王郭俊 許洪國 劉宏飛

摘 要：為建立基于線性輪胎特性的雙半掛汽車列車四自由度動力學(xué)模型，提出了一種從整體角度分析的建模方法.雙半掛汽車列車由牽引車、第一節(jié)半掛車和第二節(jié)半掛車共計三個車輛單元組成.該方法采用對三個車輛單元進(jìn)行受力和力矩平衡分析，對第二個和第三個車輛單元進(jìn)行力矩平衡分析，對第三個車輛單元進(jìn)行力矩平衡分析，可列出四個微分方程并進(jìn)一步進(jìn)行求解.與傳統(tǒng)的分別對三個車輛單元進(jìn)行受力和力矩平衡分析，列出的六個微分方程相比，整體法的優(yōu)勢在于無需過多代入求解車輛單元間的約束條件，減少了化簡中的繁瑣步驟，可有效防止計算過程中出錯.在牽引車前輪角階躍輸入下，通過MATLAB仿真求解，兩種方法的仿真結(jié)果一致，驗(yàn)證了整體法建模的正確性，為下一步建立更復(fù)雜的多掛汽車列車系統(tǒng)動力學(xué)模型奠定了基礎(chǔ).對低速和高速工況下的雙半掛汽車列車各物理參數(shù)的仿真結(jié)果分別進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其存在后部放大效應(yīng)，且高速工況下更容易失穩(wěn)，進(jìn)一步驗(yàn)證了整體法仿真結(jié)果的正確性.

關(guān)鍵詞：車輛工程；雙半掛汽車列車；動力學(xué)建模；仿真；角階躍輸入

中圖分類號： U469.5文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：To develop a fourdegreesoffreedom （DOF） dynamic model for Bdouble vehicles based on linear tire characteristics， a modeling method was proposed where the system was studied from a whole view. Bdouble vehicles were made of three vehicle units， including tractor， first semitrailer and second semitrailer. This method carried out the analysis on force and moment equilibrium of three vehicle units， moment equilibrium of second and third vehicle unit， and moment equilibrium of third vehicle unit， and then four differential equations were deduced and solved further. Compared with traditional method taking the analysis on force and moment equilibrium of each vehicle unit， respectively， six differential equations were then deduced. The advantages of whole method were that it did not need to overmuch substitute and solve the constraint conditions between vehicle unit， which decreased the tedious procedures during simplification and avoided the errors in calculations effectively. With the step angle input of tractor steering wheel， simulation results of these two methods are the same asthat of MATLAB， which verifies the validity of the whole method and lays the foundation for more complex dynamic model of multitrailers combination vehicles in the next step.The results of physical parameter simulation for Bdouble vehicles were analyzed under low speed and high speed working conditions， respectively. It indicates that Bdouble vehicles possess rearward amplification （RWA） and are prone to instability more easily at high speed， which further verifies the validity of whole method.

Key words：vehicle engineering； Bdouble vehicles； dynamics modeling； simulation； step angle input

汽車列車在大型物流運(yùn)輸中極為重要，采用雙半掛汽車列車形式，可提高甩掛運(yùn)輸效率，節(jié)約能源，經(jīng)濟(jì)效益好.目前在GB1589-2016中，新增了中置軸運(yùn)輸車及其列車、中置軸貨運(yùn)掛車及其列車和長頭鉸接列車等[1].因此，建立雙半掛汽車列車系統(tǒng)動力學(xué)模型，分析其仿真結(jié)果，對汽車列車的操縱穩(wěn)定性控制和實(shí)際運(yùn)用有重要的理論指導(dǎo)意義.

