胡杰鑫，尹 偉，劉儒祥，張盟奇，謝里陽(yáng)

(1．東北大學(xué)航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng)110819;2．北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京100076)

0 引言

模態(tài)分析是把復(fù)雜的實(shí)際結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成模態(tài)模型，根據(jù)試驗(yàn)測(cè)得頻響函數(shù)矩陣或脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣，利用模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法最終求出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。這一方法可以用于振動(dòng)測(cè)量和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析，并且模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果可以指導(dǎo)有限元模型的修正，使建立的有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)相符［1］。

利用模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證、修改等效的有限元模型的思路，已得到了許多學(xué)者的廣泛應(yīng)用。蘇忠亭等［2］基于某火炮身管的模態(tài)試驗(yàn)，利用支持向量機(jī)響應(yīng)面模型修正理論，對(duì)身管組件的有限元模型進(jìn)行修正，并用MAC值驗(yàn)證了修正模型的準(zhǔn)確性。黎定仕等［3］對(duì)導(dǎo)引頭部件分別進(jìn)行了模態(tài)試驗(yàn)和有限元模態(tài)分析，對(duì)比結(jié)果從而驗(yàn)證其有限元模型的正確性。Yang等［4］對(duì)由復(fù)合材料構(gòu)成的波紋殼進(jìn)行了模態(tài)試驗(yàn)分析，建立了一個(gè)與試驗(yàn)結(jié)果相符的有限元模型，該模型可以為輕量級(jí)波紋殼的設(shè)計(jì)、制造提供參考。初昶波等［5］對(duì)航天相機(jī)碳纖維外罩分別進(jìn)行有限元模態(tài)分析和模態(tài)試驗(yàn)測(cè)試，通過(guò)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了有限元分析方法在航天相機(jī)方面廣泛應(yīng)用的可行性。丁劍平等［6］也利用有限元分析和模態(tài)試驗(yàn)的方法，對(duì)某全地形車車架的有限元模型進(jìn)行了驗(yàn)證，該模型為后續(xù)的分析工作打下了基礎(chǔ)。Anuar等［7］利用印刷電路板模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)印刷電路板的有限元模型進(jìn)行修改與優(yōu)化，為研究電子系統(tǒng)的故障及預(yù)防措施提供了可靠的模型。

利用經(jīng)過(guò)模態(tài)試驗(yàn)驗(yàn)證的有限元模型進(jìn)行其他研究的思路，也被許多學(xué)者廣泛采納。丁繼鋒等［8］總結(jié)了大型復(fù)雜航天器結(jié)構(gòu)有限元模型的驗(yàn)證策略，即利用模態(tài)試驗(yàn)和相關(guān)分析，并利用修正后的有限元模型進(jìn)行了相關(guān)研究。Kaewunruen等［9］在實(shí)際使用的鐵路路軌上，利用模態(tài)試驗(yàn)分析方法，獲得了鐵路路軌的動(dòng)態(tài)剛度、阻尼系數(shù)等參數(shù)，并建立有限元模型，基于此確定了該鐵路路軌所能允許的列車最大時(shí)速與載荷。李耀明等［10］利用聯(lián)合收獲機(jī)底盤機(jī)架的模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了底盤機(jī)架的有限元模型的準(zhǔn)確性，并對(duì)該模型進(jìn)行了進(jìn)一步分析，解決了聯(lián)合收獲機(jī)正常工作時(shí)的振動(dòng)和噪音問(wèn)題，并提出改進(jìn)建議。Magalhaes等［11］分別利用模態(tài)試驗(yàn)和有限元分析對(duì)新布拉加體育館的屋頂進(jìn)行研究，對(duì)比了兩種方法分析結(jié)果的相關(guān)性，并利用有限元模型對(duì)新布拉加體育館屋頂模態(tài)阻尼的衰減情況進(jìn)行了估計(jì)?？芎＼姷龋?2］在葉片模態(tài)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，建立了葉片振動(dòng)分析有限元模型，進(jìn)而研究了航空發(fā)動(dòng)機(jī)風(fēng)扇葉片在多種工況下的振動(dòng)特性，這對(duì)葉片的維護(hù)和改型有指導(dǎo)意義。劉龍濤等［13］利用模態(tài)試驗(yàn)修正了某結(jié)構(gòu)件的有限元模型，而后研究了該結(jié)構(gòu)由隨機(jī)振動(dòng)導(dǎo)致的疲勞損傷，提出了產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)改進(jìn)方案。Lee等［14］對(duì)印刷電路板進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，建立了與實(shí)際印刷電路板等效的有限元模型，并利用該有限元模型確定了印刷電路板在實(shí)際安裝時(shí)，螺栓預(yù)緊力的大小。除此之外，王善坡等［15］通過(guò)專用汽車分動(dòng)箱的有限元模態(tài)分析和路試試驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)，提取出其真實(shí)的模態(tài)參數(shù)，確定了分動(dòng)箱上應(yīng)急泵螺栓斷裂原因，并提出改進(jìn)方法。Han等［16］利用模態(tài)試驗(yàn)與有限元分析相結(jié)合的方法，對(duì)長(zhǎng)途客車的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，并通過(guò)改變車架底盤剛度解決了該問(wèn)題。Shi等［17］利用模態(tài)試驗(yàn)與有限元分析對(duì)上海環(huán)球金融中心進(jìn)行了研究，獲得了上海環(huán)球金融中心的模態(tài)參數(shù)，為將來(lái)上海環(huán)球金融中心的健康監(jiān)測(cè)提供了基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。聞?shì)督龋?8］利用模態(tài)試驗(yàn)分析了復(fù)合材料發(fā)動(dòng)機(jī)的模態(tài)參數(shù)及振型，確定了造成發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的主要原因，并提出了相應(yīng)的結(jié)構(gòu)改進(jìn)措施。

