劉子建 易廣威

摘 要：以共軸光學(xué)系統(tǒng)中圓柱形零件圓環(huán)形裝配平面為研究對(duì)象，研究了裝調(diào)中多零件對(duì)接時(shí)基準(zhǔn)軸的角偏誤差傳遞與補(bǔ)償原理.首先分析了共軸光學(xué)系統(tǒng)的實(shí)際裝調(diào)方法和典型定中心基準(zhǔn)軸傳遞路徑.然后基于誤差測(cè)量和最小二乘法，確定擬合圓環(huán)形裝配平面方程.運(yùn)用幾何變換理論得到精確描述單個(gè)零件底面和頂面的角偏誤差的變換矩陣，以及兩零件裝配時(shí)結(jié)合面上兩坐標(biāo)系間的變換矩陣，建立了多零件裝配時(shí)始末法線角偏誤差與相對(duì)裝入角度的顯式函數(shù)關(guān)系.針對(duì)不同類型的定中心基準(zhǔn)軸傳遞路徑，采用不同的遺傳算法方案實(shí)現(xiàn)了對(duì)始末法線角的優(yōu)化，提出了求解相對(duì)裝入角度允許誤差的方法.最后提出了一種基于全局優(yōu)裝法的共軸光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)方法，并以某共軸光學(xué)系統(tǒng)為例，驗(yàn)證了本文方法的可行性與實(shí)用性.

關(guān)鍵詞：共軸光學(xué)系統(tǒng)；全局優(yōu)化；光學(xué)裝調(diào)；定中心基準(zhǔn)軸；遺傳算法

中圖分類號(hào)：TN206 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：Taking the ring assembly plane of cylinder part of coaxial optical system as the research object， the principle of tilt error transfer and compensation of fiducial axis in the case of multiple parts assembling was studied. Firstly， optical alignment of coaxial optical system and typical centering fiducial axis transfer paths were analyzed. And then error measurement and Least Square Method were conducted to fit the ring assembly plane of cylinder part and to get the coefficients of leastsquares plane equation. By the theory of 3D geometry transformation， the transformation matrices precisely describing the tilt error of bottom face and top face in a single part， the transformation matrices of two coordinate systems of assembly joint surface in the case of two parts assembling and the function relationship between the angle between two Normal Lines of Initial Bottom Surface and End Top Surface （ANLIBSETS） and the Relative Load Angle （RLA） in the case of multiple parts assembling were established. Aiming at different types of centering fiducial axis transfer paths and applying different genetic algorithm plans， the optimization of ANLIBSETS was achieved. The method of solving the error of RLA was proposed. Finally， an optical alignment method of coaxial optical system based on global optimization alignment method was proposed. The feasibility and practicability of this method are verified by an example of a coaxial optical system.

Key words：coaxial optical systems；global optimization；optical alignment；centering fiducial axis；genetic algorithm

隨著先進(jìn)光學(xué)檢測(cè)和計(jì)算機(jī)輔助裝調(diào)（CAAComputer Aided Alignment）等技術(shù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)共軸光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)技術(shù)的研究不斷深入.廖志波等[1]利用CAA技術(shù)，通過(guò)設(shè)置補(bǔ)償環(huán)節(jié)對(duì)一次裝調(diào)后透射式共軸光學(xué)系統(tǒng)的初級(jí)像差進(jìn)行調(diào)整.郭夏銳等[2-3]通過(guò)分析透射式共軸光學(xué)系統(tǒng)各光學(xué)元件光軸一致性誤差對(duì)光學(xué)系統(tǒng)像差的影響，提出一種基于像差分析和仿真預(yù)估指導(dǎo)光軸一致性裝調(diào)的方法.Rimmer M P[4]提出一種利用阻尼最小二乘法進(jìn)行測(cè)量，并比較射線跟蹤波前之間的差異，通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)波前均方根來(lái)確定對(duì)透鏡系統(tǒng)定心裝調(diào)的方法.栗孟娟等[5]將光學(xué)設(shè)計(jì)和裝調(diào)設(shè)計(jì)相結(jié)合，對(duì)裝調(diào)公差進(jìn)行再分配和補(bǔ)償.