文獻(xiàn)[2]建立了拖掛車輛包括半掛車和全掛車的多輪車輛模型，給出半掛車的車軸模型并分析其運(yùn)動穩(wěn)定性.黃朝勝等[3]建立了較為精細(xì)的牽引車半掛車的整車動力學(xué)仿真模型，對其折疊、甩尾、側(cè)翻及轉(zhuǎn)向瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了仿真，確定了模型的適用范圍.王國林等[4]根據(jù)達(dá)朗貝爾原理建立了八自由度半掛汽車列車數(shù)學(xué)模型，并用Matlab/Simulink對其聯(lián)合仿真，進(jìn)而進(jìn)行轉(zhuǎn)向和制動測試，驗(yàn)證了所建模型的正確性.包繼華等[5]提出利用牛頓定律和拉格朗日算子方法分別建立車輛系統(tǒng)的平動和橫擺微分方程，建模過程中不考慮車輛單元之間的約束力，降低了復(fù)雜度.文獻(xiàn)[6]建立了半掛汽車列車操縱簡化模型，并對牽引車穩(wěn)定性因數(shù)和半掛車穩(wěn)定性因數(shù)進(jìn)行分析.文獻(xiàn)[7]建立了半掛車和全掛車多軸模型的運(yùn)動方程，建立了半掛車二輪模型的運(yùn)動方程并分析其靜態(tài)和動態(tài)穩(wěn)定性.Luijten M F J等[8]利用拉格朗日方程建立了鉸接式汽車列車動力學(xué)模型并研究其側(cè)向動力學(xué)特性.房永[9]運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和拉格朗日方程建立了三自由度半掛汽車列車簡化模型，用以研究橫擺穩(wěn)定性控制算法.常勝等[10]建立了包含車身側(cè)傾和轉(zhuǎn)向系剛度的車輛模型，并對其鞍座參數(shù)進(jìn)行調(diào)試和匹配，分析參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.文獻(xiàn)[11]運(yùn)用拉格朗日方程和達(dá)朗貝爾原理建立了汽車掛車組合的運(yùn)動方程，分析了該四階系統(tǒng)的穩(wěn)定性.Lin X等[12]建立了三自由度半掛汽車列車模型，在高速工況下對半掛車進(jìn)行主動轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制，提高了其橫擺穩(wěn)定性，運(yùn)用TruckSim和Matlab/Simulink聯(lián)合仿真驗(yàn)證了算法的有效性.孫揚(yáng)[13]建立了線性四自由度全掛汽車列車模型并給出推導(dǎo)過程，對其操縱穩(wěn)定性和控制策略進(jìn)行了分析.Mendes A S等[14]介紹了可用于MATLAB仿真求解的車輛側(cè)向動力學(xué)軟件包，給出了其中關(guān)于鉸接式車輛數(shù)學(xué)模型的計算方法，包括多種輪胎模型和線性、非線性車輛模型.Mobini F等[15]建立了非線性四自由度半掛汽車模型，對制動力進(jìn)行最優(yōu)控制以提高其行駛穩(wěn)定性.Sonawane H等[16]運(yùn)用多體動力學(xué)方法建立了半掛汽車列車模型并對其穩(wěn)態(tài)操縱性能進(jìn)行優(yōu)化.文獻(xiàn)[17]提出了一種綜合主動轉(zhuǎn)向控制方法，高速時可提高全掛車的側(cè)向穩(wěn)定性，低速時可改善全掛車的軌跡跟隨性，使后部放大效應(yīng)（RWA）下降了30%.

參照物體受力分析的兩種方法，即隔離法和整體法，分別用這兩種方法建立雙半掛汽車列車四自由度模型，并給出推導(dǎo)過程；以隔離法做參照，驗(yàn)證整體法求解結(jié)果的一致性；對整體法的仿真結(jié)果進(jìn)行分析，進(jìn)一步驗(yàn)證模型的正確性.

1 建模過程

1.1 隔離法

如圖1所示，B型雙半掛汽車列車的結(jié)構(gòu)形式是由牽引車、第一節(jié)半掛車和第二節(jié)半掛車共計三個車輛單元組成；各車輛單元間通過鞍座形式聯(lián)結(jié)，共計兩個鉸接點(diǎn).