針對(duì)列車枕梁結(jié)構(gòu)，由于其龐大的尺寸、復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)件試驗(yàn)成本較高、周期較長(zhǎng)，嚴(yán)重制約了對(duì)該結(jié)構(gòu)的相關(guān)性能研究，因此借鑒其他學(xué)者的經(jīng)驗(yàn)，建立一個(gè)與枕梁結(jié)構(gòu)相符的有限元模型將會(huì)較好地解決這一問(wèn)題。因此，本研究對(duì)列車枕梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)和有限元分析:首先設(shè)計(jì)枕梁結(jié)構(gòu)自由模態(tài)試驗(yàn)，并獲得枕梁結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)振型;而后利用有限元模態(tài)分析手段，計(jì)算獲得枕梁結(jié)構(gòu)的理論固有頻率及模態(tài)振型;最后通過(guò)固有頻率和模態(tài)振型的相關(guān)分析，驗(yàn)證該枕梁結(jié)構(gòu)有限元模型與枕梁結(jié)構(gòu)實(shí)際結(jié)構(gòu)相符，為后續(xù)的其他研究奠定基礎(chǔ)。

1 模態(tài)試驗(yàn)理論

模態(tài)分析有4個(gè)基本假設(shè):

1)線性假設(shè):假設(shè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性是線性的，即任何輸入組合引起的輸出等于各自輸出的線性組合;

2)時(shí)不變假設(shè):結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性不隨時(shí)間而改變，即微分方程的系數(shù)是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù);

3)可觀測(cè)性假設(shè):即用于確定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性所需的全部參數(shù)都是可測(cè)量的;

4)互易性假設(shè):假設(shè)模態(tài)分析中的剛體矩陣、阻尼矩陣、質(zhì)量矩陣和頻響函數(shù)均為對(duì)稱矩陣。

絕大多數(shù)結(jié)構(gòu)可離散成有限個(gè)自由度的多自由度系統(tǒng)。對(duì)于一個(gè)有n個(gè)自由度的系統(tǒng)，需用n個(gè)獨(dú)立的物理坐標(biāo)來(lái)描述其物理參數(shù)模型。在線性范圍內(nèi)，物理坐標(biāo)系的自由振動(dòng)響應(yīng)為n個(gè)主振動(dòng)的線性疊加。每個(gè)主振動(dòng)都是一種特定形態(tài)的自由振動(dòng)，振動(dòng)頻率即為系統(tǒng)的固有頻率，振動(dòng)形態(tài)即為系統(tǒng)的模態(tài)振型［19］。

多自由度線性非時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

式中:F為激勵(lì)向量;x為響應(yīng)向量;M、C、K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣。

對(duì)式(1)兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換得:

用jω替代s，進(jìn)入傅氏域內(nèi)處理:

對(duì)于線性不變系統(tǒng)，系統(tǒng)的任何一點(diǎn)的響應(yīng)均可以表示為各階模態(tài)響應(yīng)的線性組合:

式中，qr(ω)為r階模態(tài)坐標(biāo);φl(shuí)r為l測(cè)點(diǎn)的r階模態(tài)振型系數(shù)。

對(duì)于N個(gè)測(cè)點(diǎn)，各階振型系數(shù)可組成列向量，稱為r階模態(tài)振型。

2 枕梁結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)

2．1 列車枕梁結(jié)構(gòu)

