張艷龍， 王 麗， 唐斌斌

(1 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070；2 蘭州城市學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，蘭州 730070)

含摩擦及間隙的碰撞振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)普遍存在工程應(yīng)用中，如制動(dòng)振動(dòng)與尖叫、沖擊旋轉(zhuǎn)鉆井、裝于滑動(dòng)軸承上的大型高速轉(zhuǎn)子的油膜振蕩、離合顫振、機(jī)器人關(guān)節(jié)處的摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)、噪聲控制等。摩擦及間隙構(gòu)成的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，吸引了眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者致力于建立不同的力學(xué)模型和摩擦模型，來(lái)研究摩擦及間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。文獻(xiàn)[1]從一類(lèi)軸承模型中簡(jiǎn)化出含間隙及摩擦的單自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析發(fā)現(xiàn)黏著的存在，并且可以用來(lái)預(yù)測(cè)螺栓的松動(dòng)；文獻(xiàn)[2]研究單邊約束的兩自由度塑性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，分析分段特性、擦邊奇異性和參數(shù)變化對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的影響；文獻(xiàn)[3-5]利用含有干摩擦的Filippov振動(dòng)系統(tǒng)研究滑移分岔和混沌動(dòng)力學(xué)行為；文獻(xiàn)[6-7]利用增量諧波平衡法研究了含分段阻尼和剛度的非線性系統(tǒng)；丁旺才等[8]結(jié)合Lyapunov指數(shù)數(shù)值仿真分析了兩自由度干摩擦振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)得到系統(tǒng)經(jīng)周期運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)通向混沌的道路；錢(qián)大帥等[9]利用諧波平衡法研究了干摩擦質(zhì)塊雙黏著運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的級(jí)數(shù)形式解及對(duì)黏滑邊界的分析。上述文獻(xiàn)建立和研究不同含有靜摩擦及間隙的力學(xué)模型，分析和解釋工程中的振動(dòng)。

實(shí)際上，兩接觸物體之間的摩擦，其摩擦力不僅由摩擦接觸表面的相對(duì)速度決定，還取決于兩接觸物體之間的某些內(nèi)部變量和影響因素，如兩接觸物體之間摩擦溫度及粗糙度等，一般將粗糙度簡(jiǎn)化為鬃毛剛度(Bristle Stiffness)和鬃毛阻尼(Bristle Damping)等，稱(chēng)此類(lèi)摩擦模型為動(dòng)摩擦模型，如LuGre動(dòng)摩擦模型[11]、Dankowicz動(dòng)摩擦、改進(jìn)的LuGre動(dòng)摩擦模型。動(dòng)摩擦模型深入到微觀，從宏觀和微觀兩方面探討摩擦性質(zhì)，動(dòng)摩擦模型本身具有動(dòng)力學(xué)特性，能夠更加深入地描述兩物體接觸面之間的摩擦狀態(tài)。文獻(xiàn)[12]對(duì)含有LuGre動(dòng)摩擦的兩自由度制動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，研究動(dòng)摩擦對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響。Saha等[13-14]針對(duì)含LuGre動(dòng)摩擦、改進(jìn)的LuGre動(dòng)摩擦和Dankowicz動(dòng)摩擦的單自由度光滑振動(dòng)系統(tǒng)，通過(guò)多尺度法得出系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的次臨界和超臨界分岔點(diǎn)，比較了不同系統(tǒng)參數(shù)變化下的相軌跡；Saha等[15]針對(duì)含改進(jìn)LuGre動(dòng)摩擦的單自由度光滑系統(tǒng)，通過(guò)相圖說(shuō)明系統(tǒng)存在黏滯運(yùn)動(dòng)，選取不同的系統(tǒng)參數(shù)分析了帶與質(zhì)塊的相對(duì)速度對(duì)摩擦特性曲線影響，說(shuō)明了改進(jìn)和未改進(jìn)LuGre動(dòng)摩擦對(duì)系統(tǒng)行為的影響。本文在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上將改進(jìn)的LuGre動(dòng)摩擦模型引入含分段阻尼和剛度的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分類(lèi)討論，通過(guò)數(shù)值仿真探討含分段阻尼和剛度及改進(jìn)的LuGre動(dòng)摩擦的單自由度非光滑系統(tǒng)存在的摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)現(xiàn)象以及系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在滑移-黏滯-碰撞接觸-顫振之間轉(zhuǎn)換的動(dòng)力學(xué)行為。將改進(jìn)的LuGre動(dòng)摩擦模型運(yùn)用到此類(lèi)系統(tǒng)模型中可以更全面地描述摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)特性以及對(duì)機(jī)械機(jī)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化、運(yùn)動(dòng)過(guò)程控制等起到很好的理論指導(dǎo)意義。

