劉文 李銳 張晉紅 林騰蛟 楊云

摘 要：針對勢能法計算斜齒輪時變嚙合剛度精度不足問題，提出一種剛度修正算法. 考慮端面重合度大于或小于軸向重合度兩種情況下單齒接觸線長度的不同表達形式，建立齒根圓與基圓不重合時的變截面懸臂梁模型，采用切片法和積分思想推導并計算了斜齒輪嚙合剛度，通過與ISO算法和有限元法對比分析，驗證了該修正算法的可行性. 在此基礎上，探討了螺旋角、模數、齒數、齒寬和壓力角等參數對嚙合剛度的影響. 計算與分析表明，嚙入段的相對時間與端面重合度和軸向重合度大小及比重有關；齒輪基本參數的變化引起重合度和單齒嚙合剛度的改變，進而影響綜合嚙合剛度波動值和均值；當端面重合度或軸向重合度在整數附近時，嚙合剛度波動值較小，而總重合度在整數附近時，嚙合剛度波動值較大. 與傳統(tǒng)勢能法相比，修正算法提高了斜齒輪時變嚙合剛度的計算精度，在斜齒輪剛度激勵的準確計算方面具有較強的實用性.

關鍵詞：勢能法；斜齒輪；時變嚙合剛度；重合度

中圖分類號：TH132.41文獻標志碼：A

Abstract： Due to the inaccuracy of potential energy method in calculation of timevarying mesh stiffness of helical gears， a stiffness correction algorithm was proposed. Considering the different expressions for the length of contact lines of single tooth on two kinds of situations in which the transverse contact ratio is greater or less than the overlap ratio， a nonuniform cantilever beam model was established when root circle and base circle misaligned， and then the mesh stiffness of helical gears was derived and calculated by using sliceintegral method. By comparing with ISO standard and finite element method， the feasibility of the proposed correction algorithm was verified. Meanwhile， a parametric study was conducted to investigate the effects of various parameters， such as helix angle， normal module， tooth number， face width and normal pressure angle on the behavior of mesh stiffness. The calculation and analysis indicate that the relative time of the engagingin section is related to the proportion values of transverse contact ratio and overlap ratio. Variation of gear parameters affects the fluctuation value of total mesh stiffness and average mesh stiffness by changing the contact ratios and single mesh stiffness. In addition， the fluctuation is little when the transverse contact ratio or overlap ratio is close to an integer， while it fluctuates more intensively when the total contact ratio is close to an integer. Compared with the traditional potential energy method， the precision of correction algorithm in calculating timevarying mesh stiffness of helical gears is obviously improved. It has relatively better practicability in the accurate calculation of stiffness excitation of helical gears.

Key words：potential energy method； helical gears； timevarying mesh stiffness； contact ratios

齒輪傳動是機械系統(tǒng)中應用最廣泛的運動和動力傳遞形式，對系統(tǒng)的動態(tài)特性有很大的影響.隨著對機械系統(tǒng)性能要求的提高，齒輪傳動正朝著大功率、高轉速、低噪聲的方向發(fā)展，而嚙合剛度的時變特性是齒輪系統(tǒng)產生振動噪聲的主要源頭，它的準確計算是齒輪系統(tǒng)動力學分析的重要基礎[1].

在齒輪系統(tǒng)的嚙合剛度方面，國內外學者進行了許多研究. 齒輪嚙合剛度由輪齒的彈性變形求得，其計算主要有材料力學法、彈性力學法、石川公式法和有限元法等. 根據研究對象不同，又分為直齒輪和斜齒輪. 對于直齒輪，文獻[2-4]運用勢能法對直齒輪時變嚙合剛度進行了計算，并分析了齒根裂紋對嚙合剛度的影響；文獻[5]基于有限元法分析了兩種算法對直齒輪嚙合剛度的影響；文獻[6]提出一種基于石川公式的直齒輪嚙合剛度改進算法；文獻[7]基于有限元法和彈性接觸理論提出了一種線性規(guī)劃法計算嚙合剛度的方法，并分析了齒輪結構參數和基本參數對嚙合剛度的影響；文獻[8-9]基于勢能法將齒根簡化為圓弧和直線，推導并計算了直齒輪嚙合剛度，提高了其計算精度.