以上研究直接關(guān)注共軸光學(xué)系統(tǒng)的光軸一致性誤差對(duì)系統(tǒng)像差的影響，進(jìn)而求解光學(xué)系統(tǒng)失調(diào)量，以此指導(dǎo)系統(tǒng)的裝調(diào).通過(guò)系統(tǒng)像差，理論上可獲得各光學(xué)元件光軸與基準(zhǔn)軸偏角的調(diào)整量，然而，由于共軸光學(xué)系統(tǒng)的成像對(duì)透鏡的傾斜誤差極為敏感，目前的裝調(diào)工藝還難以實(shí)現(xiàn)對(duì)各光學(xué)元件軸偏角進(jìn)行精準(zhǔn)裝調(diào)，尤其對(duì)于實(shí)際應(yīng)用中的多個(gè)光學(xué)元件均含有加工誤差的復(fù)雜系統(tǒng)，難以保證通過(guò)裝調(diào)可以獲得性能最佳的光學(xué)系統(tǒng).

鑒于任何光學(xué)系統(tǒng)中參與裝配的零件均含有加工誤差，如共軸光學(xué)系統(tǒng)的透鏡、鏡組部件、鏡筒、鏡框和壓圈等，零件通過(guò)彼此的裝配平面相互貼合形成結(jié)合面以實(shí)現(xiàn)裝配，結(jié)合面可以傳遞和補(bǔ)償誤差[6]，因而結(jié)合面誤差是決定光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)精度的內(nèi)在因素.本文從共軸光學(xué)系統(tǒng)零件的裝配平面入手，提出圓環(huán)形裝配平面的擬合方法；通過(guò)研究各結(jié)合面誤差的傳遞原理，建立共軸光學(xué)系統(tǒng)裝配誤差優(yōu)化補(bǔ)償?shù)哪繕?biāo)函數(shù)；針對(duì)不同裝配方法和裝配條件，提出對(duì)應(yīng)的遺傳算法，得到符合共軸光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)精度要求的誤差補(bǔ)償優(yōu)化解，最后總結(jié)出一種精確量化的共軸光學(xué)系統(tǒng)全局優(yōu)化裝調(diào)方法.應(yīng)用本文提出的精確量化裝調(diào)方法，不僅可以大幅提高共軸光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)的效率，理論上也可以獲得最佳成像質(zhì)量的共軸光學(xué)系統(tǒng).

1 定中心基準(zhǔn)軸傳遞

在共軸光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)中，以某一基準(zhǔn)軸為參照進(jìn)行的減小透鏡光軸偏差的操作稱為定中心.每一步裝調(diào)都考慮基準(zhǔn)軸誤差的影響，稱為定中心基準(zhǔn)軸傳遞， 其含義是各裝調(diào)的基準(zhǔn)軸誤差在定中心操作中均處于某一規(guī)定的精度范圍內(nèi)，其中保證初始零件和末端零件基準(zhǔn)軸的同軸程度尤為重要.如果定中心基準(zhǔn)軸傳遞狀態(tài)被破壞，將嚴(yán)重影響光學(xué)系統(tǒng)分辨力、畸變和對(duì)比度等性能[7].

1.1 光學(xué)系統(tǒng)的裝調(diào)方法

光學(xué)系統(tǒng)的裝調(diào)方法主要有如下三種：

1）隨機(jī)裝調(diào)法，一種完全依賴于人工經(jīng)驗(yàn)的裝調(diào)方法，效率低，難以達(dá)到高精度.

2）逐步優(yōu)裝法，即通過(guò)調(diào)節(jié)每個(gè)裝調(diào)工序裝入零件的裝入角度，使得本工序結(jié)束后當(dāng)前光軸角偏誤差最小或光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量最優(yōu).

3）全局優(yōu)裝法，建立誤差傳遞模型，通過(guò)優(yōu)化算法確定每個(gè)工序裝入零件后的合理光軸角偏誤差，保證裝調(diào)獲得的最終光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量總體最優(yōu)（或滿足要求）.

