 基矩陣的構(gòu)造

本文基于文獻(xiàn)[13]中的兩個(gè)定理，利用有限域來構(gòu)造QC-LDPC碼。

定理1：如果矩陣B是QC-LDPC碼的基矩陣，且它的校驗(yàn)矩陣H是通過基矩陣B循環(huán)移位展開獲得的，則該校驗(yàn)矩陣H相應(yīng)的Tanner圖圍長(zhǎng)最小為6的充分必要條件，是基矩陣B中任取一個(gè)2×2大小的子矩陣都是非奇異的或至少包含一個(gè)零元素。該約束記為2×2-SM約束。

定理2：如果矩陣B是QC-LDPC碼的基矩陣，且它的校驗(yàn)矩陣H是通過基矩陣B循環(huán)移位展開獲得的，則該校驗(yàn)矩陣H相應(yīng)的Tanner圖圍長(zhǎng)最小為8的充分必要條件，是基矩陣GF(q)中任取一個(gè)2×2或者3×3大小的子矩陣的行列展開式中沒有兩個(gè)相同的非零項(xiàng)。該約束記為3×3-SM約束。

根據(jù)上面兩個(gè)定理，本文利用兩個(gè)有限域元素的子集來構(gòu)造QC-LDPC碼。在有限域GF(q)設(shè)α為本原元。當(dāng)兩個(gè)整數(shù)k0和n0滿足1≤k0，n0＜q時(shí)，令 S1={αi0,αi1,…,αik0-1}、S2={αj0,αj1,…,αjk0-1}為 GF(q)中的兩個(gè)元素的子集，其中i,j∈{-1,0,1,…,q-2}，且i0＜i1＜…＜ik0-1，j0＜j1＜…＜jn0-1。于是，可構(gòu)造如下形式的基矩陣B：

將子集S1和S2中的元素分別帶入式（1），可得到完整的基矩陣B：

根據(jù)上述兩個(gè)定理，該基矩陣顯然滿足行列約束條件，則構(gòu)造出來的碼Tanner圖圍長(zhǎng)最少是6。

1.2 掩模矩陣的改進(jìn)

由有限域構(gòu)造的QC-LDPC碼擁有高度的準(zhǔn)循環(huán)結(jié)構(gòu)，但因?yàn)槠渲械娜憔仃囕^少、稀疏性不夠，得到的碼性能不夠優(yōu)異。為了改善這種情況，采用掩模技術(shù)將基矩陣中的一部分非零元素置為0，從而提高校驗(yàn)矩陣稀疏性。傳統(tǒng)方法中通常使用PEG生成掩模矩陣。該方法在矩陣較大時(shí)能得到較好的性能，但當(dāng)掩模矩陣較小時(shí)，最終得到的碼性能往往不佳。針對(duì)PEG算法存在的這個(gè)缺點(diǎn)，本文根據(jù)3×3-SM約束，改進(jìn)了一種掩模矩陣構(gòu)造的方法，保證矩陣中任意3×3子矩陣至少有一個(gè)零項(xiàng)，使最后得到的碼圍長(zhǎng)至少為8。在掩模矩陣維數(shù)較小的情況下，本方法能夠很容易地得到具有大圍長(zhǎng)且性能較好的碼。

對(duì)于有限域GF(q)中的某個(gè)基矩陣B(k0,n0)=[Bi,j]0≤i＜k0,0≤j＜n0， 設(shè) 有 維 數(shù) 相 同 的 矩 陣D(k0,n0)=[di,j]0≤i＜k0,0≤j＜n0，且 D(k0,n0)中的元素只有 0或1。定義如下的運(yùn)算規(guī)則：

當(dāng) di,j=1時(shí)，di,j×Bi,j=Bi,j； 當(dāng) di,j=0時(shí)，di,j×Bi,j=0（全零矩陣）。定義D(k0,n0)為掩模矩陣；M(k0,n0)為掩模生成矩陣。經(jīng)過這種掩模技術(shù)得到的矩陣M(k0,n0)密度較之前的基矩陣B(k0,n0)降低了很多，從而保證了稀疏性。

令兩個(gè)矩陣y1和y2結(jié)構(gòu)如下：

若基矩陣B(k0,n0)滿足k0和n0都是4的整數(shù)倍，則可以構(gòu)造如下形式的掩模矩陣D(k0,n0)：

觀察掩模矩陣D(k0,n0)易知，經(jīng)過掩模后生成的矩陣M(k0,n0)的任意3×3大小的子塊，最少包含一個(gè)零元素，符合3×3-SM約束。因此，它的Tanner圖的圍長(zhǎng)最少是8。

