董新鋒，董新科，胡建勇

0 引 言

擴(kuò)散部件的設(shè)計(jì)是密碼算法設(shè)計(jì)的重要組成部分。目前，擴(kuò)散部件主要有MDS矩陣、基于循環(huán)移位和異或運(yùn)算的線性MDS變換、比特置換和二元矩陣等。擴(kuò)散部件設(shè)計(jì)的好壞直接影響密碼算法的安全性和效率[1-3]。采用差分分支數(shù)和線性分支數(shù)較大的擴(kuò)散部件，可以使密碼算法更好地抵抗差分攻擊和線性攻擊。采用結(jié)構(gòu)簡單的擴(kuò)散部件，有利于密碼算法的快速實(shí)現(xiàn)。線性MDS變換的差分分支數(shù)和線性分支數(shù)相等且達(dá)到最大[4]，故利用線性MDS變換設(shè)計(jì)分組密碼的擴(kuò)散部件是一種常用的方法。線性MDS變換作為擴(kuò)散部件被廣泛應(yīng)用于密碼算法設(shè)計(jì)中，如AES算法、Twofish算法、SMS4算法、AIRA算法、HIEROCRYPT算法等。為了保證密碼算法的快速有效實(shí)現(xiàn)，線性MDS變換對應(yīng)的MDS矩陣應(yīng)具有較少的元素和較小的數(shù)值。例如，AES算法使用有限域GF(28)上的MDS矩陣為循環(huán)移位矩陣；Twofish算法使用GF(28)上的MDS矩陣為Hadamard矩陣；AIRA算法使用GF(2)上的0/1矩陣為對合矩陣，等等。如何設(shè)計(jì)有限域GF(2n)上快速實(shí)現(xiàn)MDS矩陣，一直是人們關(guān)心的重要問題，具有較好的理論基礎(chǔ)和豐富的研究成果。例如，文獻(xiàn)[5-7]等提出可以基于循環(huán)移位矩陣、Cauchy矩陣以及Hadamard矩陣等特殊矩陣來設(shè)計(jì)MDS矩陣的思想和構(gòu)造方法，并搜索出大量便于實(shí)現(xiàn)的MDS矩陣。但是，由于有限域GF(2n)上的乘法運(yùn)算較為復(fù)雜，導(dǎo)致有限域上的MDS矩陣無法滿足移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)、物聯(lián)網(wǎng)中諸多資源受限應(yīng)用場景下的密碼算法擴(kuò)散部件的設(shè)計(jì)要求。此外，文獻(xiàn)[8-14]研究了通常情形下MDS矩陣的構(gòu)造方法，文獻(xiàn)[15-19]研究了輕量級MDS變換的構(gòu)造方法。

本文將基于循環(huán)移位和異或運(yùn)算，提出一種新的輕量化的線性MDS變換的構(gòu)造方法，給出該類線性MDS變換的計(jì)數(shù)結(jié)果和相應(yīng)實(shí)例，能夠?yàn)樗惴ㄔO(shè)計(jì)提供大量輕量化的線性MDS變換。通過與公開算法中擴(kuò)散部件的比較分析，說明本文提出的最簡形式線性MDS變換具有時(shí)延低、運(yùn)算快、計(jì)算資源小等輕量化特性，可以滿足移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)、物聯(lián)網(wǎng)中諸多資源受限應(yīng)用場景下的擴(kuò)散部件的設(shè)計(jì)要求。

1 準(zhǔn)備知識

本文用⊕表示逐位模2加，用+表示實(shí)數(shù)加或?qū)崝?shù)模2m加。對于y=(y1, y2,…, ym)∈GF(2n)m，本文均用W(y)表示y=(y1, y2,…, ym)中非0元的個(gè)數(shù)。

對于GF(2n)上m×m矩陣A定義的線性變換f(x)=Ax，其差分分支數(shù)達(dá)到最大值m+1等價(jià)于其線性分支數(shù)達(dá)到最大值m+1。當(dāng)它的差分分支數(shù)達(dá)到最大值時(shí)，則稱A為MDS矩陣。

下面介紹線性變換的差分分支數(shù)Bd和線性分支數(shù)Bl的定義。

定義1：設(shè)f(x)=Ax，且A是GF(2n)上的m×m矩陣，則：

其中矩陣At為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。此處用+表示實(shí)數(shù)加。