隨機(jī)裝調(diào)法需要反復(fù)試裝多次還難以獲得理想成像質(zhì)量.逐步優(yōu)裝法可使每一工序完成后獲得相對(duì)最優(yōu)的成像效果，而系統(tǒng)的最終成像質(zhì)量未必是最優(yōu)，裝調(diào)效率也難以提高.全局優(yōu)裝法著眼全局，保證光學(xué)系統(tǒng)最終的成像質(zhì)量最優(yōu).然而，如果不充分考慮結(jié)合面誤差因素，將導(dǎo)致現(xiàn)有的全局優(yōu)裝法原理上可行，實(shí)際裝調(diào)可操作性不強(qiáng)[8].針對(duì)這一問(wèn)題，本文提出一種考慮每個(gè)工序裝入零件的結(jié)合面誤差，通過(guò)建立誤差補(bǔ)償優(yōu)化算法，直接利用零部件加工誤差補(bǔ)償光學(xué)系統(tǒng)角偏誤差的光學(xué)系統(tǒng)全局優(yōu)裝方法，以期在保證總體成像質(zhì)量最佳的前提下，提高光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)的效率和可操作性.

1.2 共軸光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)的定中心基準(zhǔn)軸傳遞路徑

光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)過(guò)程的控制可以概括為：首先得到待控制的目標(biāo)值與裝調(diào)變量的關(guān)系，然后通過(guò)一定的優(yōu)化方法，得到使目標(biāo)值滿足要求的一組變量值.在共軸光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)中，此問(wèn)題的變量即為系統(tǒng)中若干組裝配對(duì)接零件間的相對(duì)裝入角度，待控制的目標(biāo)值即為光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量.現(xiàn)有技術(shù)可通過(guò)裝調(diào)使得各透鏡光軸相對(duì)其定中心基準(zhǔn)軸的角偏誤差極小，據(jù)此可假設(shè)如果保證了定中心基準(zhǔn)軸傳遞的準(zhǔn)確性，則光學(xué)系統(tǒng)的最終成像質(zhì)量將最優(yōu).

基于鏡組部件結(jié)構(gòu)的兩種共軸光學(xué)系統(tǒng)典型實(shí)例[9]如圖1和圖2所示.現(xiàn)分析鏡組部件之間的裝配關(guān)系，可以得出3種定中心基準(zhǔn)軸傳遞路徑.

1）第一類傳遞路徑.如圖1所示的鏡組部件1～5均為兩兩直接接觸，裝調(diào)時(shí)兩鏡組部件可以繞基準(zhǔn)軸線的任意角度（稱為裝入角度）裝入和固定，傳遞路徑由初始鏡組部件到末端鏡組部件，如由鏡組部件1到鏡組部件5.

2）第二類傳遞路徑.如圖2所示，各鏡組部件的端面與對(duì)應(yīng)鏡筒內(nèi)臺(tái)階的圓環(huán)形平面結(jié)合，鏡組間互不接觸.此時(shí)，定中心基準(zhǔn)軸傳遞路徑由初始鏡筒傳遞到末端鏡筒，如由鏡筒38到鏡筒16.由于兩鏡筒之間通常采用螺栓連接，鏡筒的裝入角度可取值范圍受到螺栓數(shù)量及布置方式的限制.

3）第三類傳遞路徑.如圖2所示，從一個(gè)鏡筒中的鏡組部件傳遞到另一個(gè)鏡筒中的鏡組部件.鏡組部件可采用任意裝入角度與鏡筒裝配，兩鏡筒裝配時(shí)鏡筒裝入角度可取值范圍受連接方式限制.