矩陣M(k0,n0)中的每個(gè)元素都能夠擴(kuò)展成(q-1)×(q-1)大小的循環(huán)置換矩陣A，每個(gè)循環(huán)置換矩陣A的移位值就是該元素的冪次。將基矩陣B中的所有元素用相應(yīng)的循環(huán)置換矩陣替換，最終便得到校驗(yàn)矩陣H。

2 QC-LDPC碼在比特交織迭代譯碼編碼調(diào)制系統(tǒng)中的應(yīng)用

2.1 BICM-ID編碼調(diào)制系統(tǒng)

BICM-ID系統(tǒng)的基本組成部分如圖1所示，由LDPC編碼器、交織器、映射器、解映射器、解交織器和LDPC譯碼器等組成。

圖1 BICM-ID系統(tǒng)

將二進(jìn)制信息序列u=(u0,u1,…,uK-1)輸入LDPC編碼器中，編碼后輸出碼字序列 b′=(b′0,b′1,…,b′N-1)。將輸出的碼字序列送入比特交織器進(jìn)行交織，得到序列 b=(b0,b1,…,bN-1)。將序列 b=(b0,b1,…,bN-1)通過映射器映射到調(diào)制信號(hào)星座圖上，得到信號(hào)序列s。調(diào)制后的信號(hào)s通過信道時(shí)會(huì)存在一些噪聲影響，因此最后接收端獲得的信息y為：

其中，ρ為Rayleigh衰落的衰落因子，且E(ρ2)=1；n是復(fù)高斯白噪聲，它的平均值為0，方差是σ2=N0/2ES；ES是信道符號(hào)能量，N0是單邊噪聲功率譜密度。在AWGN信道中，ρ=1。

接收端收到受到噪聲干擾的信號(hào)y后，進(jìn)行一系列處理，得到最終的譯碼判決結(jié)果u-。接收端的解映射器和譯碼器間采用聯(lián)合迭代的方式譯碼。解映射器通過接收信號(hào)y和先驗(yàn)對(duì)數(shù)似然比，計(jì)算解映射器的比特級(jí)對(duì)數(shù)似然比外信息序列，其再經(jīng)過解交織器后得到序列LDa作為譯碼器輸入；譯碼器譯碼后輸出外信息序列LDe，經(jīng)交織后反饋回解映射器，作為下一次迭代的先驗(yàn)對(duì)數(shù)似然比LMa，然后重新變?yōu)橄闰?yàn)信息送進(jìn)解調(diào)器開始下一輪的迭代更新，以增加信息來源的可靠性。初次迭代時(shí)，LMa=0。通過反向交織器，譯碼器和解調(diào)器之間的信息在每一輪迭代時(shí)進(jìn)行傳遞，增加外賦信息的準(zhǔn)確性，從而最終降低錯(cuò)誤概率。

2.2 解調(diào)譯碼方法

軟信息迭代更新在解調(diào)和譯碼兩個(gè)模塊之間進(jìn)行。假設(shè)進(jìn)行第t次外部迭代時(shí)，對(duì)每個(gè)比特其先驗(yàn)信息是相互獨(dú)立的。若從信道接收到的信號(hào)符號(hào)為yk，c表示對(duì)應(yīng)比特序列，L表示比特序列的長(zhǎng)度，則解調(diào)器的外賦信息可由式（7）計(jì)算得到：

譯碼器采用BP譯碼算法，具體步驟如下：

（1）初始化。初次迭代次數(shù)k=1，對(duì)全部的變量節(jié)點(diǎn)vn，計(jì)算初始的信道LLR值Lch,n；設(shè)是某個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)cm輸出的，令Lch,n。

（2）計(jì)算校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)。對(duì)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)集合B(m)中的某個(gè)cm，變量節(jié)點(diǎn)vn輸出信息。

（3）計(jì)算變量節(jié)點(diǎn)。在第k次迭代中，vn更新后驗(yàn)LLR值和cm輸出。

把該序列和校驗(yàn)矩陣的轉(zhuǎn)置HT做乘法，獲得伴隨式Sk。若Sk=0，則譯碼正確，直接輸出判決后的序列；若Sk≠0，則譯碼不正確，迭代次數(shù)加1，開始新一輪的迭代，直到Sk=0。若達(dá)到預(yù)先設(shè)定的迭代次數(shù)時(shí)Sk≠0，則譯碼失敗。