定義 2：設(shè)A=(aij)2m×2m是GF(2n)上的 2m×2m矩陣，如果當(dāng)0≤i, j≤2m-1時(shí)，均有aij=a0(i+j)，則稱A為有限域上的一個(gè)循環(huán)（Cyclic）移位矩陣，簡記為A=Cyc(a00,a01,…,a0(2m-1))。此處，用+表示實(shí)數(shù)模2m加。

2 基于循環(huán)移位和異或運(yùn)算的線性MDS變換

基于循環(huán)移位、異或等簡單邏輯運(yùn)算設(shè)計(jì)的線性MDS變換，具有結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)算快速、計(jì)算資源消耗低等輕量化特征，特別適用于移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)、物聯(lián)網(wǎng)等應(yīng)用場景下的輕量級密碼算法設(shè)計(jì)。通常情形下，衡量一個(gè)密碼算法部件的資源占用情況，可以通過基本運(yùn)算數(shù)目的多少來大致刻畫。本文的主要目標(biāo)是尋找具有最少異或數(shù)、最少循環(huán)移位數(shù)和最優(yōu)分支數(shù)等輕量化特征的最簡形式MDS變換的設(shè)計(jì)方法。

目前，主流的密碼算法設(shè)計(jì)中采用的MDS變換擴(kuò)散部件主要有兩類：一類是有限域GF(2n)上分支數(shù)為5的4階或8階矩陣變換（一般地，n=4、8、16、32等）；另一類是GF(2)上分支數(shù)為4、5或8的0/1矩陣變換（對應(yīng)的矩陣階數(shù)分別為4階、8階或16階）。考慮到密碼部件在算法設(shè)計(jì)等實(shí)際應(yīng)用中的普適性，以下章節(jié)均以GF(2)16→GF(2)16的線性MDS變換為例來闡述相關(guān)結(jié)果，但本文的構(gòu)造方法及思路適用于設(shè)計(jì)任意的GF(2n)m→GF(2n)m上的線性MDS變換。

2.1 最簡形式1與構(gòu)造方法1

由線性MDS碼的相關(guān)結(jié)論易知，GF(2)16→GF(2)16的線性變換其比特分支數(shù)最優(yōu)為8。因此，若要使基于循環(huán)移位和異或等邏輯運(yùn)算構(gòu)造的線性變換L(X)：GF(2)16→GF(2)16為比特分支數(shù)為8的MDS變換，則L(X)的表達(dá)式中應(yīng)至少包含7個(gè)單項(xiàng)式（即包含6個(gè)循環(huán)移位和6個(gè)異或運(yùn)算）。此外，考慮到L(X)與L(X＜＜＜i)具有相同的分支數(shù)，則對L(X)變換整體做循環(huán)移位不會(huì)影響其MDS變換的性質(zhì)，稱L(X)與L(X＜＜＜i)為兩個(gè)等價(jià)線性MDS變換。

定義具有如下形式的L(X)為GF(2)16→GF(2)16的基于循環(huán)移位和異或等邏輯運(yùn)算構(gòu)造的線性MDS變換的最簡形式1。

設(shè)L(X)是GF(2)16→GF(2)16的線性變換，如果L(X)具有如下形式：

其中Xij(X＜＜＜ij)，且L(X)為MDS變換（即L(X)的分支數(shù)達(dá)到8），則稱L(X)為GF(2)16→GF(2)16具有最簡形式1的線性MDS變換。

具有最簡形式1的L(X)包含6個(gè)循環(huán)移位和6個(gè)異或運(yùn)算。其中，6個(gè)循環(huán)移位運(yùn)算可以并行計(jì)算，具有時(shí)延低、運(yùn)算快、計(jì)算資源小等特性，滿足諸多輕量化密碼算法擴(kuò)散部件的設(shè)計(jì)需求。

構(gòu)造方法1：設(shè)L(X)是GF(2)16→GF(2)16的線性變換，且具有如下形式（其中i0、i2、…、i5均為1～15之間互不相同的非零整數(shù)）：