1 力學(xué)模型

圖1 含改進(jìn)的LuGre動(dòng)摩擦的非光滑振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of non-smooth vibration system with modified LuGre dynamic friction

(1)

質(zhì)塊M在x=d處發(fā)生碰撞，構(gòu)成非光滑振動(dòng)系統(tǒng)，根據(jù)碰撞定律可得

(2)

改進(jìn)的LuGre動(dòng)摩擦力的無(wú)量綱為

(3)

鬃毛剛度均勻形變z的演化由式(4)支配

(4)

式中：w1>0和w2>0是兩個(gè)常量；函數(shù)g(vr)為高斯模型

g(vr)=fR(μk+(μs-μk)e-(vr/vs)2)

(5)

系統(tǒng)含分段阻尼和彈簧及改進(jìn)的LuGre動(dòng)摩擦構(gòu)成的非連續(xù)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將會(huì)在滑移、黏滯、顫振與碰撞之間相互轉(zhuǎn)換，運(yùn)動(dòng)過(guò)程變的復(fù)雜。為了能夠更好的理解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化，根據(jù)質(zhì)塊的受力和速度變化情況，將運(yùn)動(dòng)過(guò)程分情形討論：

情形1質(zhì)塊與帶相對(duì)滑移運(yùn)動(dòng)

(6)

情形2質(zhì)塊與帶相對(duì)黏滯運(yùn)動(dòng)

(7)

(8)

情形3質(zhì)塊靜止?fàn)顟B(tài)

(9)

情形4質(zhì)塊與擋板碰撞運(yùn)動(dòng)

質(zhì)塊為M的質(zhì)塊在x=d處與右邊的擋板發(fā)生彈性碰撞接觸，根據(jù)碰撞關(guān)系得

(11)

如果當(dāng)質(zhì)塊第i次接觸約束面時(shí)，質(zhì)塊與帶的相對(duì)速度為零或在零附近波動(dòng)，質(zhì)塊所受合力小于0

(12)

質(zhì)塊將會(huì)在約束面處發(fā)生顫振或黏滯，直到質(zhì)塊所受合力的方向發(fā)生改變，質(zhì)塊重新回到滑移運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

如果當(dāng)質(zhì)塊第i次接觸約束面時(shí)，質(zhì)塊與帶的相對(duì)速度為零或在零附近波動(dòng)，質(zhì)塊所受合力大于等于0

(13)

質(zhì)塊M將不會(huì)在約束面處發(fā)生顫振或黏滯，質(zhì)塊所受合力會(huì)將質(zhì)塊M從顫振或黏滯狀態(tài)拉離約束面。

2 振動(dòng)系統(tǒng)的黏滑顫振動(dòng)力學(xué)分析

2.1 黏滑運(yùn)動(dòng)