以上三種傳遞路徑的基準(zhǔn)軸傳遞本質(zhì)上均屬于圓柱形零件的定中心對(duì)接問(wèn)題.共軸光學(xué)系統(tǒng)的機(jī)械誤差來(lái)源主要包括零件加工誤差和裝配過(guò)程誤差兩方面[10].這些誤差綜合表現(xiàn)為零件基準(zhǔn)軸間的傾斜和平移誤差[11].受到徑向平移誤差的影響，基準(zhǔn)軸間的平移誤差需要通過(guò)調(diào)整工裝來(lái)控制.而鏡筒、鏡框的加工誤差和裝配過(guò)程誤差將直接導(dǎo)致基準(zhǔn)軸間的角偏誤差，因此本文主要研究角偏誤差.

對(duì)于一條確定的傳遞路徑，指定路徑開(kāi)始的第一個(gè)裝配件的底面為初始零件端，另一端為頂面，類似地也可定義參與裝配的所有零件的底面和頂面.設(shè)鏡筒38先行裝配，角偏誤差示意圖如圖3所示，圖中以點(diǎn)畫線注明了各鏡筒基準(zhǔn)軸，以細(xì)實(shí)線注明了底面和頂面上的法線.

一般地，各零件裝配平面上的法線與基準(zhǔn)軸具有一定角偏誤差.但在高精度共軸光學(xué)系統(tǒng)中，為保證裝配精度，會(huì)對(duì)初始零件底面和末端零件頂面進(jìn)行精磨修正，使得這些面上通過(guò)軸心點(diǎn)的法線與零件的基準(zhǔn)軸盡可能重合.據(jù)此，在本文研究中假設(shè)傳遞路徑中初始基準(zhǔn)軸和末端基準(zhǔn)軸的夾角等同于初始零件底面法線與末端零件頂面法線間的夾角，簡(jiǎn)稱為始末法線角.基于這一假設(shè)，借助于結(jié)合面控制始末法線角偏差滿足一定精度要求，達(dá)到定中心基準(zhǔn)軸準(zhǔn)確傳遞的目的.

2 圓環(huán)形裝配平面的最小二乘法模擬

鏡組部件和鏡筒為圓柱（筒）形零件，研究其加工誤差導(dǎo)致的角偏誤差的傳遞，重點(diǎn)要討論裝配平面表面誤差及由其引起的法線角偏誤差.

2.1 零件表面誤差的描述方法

零件的真實(shí)截面輪廓形狀較為復(fù)雜，按照波距劃分，大于10 mm的為形狀誤差；處于1～10 mm之間的為表面波紋度；小于1 mm的為表面粗糙度.如圖4所示.

在零件表面有規(guī)律的取若干點(diǎn)進(jìn)行擬合可得到零件表面的擬合面，由擬合面的平面方程參數(shù)可反映真實(shí)面相對(duì)理想面的位置誤差，如圖5所示.目前對(duì)結(jié)合面接觸模型的研究均以最小二乘面作為等效接觸面的基準(zhǔn)面，如浙江大學(xué)的裘辿[12]即利用最小二乘擬合面計(jì)算實(shí)際零件表面相對(duì)于理想表面的夾角.而真實(shí)表面的粗糙度和波紋度，以及法向載荷主要影響的是面面貼合的真實(shí)定位距離[13].由于基于最小二乘法的平面擬合綜合考慮了三種表面誤差成分，故可用最小二乘擬合面替代裝配平面.

共軸光學(xué)系統(tǒng)的兩個(gè)零件進(jìn)行裝配時(shí)，假設(shè)施加均勻的裝配連接力，則兩零件的擬合結(jié)合面理論上應(yīng)與兩零件的擬合面平行，隨著裝配連接力大小的變化，兩零件的擬合面之間的距離誤差，即裝配過(guò)程誤差也會(huì)發(fā)生變化.本文暫不考慮裝配連接力的影響，假設(shè)裝配過(guò)程誤差為零，則兩零件表面的擬合面在裝配操作完成后重合形成結(jié)合面.

2.2 基于最小二乘法的圓環(huán)形平面擬合

鑒于鏡筒和鏡組部件的裝配結(jié)合面均為圓環(huán)形平面，采用高精度圓柱度儀測(cè)量垂直度誤差的原理，可在對(duì)零件調(diào)平調(diào)心（使零件基準(zhǔn)軸與圓柱度儀主軸重合）后，測(cè)量圓環(huán)形平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)[14]對(duì)圓環(huán)形平面測(cè)量布點(diǎn)的規(guī)定，在被測(cè)面上選取半徑差為r0的m個(gè)同心圓，每個(gè)圓上選取等距離的t個(gè)被測(cè)點(diǎn)，如圖6所示.