其中 Xij(X＜＜＜ij)。

X通過遍歷GF(2)16的216-1個(gè)16比特值（全0除外），i0、i2、…、i5（互不相同）通過分別遍歷1～15的15個(gè)整數(shù)值，計(jì)算min{W(X)+W(L(X))|X∈GF(2)16{0}}并判斷取值是否等于8，即可得到GF(2)16→GF(2)16的所有具有最簡形式1的線性MDS變換。

若采用構(gòu)造方法1，需要遍歷的搜索量為(216-，約為228.3。其中為15選6的組合數(shù)。

性質(zhì)1：設(shè)L(X)是通過構(gòu)造方法1得到的GF(2)16→GF(2)16的線性MDS變換，形如式（4），定義Ln(X)為GF(2n)16→GF(2n)16的線性變換，且具有下面的形式：

其中Ln(X)。

那么Ln(X)為GF(2n)16→GF(2n)16的線性MDS變換，即驗(yàn)證Ln(X)的等價(jià)形式Ln(X)=M·X，其中M為16階0/1矩陣，M的分支數(shù)達(dá)到最大值8。

2.2 最簡形式2與構(gòu)造方法2

在密碼算法的某些資源受限應(yīng)用場景下，可以考慮犧牲擴(kuò)散部件運(yùn)算的并行性，使得擴(kuò)散部件占用的資源最少。這種情形下需要通過級聯(lián)迭代等形式設(shè)計(jì)擴(kuò)散部件。下面的構(gòu)造方法2給出了一種適用于這種資源受限應(yīng)用場景的GF(2)16→GF(2)16的線性MDS變換設(shè)計(jì)方法，僅包含4個(gè)循環(huán)移位和4個(gè)異或運(yùn)算。

設(shè)L'(X)是GF(2)16→GF(2)16的線性變換，如果L'(X)具有如下形式：

且L'(X)為MDS變換，即L'(X)的分支數(shù)達(dá)到8，則稱L'(X)為GF(2)16→GF(2)16具有最簡形式2的MDS變換。

具有最簡形式2的L'(X)僅包含4個(gè)循環(huán)移位和4個(gè)異或運(yùn)算，相對最簡形式1具有更低的時(shí)延和更小的計(jì)算資源占用，但4個(gè)循環(huán)移位和4個(gè)異或運(yùn)算只能依次串行計(jì)算。

構(gòu)造方法2：設(shè)L'(X)是GF(2)16→GF(2)16上的線性變換，且通過如下形式得到（其中a、c、d均為1～15之間互不相同的非零整數(shù)，b為1～15之間的非零整數(shù)）：

X通過遍歷GF(2)16的216-1個(gè)16比特值（全0除外），a、c、d（互不相同）通過分別遍歷1～15的15個(gè)整數(shù)值，b通過遍歷1～15的15個(gè)整數(shù)值，計(jì)算min{W(X)+W(L'(X))|X∈GF(2)16{0}}，并判斷取值是否等于8，即可獲得GF(2)16→GF(2)16上的所有具有最簡形式2的MDS變換。

若采用構(gòu)造方法2，需要遍歷的搜索量為(216-1)××15，約為 228.8。其中為 15選 3的組合數(shù)。性質(zhì)2：設(shè)L'(X)是通過構(gòu)造方法2得到的GF(2)16→GF(2)16的線性MDS變換，形如式（9）、式（10）、式（11），定義Ln'(X)為GF(2n)16→GF(2n)16上的線性變換，且具有下面的形式：

那么Ln'(X)為GF(2n)16→GF(2n)16的線性MDS變換，即驗(yàn)證Ln'(X)的等價(jià)形式為Ln'(X)=M·X，其中M為16階0/1矩陣，M的分支數(shù)達(dá)到最大值8。

2.3 最簡形式1與最簡形式2之間的關(guān)系

對最簡形式2中的L'(X)展開、化簡、合并后，得到如下形式（注：此處“+”為模16加）：

其中 Xi＜＜＜i。

說明最簡形式2得到的MDS變換也具有最簡形式1的形式，即通過最簡形式2得到的MDS變換為通過最簡形式1得到的MDS變換的子集。

在有些特殊場景下，可能會(huì)對密碼算法的擴(kuò)散部件MDS變換提出更多要求，如要求GF(2n)16→GF(2n)16上的線性MDS變換同時(shí)滿足上述的最簡形式1或最簡形式2，此外還滿足為GF(24n)4→GF(24n)4上的線性MDS變換，即要求L''(X)滿足以下三點(diǎn)：