選取系統(tǒng)參數(shù)一：k2=0.5，ξ1=0.5，ξ2=2.5 ，d=0.8，p0=2.5，vb=0.35，vs=0.25，μ=0.3，μk=0.3，μs=0.3，fR=10.5，w1=1，w2=1，σ0=100，σ1=10，σ2=1，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，以激振頻率ω為分岔控制參數(shù)，局部分岔圖2(a)呈現(xiàn)出質(zhì)塊的運(yùn)動(dòng)速度與激振頻率ω的分岔關(guān)系，速度大于零的部分取質(zhì)塊與擋板碰撞接觸時(shí)的Poincaré截面；為了更清楚的了解系統(tǒng)隨控制參數(shù)的變化情況，得到速度小于零的部分取質(zhì)塊與擋板接觸分離時(shí)的Poincaré截面得到的分岔圖如圖2(b)所示，由于分岔圖中得不到系統(tǒng)的黏滯情況，具體的黏滯運(yùn)動(dòng)見(jiàn)相圖所示；圖3(a)展示了質(zhì)塊和帶的相對(duì)與改進(jìn)的LuGre摩擦力之間的關(guān)系，動(dòng)摩擦模型可預(yù)測(cè)在純滑移區(qū)域的順時(shí)針和逆時(shí)針兩種不同的遲滯環(huán)及下垂摩擦特性，摩擦力隨著相對(duì)滑移速度的增長(zhǎng)的變化關(guān)系；圖3(b)呈現(xiàn)出質(zhì)塊的運(yùn)動(dòng)速度與帶速vb之間的變化關(guān)系。相圖和Poincaré映射圖如圖4(a)～圖4(d)所示，時(shí)間歷程圖如圖4(e)～圖4(h)所示。將含改進(jìn)的LuGre動(dòng)摩擦模型引進(jìn)含有分段剛度阻尼約束的碰撞接觸系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)摩擦對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為轉(zhuǎn)換有著重要的影響，尤其是系統(tǒng)在滑移運(yùn)動(dòng)與黏滯運(yùn)動(dòng)之間的轉(zhuǎn)換。具體詳細(xì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析如下，質(zhì)塊在動(dòng)摩擦力及激振力共同作用下，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生著復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化。圖4(a)和圖4(e)呈現(xiàn)出系統(tǒng)在激振頻率ω=1.8時(shí)發(fā)生周期1-1-0運(yùn)動(dòng)，質(zhì)塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與擋板發(fā)生一次碰撞接觸和一次接觸分離，在相圖中碰撞接觸點(diǎn)用黑圓點(diǎn)表示，接觸分離點(diǎn)用黑叉點(diǎn)表示，圖4(b)～圖4(d)表示相同，相軌跡表現(xiàn)出質(zhì)塊無(wú)黏滯運(yùn)動(dòng)，質(zhì)塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在滑移與碰撞之間相互轉(zhuǎn)換；隨著激振頻率的減小，當(dāng)ω=0.9時(shí)系統(tǒng)發(fā)生周期1-1-1黏滯運(yùn)動(dòng)，由Poincaré映射可以很清楚的看出系統(tǒng)在碰撞面處，發(fā)生了一次碰撞接觸和一次黏滯運(yùn)動(dòng)，如圖4(b)和圖4(f)所示；當(dāng)激振頻率降到ω=0.3時(shí)系統(tǒng)發(fā)生周期1-2-1運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為在滑移-接觸碰撞-分離接觸-黏滯之間轉(zhuǎn)換，具體分析過(guò)程以黏滯結(jié)束點(diǎn)A作為質(zhì)塊運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，質(zhì)塊在A點(diǎn)被迫與擋板碰撞，碰撞接觸后與擋板一起進(jìn)入滑移運(yùn)動(dòng)，質(zhì)塊到達(dá)B點(diǎn)與擋板分離，再次以滑移狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，與擋板發(fā)生第二次碰撞接觸，碰撞接觸后與擋板共同滑移到E點(diǎn)，質(zhì)塊在E點(diǎn)與擋板分離，質(zhì)塊與擋板分離后，質(zhì)塊滑移運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，開(kāi)始進(jìn)入黏滯狀態(tài)，與帶黏滯運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，質(zhì)塊的一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)結(jié)束，質(zhì)塊在滑移-碰撞接觸-黏滯之間的運(yùn)動(dòng)過(guò)程轉(zhuǎn)換如相圖4(c)和時(shí)間歷程圖4(g)所示；圖4(d)和圖4(h)呈現(xiàn)出的系統(tǒng)發(fā)生周期1-2-1黏滯運(yùn)動(dòng)，具體分析過(guò)程與上述一致。

圖2 黏滑運(yùn)動(dòng)分岔圖 圖3 帶速與摩擦力和質(zhì)塊速度的關(guān)系(ω=1.0) Fig. 2 Bifurcation diagrams of the Fig.3 The relationships between belt speed and slip-stick motion friction or mass velocity when ω=1.0