對于斜齒輪，文獻[10]提出了求解理想圓柱齒輪和斜齒輪時變嚙合剛度的近似方程；文獻[11]建立斜齒輪參數化數值模型并運用有限元法計算其時變嚙合剛度；文獻[12]將有限元法和彈性接觸理論相結合來計算斜齒輪的嚙合剛度；文獻[13]提出了考慮安裝誤差時斜齒輪嚙合剛度的有限元計算方法；文獻[14]基于有限元法分析了不同齒輪參數對斜齒輪嚙合剛度的影響規(guī)律；文獻[15]運用累積積分勢能法推導了斜齒輪的時變剛度，并分析了模數、齒數和齒寬的影響；文獻[16]運用累積積分勢能法研究了齒面剝落和局部破損對斜齒輪時變嚙合強度的影響；文獻[17-18]通過計算齒輪時變嚙合剛度，并結合其他參數，預估了齒輪系統(tǒng)的振動特性和輻射噪聲.

以上文獻取得了大量研究成果，但對于斜齒輪嚙合剛度的求解，ISO標準只能計算平均嚙合剛度或齒輪單齒嚙合剛度的最大值，有限元法計算量較大且結構參數改變需花費大量時間重新建模，石川公式難以考慮精確漸開線齒廓. 勢能法不僅可以考慮精確漸開線齒廓而且能夠快速、準確求得斜齒輪的時變嚙合剛度，目前基于勢能法求解斜齒輪的嚙合剛度雖有少量研究[15-16]，但其忽略了齒根圓與基圓不重合的問題，導致計算結果存在較大誤差，同時對斜齒輪嚙合剛度的影響因素研究較少.

本文在文獻[3-4，8-9，15-16]研究成果的基礎上，以斜齒輪副為研究對象，運用切片法和積分思想，提出了一種考慮齒根圓與基圓不重合時斜齒輪嚙合剛度的修正算法，進一步提高了計算精度，使斜齒輪的時變嚙合剛度求解更加準確. 此外，分析探討了螺旋角、模數、齒數、齒寬、壓力角的變化對斜齒輪嚙合剛度的影響以及嚙合剛度波動值與重合度之間的關系，為齒輪系統(tǒng)減振降噪設計提供了一定的理論基礎.

1 斜齒輪時變嚙合剛度計算原理

對于直齒輪來說，在不考慮重合度的情況下，每個輪齒可看作是一個變截面的懸臂梁，在齒面載荷的作用下發(fā)生變形. 如圖1所示為直齒輪輪齒變截面懸臂梁模型.

綜上所述，將各部分剛度按并聯方式組合即可得到一對齒輪副的嚙合剛度，表示為：

斜齒輪由于存在螺旋角，其嚙合剛度計算與直齒輪有區(qū)別，但可以利用切片法和積分的思想，將其沿齒寬方向切分成若干片很薄的輪齒，每一部分可認為是直齒輪，通過計算各部分的嚙合剛度，最后積分即可得到斜齒輪的嚙合剛度. 斜齒輪的懸臂梁模型如圖3所示.

2 斜齒輪時變嚙合剛度修正算法

將輪齒簡化為基圓上的懸臂梁模型不夠精確，因為輪齒起始于齒根圓，當兩者不重合時，嚙合剛度將產生誤差，因此有必要對斜齒輪嚙合剛度算法進行修正，同時對單齒接觸線長度兩種表達形式下嚙合剛度表達式中相關參數的不同進行詳細補充.

2.1 時變接觸線長度

在一個單齒嚙合周期內，斜齒輪在嚙合平面上的時變接觸線長度有兩種表達形式，如圖4所示.

2.2 基圓半徑大于齒根圓半徑時的嚙合剛度

基圓半徑大于齒根圓半徑時，未修正的算法在求解嚙合剛度時，將輪齒簡化為基圓上的懸臂梁，相當于減小了懸臂梁的長度，未考慮基圓與齒根圓之間輪齒部分的變形，將導致嚙合剛度值偏大. 修正后的輪齒變截面懸臂梁二維模型如圖5所示.

2.3 基圓半徑小于齒根圓半徑時的嚙合剛度

基圓半徑小于齒根圓半徑時，未修正的算法在求解嚙合剛度時，將輪齒簡化為基圓上的懸臂梁，增加了懸臂梁的長度，多計算了基圓與齒根圓之間輪齒部分的變形，將導致嚙合剛度值偏小，需要在原嚙合剛度公式基礎上改變積分的上限. 修正后的輪齒變截面懸臂梁二維模型如圖6所示.