（1）作為GF(2n)16→GF(2n)16的線性變換，同時(shí)滿足最簡形式1或最簡形式2；

（2）作為GF(2n)16→GF(2n)16的線性變換，其分支數(shù)達(dá)到最優(yōu)為8，即為MDS變換；

（3）作為GF(24n)4→GF(24n)4的線性變換，其分支數(shù)達(dá)到最優(yōu)為5，即為MDS變換。

將滿足上述三點(diǎn)性質(zhì)的L''(X)稱為具有特殊形式的MDS變換。

在本文的第3部分，將說明滿足上述最簡形式的線性MDS變換L(X)、L'(X)、L''(X)的存在性、計(jì)數(shù)結(jié)果等。

3 實(shí)例與分析

根據(jù)第2部分的構(gòu)造方法1、構(gòu)造方法2，通過編程計(jì)算，可以得到具有最簡形式1、最簡形式2和特殊形式的輕量化線性MDS變換的計(jì)數(shù)結(jié)果，如表1所示，并給出了1個(gè)構(gòu)造實(shí)例。

表1 輕量化線性MDS變換的計(jì)數(shù)結(jié)果

構(gòu)造實(shí)例1：

通過構(gòu)造方法1可以得到如下的L(X)：

通過構(gòu)造方法2可以得到如下的L'(X)：

更進(jìn)一步，通過測試發(fā)現(xiàn)L(X)滿足以下性質(zhì)：

（1）作為GF(2)16→GF(2)16的線性變換，其分支數(shù)為8，達(dá)到最優(yōu)，即為MDS變換L''(X)；

（2）作為GF(24n)4→GF(24n)4的線性變換，其分支數(shù)為5，達(dá)到最優(yōu)，即為MDS變換L''(X)；

表明L(X)同時(shí)滿足最簡形式1和特殊形式，在實(shí)際密碼算法設(shè)計(jì)中具有非常明顯的實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢。通過計(jì)算機(jī)搜索沒有發(fā)現(xiàn)同時(shí)滿足最簡形式2和特殊形式的L'(X)。

線性MDS變換L(X)對應(yīng)的0/1矩陣M為：

AIRA算法和HIEROCRYPT算法均為128 bit分組長度的分組密碼算法，分別使用了1個(gè)16階0/1矩陣M0和M1，分支數(shù)均達(dá)到最優(yōu)為8。

AIRA算法中使用的16階0/1矩陣M0為：

HIEROCRYPT算法中使用的16階0/1矩陣M1為式（22）。

通過分析比較容易發(fā)現(xiàn)：M與M1相比具有更少的1（M中含有112個(gè)1，M1中含有176個(gè)1），即M所包含的比特異或數(shù)更少，消耗的計(jì)算資源更少；M與M0相比具有相同數(shù)量的1（均含有112個(gè)1），即M與M0包含的比特異或數(shù)相同，但由于M是循環(huán)矩陣，所以在實(shí)現(xiàn)上具有更多的優(yōu)勢和靈活性。

綜上所述，本文設(shè)計(jì)的這類具有最簡形式的MDS變換，具有更優(yōu)良的密碼性能和更靈活的實(shí)現(xiàn)方式，在諸多資源受限應(yīng)用場景下的密碼算法擴(kuò)散部件設(shè)計(jì)中具有極大優(yōu)勢。事實(shí)上，還存在其他最簡形式的MDS變換，研究方法類似。

4 結(jié) 語

本文研究了線性MDS變換的構(gòu)造方法，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了一類新的輕量化的循環(huán)移位線性MDS變換，并給出了該類MDS變換的計(jì)數(shù)和構(gòu)造實(shí)例。本文的研究結(jié)果為循環(huán)移位MDS變換的構(gòu)造方法提供了一種新的途徑，豐富了密碼算法擴(kuò)散部件的選擇，對密碼算法的設(shè)計(jì)具有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。值得一提的是，這類線性MDS變換構(gòu)造方法簡單，能夠快速有效實(shí)現(xiàn)。

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