牽引車在前輪角階躍輸入下進(jìn)行穩(wěn)態(tài)圓周運(yùn)動時，假設(shè)條件為：忽略轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的影響，直接以前輪轉(zhuǎn)角作為輸入；忽略懸架的作用，整個車身只做平行于地面的平面運(yùn)動；沿x軸的縱向速度vx視為不變；忽略左右輪胎由于載荷變化引起的輪胎特性變化和輪胎回正力矩的作用，可得簡化后的雙半掛汽車列車單軌模型；側(cè)向加速度限定在0.4 g以下，輪胎側(cè)偏特性處于線性范圍內(nèi)；各車輛單元的后軸一般為多軸形式，需簡化為輪胎集中的單軸形式.由此可得，雙半掛汽車列車簡化為沿y軸側(cè)向運(yùn)動和繞z軸橫擺運(yùn)動的模型，如圖2所示.其四個自由度分別為：牽引車的側(cè)向速度vy，牽引車的橫擺角速度r，第一個鉸接點(diǎn)的鉸接角速度1，第二個鉸接點(diǎn)的鉸接角速度2.

2 仿真結(jié)果驗(yàn)證與分析

2.1 兩種方法仿真結(jié)果對比

雙半掛汽車列車各參數(shù)取值見表1.

在牽引車前輪轉(zhuǎn)角階躍輸入工況下，仿真結(jié)果如圖5所示，整體法與隔離法的各物理量計算結(jié)果一致，曲線重合，驗(yàn)證了整體法建模過程的正確性.

在建模過程中，整體法與隔離法共用與牽引車相關(guān)的方程式（1）、（4）、（5）和約束條件式（13）；方程組轉(zhuǎn)化為矩陣形式，整體法的式（28）同隔離法的式（14）中的第一個等式，則P、Q和R各矩陣的第一行元素分別和P1、Q1、R1各矩陣的第一行元素相同；整體法的式（32）同隔離法聯(lián)立式（11）～（13）的化簡結(jié)果，則C和C1矩陣相同，這些為整體法和隔離法的相同點(diǎn).

隔離法優(yōu)勢為思路清晰，隔離各車輛單元分析，列出性質(zhì)相同和形式相似的方程式；劣勢為約束條件代入方程式進(jìn)一步化簡時復(fù)雜繁瑣，易出現(xiàn)計算錯誤.整體法優(yōu)勢為簡潔明了，無需把大部分約束條件代入方程式，只需推導(dǎo)各車輛單元的質(zhì)心側(cè)向加速度和各軸的側(cè)向速度方程式.整體法中包括運(yùn)用隔離法，如牽引車和第一節(jié)半掛車當(dāng)作整體，對此隔離分析導(dǎo)出式（22）；第一節(jié)半掛車和第二節(jié)半掛車當(dāng)作整體，對此隔離分析導(dǎo)出式（30）；第二節(jié)半掛車當(dāng)作整體，對此隔離分析導(dǎo)出式（31）.因此，整體法更適合多掛汽車列車的建模與仿真.

2.2 仿真結(jié)果分析

對仿真結(jié)果進(jìn)行歸類分析，在牽引車前輪角階躍輸入下，低速（vx=10 m/s）和高速（vx=30 m/s）工況時，各車輛單元的側(cè)向速度、橫擺角速度、鉸接角速度、鉸接角度、側(cè)向加速度和質(zhì)心位置隨時間的變化趨勢，如圖6所示.

如圖6（a）所示，低速工況下，各車輛單元的側(cè)向速度為正值，有向圓周內(nèi)側(cè)偏移的運(yùn)動趨勢，僅有vy1出現(xiàn)峰值.各車輛單元的側(cè)向速度達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的響應(yīng)時間分別為3.7 s、4.8 s和7.3 s，存在滯后性，其穩(wěn)態(tài)值大小關(guān)系為vyvy2.除vy2的峰值小于vy1的峰值外，振蕩頻率和幅度依次增大，存在后部放大效應(yīng).

如圖6（b）所示，低速工況下，各車輛單元的橫擺角速度曲線平滑，僅有r1出現(xiàn)峰值.其依次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的響應(yīng)時間分別為1.9 s、5.3 s和7.3 s，存在滯后性，其穩(wěn)態(tài)值的大小關(guān)系為r=r1=r2；高速工況下，各車輛單元的橫擺角速度曲線出現(xiàn)峰值依次為0.17 rad、0.19 rad和0.18 rad，峰值響應(yīng)時間依次為0.4 s、1.0 s和1.5 s.其達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的響應(yīng)時間分別為3.9 s、6.2 s和6.6 s，存在滯后性，穩(wěn)態(tài)值的大小關(guān)系為r=r1=r2.除r2的峰值小于r1的峰值外，振蕩頻率和幅度依次增大，存在后部放大效應(yīng).