列車枕梁結(jié)構(gòu)由枕梁結(jié)構(gòu)主體、邊梁、地板和吊耳焊接而成。枕梁結(jié)構(gòu)主體是由2個(gè)口字型型材和上下蓋板焊接而成的箱式結(jié)構(gòu)，蓋板之間焊有加強(qiáng)筋;邊梁與地板先焊接在一起，枕梁結(jié)構(gòu)主體再與邊梁焊接;而后枕梁結(jié)構(gòu)主體再通過(guò)焊接的吊耳與地板相連。枕梁結(jié)構(gòu)表面有用于承載的空氣彈簧安裝位置和中心銷安裝位置，上表面尺寸約為2．80 m×1．75 m，具體試驗(yàn)件的結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)定義如圖1所示。

圖1 枕梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig．1 Bolster structure

2．2 試驗(yàn)方案

根據(jù)列車枕梁的結(jié)構(gòu)特征，判斷其低階模態(tài)為垂向模態(tài)，因此激勵(lì)方向?yàn)榇瓜?，且試?yàn)過(guò)程中測(cè)量枕梁結(jié)構(gòu)各測(cè)點(diǎn)垂向的加速度信號(hào)。

圖2 枕梁結(jié)構(gòu)自由模態(tài)試驗(yàn)Fig．2 Free modal test of the bolster structure

對(duì)枕梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行自由模態(tài)試驗(yàn)，采用柔性繩索將枕梁結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件懸吊起來(lái)，近似模擬列車枕梁結(jié)構(gòu)的無(wú)約束狀態(tài)，如圖2所示。自由模態(tài)試驗(yàn)系統(tǒng)主要包括柔性繩索、MDR－80－V5數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)、力錘、BW11530加速度傳感器、CL－YD－305力傳感器、計(jì)算機(jī)、分析系統(tǒng)等。

圖3 枕梁結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件簡(jiǎn)化模型Fig．3 Simplified model of the bolster structure

將枕梁結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件近似簡(jiǎn)化為如圖3所示的平面結(jié)構(gòu)模型，并在枕梁結(jié)構(gòu)上表面均勻布置12個(gè)加速度傳感器，具體的傳感器位置及編號(hào)如圖4所示。

2．3 試驗(yàn)步驟

自由模態(tài)試驗(yàn)的具體步驟:

1)在枕梁結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件的規(guī)定位置安裝加速度傳感器，并與數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)連接;

2)采用柔性繩索將枕梁結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件懸吊起來(lái);

3)選擇合適的力錘和錘頭，并與相應(yīng)測(cè)試系統(tǒng)連接;

4)設(shè)置程序，采樣頻率為2．56 kHz，分析頻率為 1．00 kHz，然后開始試驗(yàn);

5)在8#點(diǎn)沿垂向進(jìn)行力錘敲擊，測(cè)量各測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)信號(hào)，共進(jìn)行5次試驗(yàn);

6)試驗(yàn)結(jié)束，整理試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖4 加速度傳感器位置示意圖Fig．4 Positions of the acceleration sensors

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

3．1 測(cè)量結(jié)果

8#點(diǎn)進(jìn)行激勵(lì)時(shí)的力信號(hào)的時(shí)域波形如圖5所示，各測(cè)量點(diǎn)相應(yīng)的響應(yīng)信號(hào)的時(shí)域波形如圖6所示，這里以6#的響應(yīng)波形為例。

圖5 8#激勵(lì)信號(hào)Fig．5 Incentive signal at 8#

圖6 6#時(shí)域信號(hào)Fig．6 Time domain signal at 6#

利用數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)，對(duì)測(cè)得的枕梁結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件自由模態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到頻響函數(shù)曲線如圖7所示。通過(guò)觀察和分析圖7，發(fā)現(xiàn)各頻響函數(shù)曲線在200 Hz之內(nèi)有5個(gè)比較明顯的峰值。采用正交多項(xiàng)式方法對(duì)這5個(gè)峰值進(jìn)行提取，獲得枕梁結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件的前五階固有頻率分別為 92．70、126．78、143．38、185．20、199．94 Hz。

圖7 頻響函數(shù)曲線Fig．7 Frequency response function curves

3．2 模態(tài)振型

根據(jù)采集的數(shù)據(jù)，利用分析軟件獲得圖7中前五階固有頻率所對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型如圖8所示。

綜合分析枕梁結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件的五階模態(tài)振型發(fā)現(xiàn):一階模態(tài)振型中，枕梁結(jié)構(gòu)4個(gè)角變形較大，對(duì)角變形方向相同，中部變形相對(duì)較小;二階模態(tài)振型中，枕梁結(jié)構(gòu)中部下凹，兩側(cè)凸起，4個(gè)角變形較小;三階模態(tài)振型中，左右兩側(cè)變形方向相反，左側(cè)變形較大，4個(gè)角的變形相對(duì)較小;四階模態(tài)振型中，左右兩側(cè)呈現(xiàn)相反波浪，中部和4個(gè)角變形均較小;五階模態(tài)振型中，4個(gè)角向下彎，兩側(cè)上凸，右側(cè)變形很大，中部變形較小。