2.4 嚙合剛度修正算法驗證

采用ISO 6336-1-2006算法、有限元法、文獻[15]及本文的修正方法對兩組傳動比為1的斜齒輪副（一組齒數為20，模數為3 mm，螺旋角為15°，齒寬為30 mm，轉速為1 000 r/min，另一組齒數為60，其它參數相同）的嚙合剛度進行對比分析.

表2和表3為各方法計算的單齒嚙合剛度最大值C'和嚙合剛度平均值Cγm與ISO算法計算值誤差對比，圖7和圖8為各方法計算的齒輪嚙合剛度曲線，圖中橫坐標T為無量綱時間，T=t/tε，t為時間，tε為單齒嚙合時間.

表2和圖7為基圓半徑大于齒根圓半徑時（齒數為20）嚙合剛度計算結果，可以看出，本文和有限元法計算結果與ISO算法最接近，單齒嚙合剛度誤差分別為1.11%和1.66%，嚙合剛度平均值誤差分別為3.64%和4.66%，文獻[15]因為沒有考慮基圓與齒根圓之間的變形，導致嚙合剛度偏大，單齒嚙合剛度和嚙合剛度平均值誤差分別為11.1%和13.4%.

表3和圖8為基圓半徑小于齒根圓半徑時（齒數為60）嚙合剛度計算結果，可以看出，本文和有限元法計算結果與ISO算法最接近，單齒嚙合剛度誤差分別為1.84%和0.46%，嚙合剛度平均值誤差分別為2.12%和3.48%，文獻[15]因為多計算了基圓與齒根圓之間的變形，導致嚙合剛度偏小，單齒嚙合剛度和嚙合剛度平均值誤差分別為19.8%和19.7%.

3 斜齒輪基本參數對嚙合剛度的影響

斜齒輪的基本參數主要包括模數、齒數、螺旋角、齒寬、壓力角等，為揭示各參數對嚙合剛度的影響，以表4中的參數為基準，通過改變基本參數開展研究.

3.1 螺旋角

將表4中斜齒輪副的螺旋角分別設為6°、9°、12°、15°、18°和21°，其他參數保持不變，不同螺旋角時斜齒輪的重合度如表5所示，對應的單齒與綜合嚙合剛度曲線如圖9所示（圖中虛線為單齒嚙合剛度，實線為綜合嚙合剛度）. 可以看出，螺旋角增大使端面重合度減小，軸向重合度增大，總重合度增

大；齒輪副由兩齒/三齒交替嚙合逐漸過渡到三齒/四齒交替嚙合，且多齒嚙合區(qū)的嚙合剛度不一定大于少齒嚙合區(qū)的嚙合剛度.

此外，螺旋角較小時，端面重合度大于軸向重合度，螺旋角增大使軸向重合度在總重合度中的比重逐漸增加，嚙入段的相對時間增加；隨著螺旋角繼續(xù)增大，當螺旋角增加至端面重合度小于軸向重合度，嚙入段的相對時間將減少. 同時，螺旋角增大對嚙合剛度均值和波動值ΔCγ影響較小，嚙合剛度均值基本不發(fā)生變化. 結合表5和圖9可看出，當軸向重合度靠近整數時，嚙合剛度的波動值較小.

為明確重合度和嚙合剛度波動值之間的關系，令螺旋角從0°每間隔1°變化到35°，對應的嚙合剛度波動值曲線如圖10所示.

由圖10可以看出，隨著螺旋角的增大，嚙合剛度波動值并非單調下降. 當螺旋角為15°和30°時，嚙合剛度波動值均處于極小值位置，此時對應的軸向重合度恰好在整數附近. 與此同時，當螺旋角為3°和22°時，嚙合剛度波動值均處于極大值位置，此時總重合度恰好在整數附近. 而對于直齒輪而言，端面重合度在整數附近時，嚙合剛度波動值較小[1]. 因此可以得出，當端面重合度或軸向重合度接近整數時，斜嚙合剛度將具有較小的波動值，當總重合度接近整數時，斜嚙合剛度將具有較大的波動值.