如圖6（c）所示，低速工況下，兩個鉸接角速度的峰值依次為0.093 rad/s和0.050 rad/s，峰值響應(yīng)時間依次為0.3 s和1.0 s，依次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間為3.3 s和4.9 s，均存在滯后性，穩(wěn)態(tài)值均逐漸接近0；高速工況下，兩個鉸接角速度運(yùn)動趨勢不變，峰值和振蕩幅度均增大，峰值為0.14 rad/s和0.11 rad/s，峰值響應(yīng)時間為0.3 s和0.8 s，依次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間為3.8 s和4.4 s，均存在滯后性，穩(wěn)態(tài)值均逐漸接近0.

如圖6（d）所示，低速工況下，鉸接角度曲線平穩(wěn)，沒有峰值，穩(wěn)態(tài)值依次為0.089 rad和0.094 rad，達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間依次為4.5 s和6.6 s，存在滯后性；高速工況下，鉸接角度出現(xiàn)峰值依次為0.061 rad和0.073 rad，峰值時間為0.7 s和1.3 s.穩(wěn)態(tài)值依次為0.027 rad和0.046 rad，達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間依次為5.7 s和6.4 s，存在滯后性.鉸接角度比低速工況時要小，表明兩節(jié)半掛車有向圓周外側(cè)偏移的運(yùn)動趨勢，其峰值和振蕩幅度有所增大.

如圖6（e）所示，低速工況下，僅有ay存在峰值，兩節(jié)半掛車的側(cè)向加速度曲線平滑且響應(yīng)時間滯后，依次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間為3.5 s、6.1 s和8.2 s，其穩(wěn)態(tài)值均為1.15 m/s2；高速工況下，各車輛單元的側(cè)向加速度增大，峰值、振蕩頻率、振蕩幅度依次增大，存在后部放大效應(yīng)，峰值依次為3.55 m/s2、3.92 m/s2和4.46 m/s2，峰值時間依次為1.2 s、1.4 s和1.7 s，依次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間為5.8 s、6.8 s和7.7 s，其穩(wěn)態(tài)值均為3.44 m/s2.文獻(xiàn)[17]闡釋了后部放大系數(shù)（RWA）的概念，ay2與ay的峰值比值即為雙半掛汽車列車的后部放大系數(shù)，則低速時的RWA=0.7317，高速時的RWA=1.2558，表明高速工況下有發(fā)生失穩(wěn)的趨勢.

如圖6（f）所示，低速工況下，雙半掛汽車列車的運(yùn)動軌跡半徑較?。桓咚俟r下，其運(yùn)動軌跡半徑較大，這與實(shí)際情況相符[17].

對比低速和高速工況下的仿真結(jié)果可知，側(cè)向速度的方向發(fā)生了變化且絕對值增大，各物理量的振蕩頻率和幅度增大，響應(yīng)時間提前，穩(wěn)定時間滯后，存在后部放大效應(yīng)，運(yùn)動半徑增大，與車輛的實(shí)際運(yùn)動情況相同，進(jìn)一步驗(yàn)證了整體法仿真結(jié)果的正確性.

3 結(jié) 論

采用隔離法和整體法分別建立了適用于MATLAB的雙半掛汽車列車四自由度模型.由于隔離法與整體法的仿真結(jié)果一致，驗(yàn)證了整體法建模的正確性.整體法的優(yōu)勢為不必過多考慮車輛單元間的約束條件，減少了方程組的化簡步驟，有效提高了求解過程中的正確率，適合多掛汽車列車的建模仿真，為建立更復(fù)雜的系統(tǒng)動力學(xué)模型奠定基礎(chǔ).

在牽引車前輪角階躍輸入下，各車輛單元的側(cè)向速度、橫擺角速度、鉸接角速度、鉸接角度和側(cè)向加速度有相同的變化趨勢；高速工況相對低速工況而言，各物理量的振蕩頻率和幅度增大，峰值變動，響應(yīng)時間提前，穩(wěn)定時間滯后，存在后部放大效應(yīng)（RWA），更容易失穩(wěn).

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