此時(shí)變量的可取值個(gè)數(shù)是一個(gè)有限大整數(shù).采用二進(jìn)制編碼只適用于連續(xù)變量和變量維數(shù)為2L的離散變量（用L位二進(jìn)制表示）的情況，對(duì)任意變量維數(shù)的離散變量的二進(jìn)制編碼，易出現(xiàn)編碼冗余和產(chǎn)生較多不可行解[19].必須采用整數(shù)編碼取代二進(jìn)制編碼，才能對(duì)螺栓個(gè)數(shù)為任意值的情況進(jìn)行優(yōu)化.

對(duì)第三類傳遞路徑，因其包含第二類傳遞路徑，假設(shè)先對(duì)若干個(gè)鏡筒進(jìn)行裝配，對(duì)其中鏡筒零件組成的第二類傳遞路徑進(jìn)行優(yōu)化后，求解得到鏡筒與鏡筒之間的相對(duì)裝入角度.然后將所有鏡筒視為一個(gè)部件，將此部件與始末兩個(gè)鏡組部件進(jìn)行裝配，此時(shí)可根據(jù)對(duì)第一類傳遞路徑的優(yōu)化方法求得鏡組部件與鏡筒的相對(duì)裝入角度.

以第二類傳遞路徑的始末法線角優(yōu)化為例，其遺傳算法流程如圖10所示.

4.2 零件相對(duì)裝入角度誤差范圍求解

通過(guò)遺傳算法求得一組合適的零件相對(duì)裝入角度后，在實(shí)際裝配時(shí)，操作人員對(duì)零件相對(duì)裝入角度的控制是有限的.需確定一個(gè)合適的相對(duì)裝入角度誤差范圍，操作人員在裝入零件時(shí)，控制相對(duì)裝入角度在該誤差范圍內(nèi)，能保證始末法線角滿足精度要求.該誤差范圍太大則會(huì)增加裝配成本，太小則無(wú)法保證始末法線角的精度.

4.3 共軸光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)方法

基于全局優(yōu)化法的共軸光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)方法主要步驟如下：

1） 根據(jù)第2節(jié)和第4節(jié)所述方法，測(cè)得各鏡組部件、各鏡筒裝配平面點(diǎn)數(shù)據(jù)；根據(jù)第1節(jié)所述的實(shí)例確定傳遞路徑類型.

2） 由式（6）求得傳遞路徑中各零件底面擬合平面系數(shù)ak，bk，頂面擬合平面方程的系數(shù)a′k，b′k；標(biāo)記yk軸和y′k軸.根據(jù)傳遞路徑類型確定可能的相對(duì)裝入角度，利用式（19）建立始末法線角與相對(duì)裝入角度的顯式函數(shù)關(guān)系.

3） 根據(jù)傳遞路徑的類型，確定遺傳算法參數(shù)，包括種群規(guī)模M、交叉概率Pe、變異概率Pm和最大遺傳代數(shù)G等，代入本文編寫的遺傳算法MATLAB優(yōu)化程序.

4） 運(yùn)行遺傳算法優(yōu)化程序，得到一組合適的相對(duì)裝入角度變量值θ，根據(jù)圖11調(diào)用本文編寫的MATLAB程序求得相對(duì)裝入角度誤差范圍±Δθ.

5） 根據(jù)所標(biāo)記的yk軸和y′k軸，按照θ并考慮±Δθ依次裝入鏡組部件和鏡筒.

在極高精度共軸光學(xué)系統(tǒng)中，考慮像差影響因素，可將上述方法與CAA技術(shù)相結(jié)合，一方面驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性，另一方面根據(jù)像差結(jié)果進(jìn)行微量調(diào)整，獲得更佳的成像質(zhì)量.