傳統(tǒng)觀點認為重合度越大，齒輪系統(tǒng)運轉越平穩(wěn)，其實這一觀點值得商榷. 系統(tǒng)運轉穩(wěn)定性與嚙合剛度波動值有直接聯系，因此工程實踐中可考慮將軸向重合度調整至整數附近以降低系統(tǒng)的振動.

3.2 模數和齒數

在設計初期，齒輪系統(tǒng)和齒輪箱的大體尺寸就已確定，因此在改變齒數的同時，也應相應改變模數以保證中心距不變. 將齒數從30每間隔10變化到80，相應的模數從6.67 mm變化至2.5 mm，對應的單齒嚙合剛度如圖11所示，嚙合剛度波動值和均值如圖12所示. 齒數增加使端面重合度和軸向重合度增大，但軸向重合度在總重合度中的比重增加，因此嚙入段的相對時間增加；但單齒嚙合剛度最大值未發(fā)生明顯變化，同時由于總重合度增加，導致嚙合剛度均值略有增加；軸向重合度在整數附近時（z=50，εβ=1.030），嚙合剛度波動值較小，總重合度在整數附近時（z=70，εγ=3.155），嚙合剛度波動值較大.

3.3 齒寬

齒寬增加時不影響齒輪副端面重合度，而使軸向重合度增加，因此嚙入段的相對時間增加. 齒寬增加使輪齒接觸變形、彎曲變形、剪切變形、軸向壓縮變形和基體變形減小，從而使單齒嚙合剛度增加. 將齒寬從30 mm每隔10 mm增加至80 mm，對應的單齒嚙合剛度如圖13所示. 重合度與單齒嚙合剛度增加使嚙合剛度均值接近線性規(guī)律增加，軸向重合度在整數附近時（B=50，εβ=1.030），嚙合剛度波動值較小，如圖14所示.

3.4 壓力角

當壓力角增大時，齒頂變薄而齒根變厚，齒面曲率半徑會增大，從而提高輪齒的齒面接觸強度和齒根彎曲強度. 不同壓力角的單齒嚙合剛度如圖15所示，由圖15可以看出壓力角增加使輪齒接觸變形和彎曲變形減小，從而使單齒嚙合剛度最大值增加；同時軸向重合度在總重合度中的比重增加，因此嚙入段的相對時間增加. 將齒輪的法面壓力角從15°每間隔1°變化至25°，對應的嚙合剛度波動值和均值如圖16所示. 由圖16可以看出，雖然單齒嚙合剛度有所增加，但是總重合度減小，因此嚙合剛度均值隨著壓力角的增加并非呈現單調減小趨勢，同時壓力角的變化不影響軸向重合度，所以嚙合剛度波動值未發(fā)生明顯變化，均處于較小的位置.

4 結 論

1） 基于勢能法提出了一種考慮齒根圓與基圓不重合時的斜齒輪時變嚙合剛度修正方法，通過與ISO算法和有限元法的對比分析，驗證了該修正算法的可行性，提升了斜齒輪嚙合剛度的計算精度.

2） 分析探討了螺旋角、模數、齒數、齒寬、壓力角的變化對斜齒輪嚙合剛度的影響. 嚙入段的相對時間與端面重合度和軸向重合度大小及比重有關；齒輪副的重合度和單齒嚙合剛度隨齒輪參數的變化而改變，進而影響綜合嚙合剛度的波動值和均值. 計算與分析結果可為斜齒輪傳動參數的優(yōu)化選取提供參考.

3） 重合度是影響嚙合剛度波動值的重要因素. 當端面重合度或軸向重合度在整數附近時，嚙合剛度波動值較小，而總重合度在整數附近時，嚙合剛度波動值較大. 在設計中應合理搭配齒輪參數，一方面應保證較大的重合度，使更多的齒同時受載，同時需確保嚙合剛度的波動值較小，從而降低系統(tǒng)的振動.

參考文獻

[1] 李潤方， 王建軍. 齒輪系統(tǒng)動力學[M]. 北京：科學出版社， 1997： 11-48.

LI R F， WANG J J. Systematic dynamics of gear[M]. Beijing： Science Press， 1997： 11-48. （In Chinese）

[2] CUI L， ZHAI H， ZHANG F. Research on the meshing stiffness and vibration response of cracked gears based on the universal equation of gear profile[J]. Mechanism and Machine Theory， 2015， 94： 80-95.