2.3 仿真結(jié)果

本文搭建BICM-ID系統(tǒng)模型，采用本文構(gòu)造的（1 524，762）和（4 088，2 044）QC-LDPC碼作為信道編碼，與文獻(xiàn)[12]中由PEG算法構(gòu)造的（5 310，2 655）非規(guī)則LDPC碼進(jìn)行性能對(duì)比，結(jié)果如圖2所示。本仿真在AWGN信道下進(jìn)行，LDPC譯碼器最大內(nèi)迭代次數(shù)設(shè)為20次，外迭代次數(shù)設(shè)為1次，調(diào)制方式為16-QAM和64-QAM，星座圖均采用Gray映射，LDPC譯碼器采用標(biāo)準(zhǔn)和積譯碼算法。

圖2 AWGN信道下誤碼率曲線對(duì)比

如圖2所示，本文構(gòu)造的QC-LDPC碼誤碼率性能表現(xiàn)更加優(yōu)異，（1 524，762）和（4 088，2 044）QC-LDPC碼對(duì)比（5 310，2 655）非規(guī)則LDPC碼，在16-QAM調(diào)制下，當(dāng)誤碼率達(dá)到10-4時(shí)，前者性能改善約3 dB，后者性能改善約4 dB；在64-QAM調(diào)制下，當(dāng)誤碼率達(dá)到10-5時(shí)，前者性能改善約3.2 dB，后者性能改善約4.5 dB。

采用本文構(gòu)造的（1 524，762）和（4 088，2 044）兩種QC-LDPC碼，結(jié)合QPSK、16-QAM和64-QAM三種調(diào)制方式，在Rayleigh衰落信道下進(jìn)行仿真。LDPC譯碼器最大內(nèi)迭代次數(shù)設(shè)為10次，外迭代次數(shù)設(shè)為5次，采用和積譯碼算法，其性能表現(xiàn)如圖3所示?？梢钥闯觯赗ayleigh衰落信道下，本文構(gòu)造的QC-LDPC碼有著優(yōu)異的BER性能，且隨著碼長(zhǎng)的增加，其抗衰落性能有更大的改善。

圖3 Rayleigh衰落信道下不同調(diào)制方式的誤碼率曲線對(duì)比

采用本文構(gòu)造（1 524，762）和（4 088，2 044）兩種QC-LDPC碼，結(jié)合16-QAM調(diào)制方式，在Rayleigh衰落信道下進(jìn)行仿真。LDPC譯碼器最大內(nèi)迭代次數(shù)分別設(shè)為10次和30次，外迭代次數(shù)分別設(shè)為1次、5次，采用和積譯碼算法，其性能表現(xiàn)如圖4所示?？梢钥闯?，碼長(zhǎng)和碼率不變的情況下，最大內(nèi)迭代次數(shù)不變，隨著外迭代次數(shù)的增加，誤碼率性能提高。同理，外迭代次數(shù)不變，隨著最大內(nèi)迭代次數(shù)的增加，誤碼率性能提高。究其原因，在于增加LDPC碼譯碼的內(nèi)部迭代次數(shù)，使得LDPC碼的譯碼算法產(chǎn)生的外信息可靠性提高，從而有效減少了錯(cuò)誤傳播，且通過增加解調(diào)器與LDPC碼之間信息交換進(jìn)行的外部迭代次數(shù)，能夠進(jìn)一步提高系統(tǒng)性能。

圖4 Rayleigh衰落信道下不同迭代次數(shù)的誤碼率曲線對(duì)比

3 結(jié) 語

本文在有限域基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種基于有限域子集的QC-LDPC碼構(gòu)造方法，同時(shí)針對(duì)PEG算法在構(gòu)造維數(shù)較小的掩模矩陣時(shí)最終獲得的碼性能不好的缺陷，改進(jìn)了一種簡(jiǎn)單有效的掩模矩陣構(gòu)造法。在BICM-ID系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，結(jié)合幾種調(diào)制方式，得到了不同碼長(zhǎng)的QC-LDPC碼在不同信道下的誤碼率曲線。仿真結(jié)果表明，本文構(gòu)造的QC-LDPC碼在AWGN信道和Rayleigh衰落信道下的誤碼率性能表現(xiàn)優(yōu)異。它在AWGN信道下通過不同調(diào)制方式，表現(xiàn)的誤碼率性能均優(yōu)于傳統(tǒng)方法。當(dāng)誤碼率達(dá)到10-5時(shí)，最大性能改善達(dá)4.5 dB。此外，QC-LDPC碼的校驗(yàn)矩陣擁有準(zhǔn)循環(huán)特性，在實(shí)際應(yīng)用中具有明顯優(yōu)勢(shì)。

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