圖8 枕梁結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件模態(tài)振型Fig．8 Mode shapes of the bolster structure

4 有限元分析

4．1 自由模態(tài)分析

根據(jù)列車枕梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，利用Solidworks三維建模軟件，建立列車枕梁結(jié)構(gòu)三維模型，如圖9所示。

利用ANSYS Workbench的Modal模塊對(duì)列車枕梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行自由模態(tài)分析，其中，材料為鋁合金(彈性模量 69 GP，泊松比 0．3，密度 2．7×103kg/m3)，網(wǎng)格為4節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元。

不考慮固有頻率為0的剛體模態(tài)，有限元計(jì)算確定的枕梁結(jié)構(gòu)前五階固有頻率分別為98．57、121．52、151．10、179．88、192．90 Hz。

4．2 模態(tài)振型

有限元計(jì)算確定的枕梁結(jié)構(gòu)前五階固有頻率所對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型如圖10所示。

圖9 枕梁結(jié)構(gòu)模型Fig．9 Bolster structurer model

圖10 所示的有限元計(jì)算模態(tài)振型，與圖8所示的試驗(yàn)測(cè)得的振型基本一致:一階模態(tài)振型對(duì)角同向變形，中部基本無(wú)變形;二階模態(tài)振型中部下凹，左右上翹;三階模態(tài)振型呈現(xiàn)左高右低的趨勢(shì);四階模態(tài)振型左右兩側(cè)為相反波浪，中部基本無(wú)變形;五階模態(tài)振型整體呈現(xiàn)上凸趨勢(shì)，左右兩側(cè)變形均較大。

圖10 列車枕梁結(jié)構(gòu)模態(tài)振型Fig．10 Mode shapes of the bolster structure

5 相關(guān)分析

為判斷所建的列車枕梁結(jié)構(gòu)有限元模型與枕梁結(jié)構(gòu)實(shí)際結(jié)構(gòu)的符合程度，對(duì)自由模態(tài)仿真結(jié)果進(jìn)行固有頻率及模態(tài)振型的相關(guān)分析。

5．1 頻率相關(guān)分析

有限元方法計(jì)算的枕梁結(jié)構(gòu)固有頻率與自由模態(tài)試驗(yàn)確定的頻率之間的相關(guān)性用相對(duì)誤差來(lái)表示，如表1所示。

表1 頻率相關(guān)分析Table 1 Frequency correlation analysis

由表1可知，一階固有頻率和三階固有頻率的相對(duì)誤差較大，分別為6．33%和5．38%，其他三階的固有頻率的相對(duì)誤差均小于5%。從總體來(lái)看，有限元計(jì)算的固有頻率與試驗(yàn)結(jié)果較接近。

5．2 振型相關(guān)分析

有限元方法計(jì)算的前五階模態(tài)振型與自由模態(tài)試驗(yàn)確定的振型之間的相關(guān)性用模態(tài)置信度(MAC)表示，計(jì)算公式［20］為:

其中，{ψ*}t為試驗(yàn)?zāi)B(tài)向量;{ψ}f為有限元計(jì)算模態(tài)向量。

圖11 MAC矩陣Fig．11 The MAC matrix

有限元計(jì)算的模態(tài)振型與自由模態(tài)試驗(yàn)確定的振型的符合度(MAC)如圖11所示，五階模態(tài)振型的MAC值均大于85%，表明振型的一致性較好，完全滿足工程使用要求。

6 結(jié)束語(yǔ)

本研究設(shè)計(jì)了列車枕梁結(jié)構(gòu)自由模態(tài)試驗(yàn)，通過(guò)試驗(yàn)獲得了枕梁結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件的固有頻率及相應(yīng)的模態(tài)振型，其前五階固有頻率分別為92．70、126．78、143．38、185．20、199．94 Hz。利用有限元仿真分析手段，建立了列車枕梁結(jié)構(gòu)有限元模型，并對(duì)該模型進(jìn)行自由模態(tài)仿真分析。對(duì)比仿真和試驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn):兩者的固有頻率基本一致，一階固有頻率和三階固有頻率的相對(duì)誤差分別為6．33%和5．38%，其他三階固有頻率的相對(duì)誤差均小于5%;兩者的模態(tài)振型也基本一致，五階模態(tài)振型的MAC值均大于85%，完全滿足工程使用要求。因此，該列車枕梁結(jié)構(gòu)有限元模型能較好地反映其實(shí)際結(jié)構(gòu)。