[3] CHAARI F， FAKHFAKH T， HADDAR M. Analytical modelling of spur gear tooth crack and influence on gear mesh stiffness[J]. European Journal of MechanicsA/Solids， 2009， 28（3）： 461-468.

[4] CHEN Z， SHAO Y. Dynamic simulation of spur gear with tooth root crack propagating along tooth width and crack depth[J]. Engineering Failure Analysis， 2011， 18（8）： 2149-2164.

[5] COOLEY C G， LIU C， DAI X， et al. Gear tooth mesh stiffness： A comparison of calculation approaches[J]. Mechanism and Machine Theory， 2016， 105： 540-553.

[6] 李亞鵬， 孫偉， 魏靜， 等. 齒輪時變嚙合剛度改進計算方法[J]. 機械傳動， 2010， 34（5）： 22-26.

LI Y P， SUN W， WEI J， et al. Study on the improved algorithm of the timevarying meshing stiffness of gear[J]. Journal of Mechanical Transmission， 2010， 34（5）： 22-26. （In Chinese）

[7] CHANG L， LIU G， WU L. A robust model for determining the mesh stiffness of cylindrical gears[J]. Mechanism and Machine Theory， 2015， 87： 93-114.

[8] WAN Z， CAO H， ZI Y， et al. An improved timevarying mesh stiffness algorithm and dynamic modeling of gearrotor system with tooth root crack[J]. Engineering Failure Analysis， 2014， 42： 157-177.

[9] LIANG X， ZUO M J， PANDEY M. Analytically evaluating the influence of crack on the mesh stiffness of a planetary gear set[J]. Mechanism and Machine Theory， 2014， 76： 20-38.

[10]GU X， VELEX P， SAINSOT P， et al. Analytical investigations on the mesh stiffness function of solid spur and helical gears[J]. Journal of Mechanical Design， 2015， 137（6）： 063301.

[11]HEDLUND J， LEHTOVAARA A. A parameterized numerical model for the evaluation of gear mesh stiffness variation of a helical gear pair[J]. Drive System Technique，2012， 222（7）： 1321-1327.

[12] 常樂浩， 劉更， 鄭雅萍，等. 一種基于有限元法和彈性接觸理論的齒輪嚙合剛度改進算法[J]. 航空動力學報， 2014， 29（3）：682-688.

CHANG L H， LIU G， ZHENG Y P， et al. A modified method for determining mesh stiffness of gears based on finite element method and elastic contact theory[J]. Journal of Aerospace Power， 2014， 29（3）： 682-688. （In Chinese）

[13]劉寶山， 杜群貴， 文奇. 考慮安裝誤差的斜齒輪嚙合剛度計算與分析[J]. 機械傳動， 2017（3）：33-37.

LIU B S， DU Q G，WEN Q. Calculation and analysis of meshing stiffness of helical gear considering installation error[J]. Journal of Mechanical Transmission， 2017（3）：33-37. （In Chinese）

[14]LIU L， DING Y， WU L， et al. Effects of contact ratios on mesh stiffness of helical gears for lower noise design[C]//International Gear Conference 2014. Lyon： Chandos Publishing， 2014： 320-329.

[15]WAN Z， CAO H， ZI Y， et al. Mesh stiffness calculation using an accumulated integral potential energy method and dynamic analysis of helical gears[J]. Mechanism and Machine Theory， 2015， 92： 447-463.

[16]HAN L， QI H. Influences of tooth spalling or local breakage on timevarying mesh stiffness of helical gears[J]. Engineering Failure Analysis， 2017， 79：75-88.

[17]CHEN S， TANG J， HU Z. Comparisons of gear dynamic responses with rectangular mesh stiffness and its approximate form[J]. Journal of Mechanical Science and Technology， 2015， 29（9）： 3563-3569.

[18]林騰蛟， 何澤銀， 鐘聲， 等. 船用齒輪箱多體動力學仿真及聲振耦合分析[J]. 湖南大學學報（自然科學版），2015， 42（2）： 22-28.

LIN T J， HE Z Y， ZHONG S， et al. Multibody dynamic simulation and vibroacoustic coupling analysis of marine gearbox[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences）， 2015， 42（2）： 22-28. （In Chinese）

[19]SAINSOT P， VELEX P， DUVERGER O. Contribution of gear body to tooth deflections——A new bidimensional analytical formula[J].Journal of Mechanical Design， 2004， 126（4）： 748-752.