5 實(shí)例分析

針對(duì)某共軸光學(xué)系統(tǒng)，零件個(gè)數(shù)n=8的情況，假定各裝配平面的公差要求均一致，位置公差TP=0.04，形狀公差，Ts=0.02；零件直徑d=100；認(rèn)定目標(biāo)函數(shù)值小于10-5即滿足精度要求.作為仿真實(shí)例，可根據(jù)理想平面SDT（Small displacement torsor）分量的變動(dòng)范圍不等式[6]對(duì)裝配平面的點(diǎn)進(jìn)行模擬.運(yùn)行本文編寫的MATLAB程序可模擬得到一個(gè)零件的底面和頂面點(diǎn)坐標(biāo)并計(jì)算得到擬合平面系數(shù).表1為求出的一組數(shù)據(jù)（令初始零件底面和末端零件頂面擬合平面系數(shù)均為0）.

5.1 第一類傳遞路徑的始末法線角優(yōu)化

對(duì)于第一類傳遞路徑，根據(jù)類似圖10的遺傳算法優(yōu)化流程，采用MATLAB軟件編寫程序.設(shè)定種群規(guī)模M=20、交叉概率Pe=0.7、變異概率Pm=0.05和最大遺傳代數(shù)G=50.若在一個(gè)與圖1所示類型的光學(xué)系統(tǒng)中，包含8個(gè)鏡組部件，兩相鄰鏡組部件通過(guò)端面接觸定位，需確定由第1個(gè)鏡組部件到第8個(gè)鏡組部件的始末法線角.現(xiàn)給出5組運(yùn)行結(jié)果的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值和變量解，優(yōu)化結(jié)果（保留四位小數(shù)）如表2所示，其中第4組運(yùn)行結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值隨遺傳代數(shù)的變化如圖12所示.

經(jīng)過(guò)多次運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)其均易收斂，φn最小可達(dá)到2.1073×10-8，遠(yuǎn)小于1″（1″用弧度制表示約為4.8×10-6），趨近于0.

每次遺傳算法程序的運(yùn)行在使得最終始末法線角接近于0的情況下，得到的相對(duì)裝入角度變量數(shù)據(jù)各不相同，各對(duì)應(yīng)變量間相差較大，這說(shuō)明在共軸光學(xué)系統(tǒng)中，以各零件相對(duì)裝入角度為變量、以始末法線角為目標(biāo)值的目標(biāo)函數(shù)是多元多峰函數(shù).

在此求取5組運(yùn)行結(jié)果對(duì)應(yīng)的各組相鄰零件基準(zhǔn)軸夾角的均方根進(jìn)行比較，可在控制始末法線角的基礎(chǔ)上保證兩零件間的基準(zhǔn)軸夾角不至過(guò)大.此均方根值計(jì)算公式如下

式中，φk.（k+1）為兩相鄰零件基準(zhǔn)軸夾角，根據(jù)第3節(jié)末的分析可求得.

以上5組運(yùn)行結(jié)果，第5組的φrms最小，取第5組運(yùn)行結(jié)果對(duì)應(yīng)的變量解作為指導(dǎo)光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)的依據(jù).根據(jù)4.2節(jié)中相對(duì)裝入角度誤差范圍求解流程編寫MATLAB程序，運(yùn)行結(jié)果顯示，在本例中，各相對(duì)裝入角度變量在±1°范圍內(nèi)變動(dòng)，目標(biāo)函數(shù)值仍滿足精度要求.

5.2 第二類傳遞路徑的始末法線角優(yōu)化

設(shè)8個(gè)鏡筒裝配，相鄰兩鏡筒間通過(guò)6個(gè)螺栓連接，仍以表2中零件誤差數(shù)據(jù)為例，假設(shè)Δk+1，Δk′均為0.種群規(guī)模M=200、交叉概率Pe=0.7、變異概率Pm=0.05和計(jì)算代數(shù)G=200.多次運(yùn)行根據(jù)圖10的遺傳算法優(yōu)化流程編寫的MATLAB程序，取其五組優(yōu)化結(jié)果如表3.