圖4 黏滑運(yùn)動(dòng)相圖及時(shí)間歷程圖Fig.4 Phase diagrams and history time diagrams of the slip-stick motion

2.2 黏滑顫振運(yùn)動(dòng)

選取系統(tǒng)參數(shù)二：k2=2.5，ξ1=1.5，ξ2=2.5，d=0.7，p0=1.2，vb=0.2，vs=0.11，μ=0.3，μk=0.3，μs=0.3，fR=10.5，w1=1，w2=1，σ0=100，σ1=10，σ2=1，以激振頻率ω為分岔控制參數(shù)，將含改進(jìn)的LuGre動(dòng)摩擦模型引進(jìn)含有分段非光滑接觸的碰撞系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，選取質(zhì)塊速度大于零的部分與擋板碰撞接觸時(shí)的Poincaré截面得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)局部分岔圖圖5(a)所示；為了更進(jìn)一步說(shuō)明激振頻率ω與質(zhì)塊速度的分岔關(guān)系，將質(zhì)塊速度小于零的部分取質(zhì)塊與擋板接觸分離時(shí)的Poincaré截面所得分岔圖如圖5(b)所示，由于分岔圖中得不到黏滯和顫振的具體變化情況，關(guān)于黏滯和顫振的詳細(xì)變化過(guò)程有相圖和時(shí)間歷程圖表示；圖6(a)呈現(xiàn)出相對(duì)速度與動(dòng)摩擦力的變化關(guān)系；圖6(b)展示了帶速vb與質(zhì)塊速度的分岔關(guān)系，結(jié)合帶與質(zhì)塊的相對(duì)速度和動(dòng)摩擦力之間的關(guān)系，可得出質(zhì)塊在速度為零的附近發(fā)生顫振。從分岔圖中得出，分岔控制參數(shù)在0～2.4內(nèi)變化時(shí)，質(zhì)塊的運(yùn)動(dòng)速度主要集中在零附近，由相圖及時(shí)間歷程圖可清晰地看出，質(zhì)塊在其速度為零時(shí)發(fā)生顫振及靜止運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。對(duì)系統(tǒng)的具體運(yùn)動(dòng)過(guò)程轉(zhuǎn)換分析如下，相圖7(a)呈現(xiàn)出系統(tǒng)在控制參數(shù)ω=0.2時(shí)，質(zhì)塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在滑移-接觸碰撞-顫振-靜止-滑移之間相互轉(zhuǎn)換，時(shí)間歷程圖7(e)完整地展示出；控制參數(shù)的進(jìn)一步變化，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程會(huì)更加的復(fù)雜，相圖7(b)及時(shí)間歷程圖7(f)呈現(xiàn)出質(zhì)塊在滑移-接觸碰撞-顫振-靜止-黏滯-滑移之間相互轉(zhuǎn)換，為了更加詳細(xì)地闡述系統(tǒng)在諸多運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的轉(zhuǎn)換，對(duì)時(shí)間歷程圖7(f)詳細(xì)說(shuō)明，從黏滯結(jié)束的A點(diǎn)開(kāi)始分析質(zhì)塊的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換過(guò)程，黏滯運(yùn)動(dòng)結(jié)束的A點(diǎn)為質(zhì)塊被迫與擋板碰撞接觸，速度發(fā)生變化，在激振力與摩擦力相互作用下，進(jìn)入顫振狀態(tài)，隨著質(zhì)塊的受力變化，質(zhì)塊在顫振結(jié)束后從C點(diǎn)進(jìn)入靜止?fàn)顟B(tài)，靜止運(yùn)動(dòng)，隨著時(shí)間的變化，簡(jiǎn)諧激振力增大，在D點(diǎn)重新將其拉回滑移狀態(tài)，質(zhì)塊滑移運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，此時(shí)質(zhì)塊所受摩擦力大于其它力之和，且運(yùn)動(dòng)速度與帶速相等，質(zhì)塊發(fā)生黏滯運(yùn)動(dòng)，黏滯運(yùn)動(dòng)持續(xù)到質(zhì)塊與擋板發(fā)生碰撞接觸在A點(diǎn)結(jié)束，表示質(zhì)塊在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)完成了滑移-接觸碰撞-顫振-靜止-黏滯等運(yùn)動(dòng)過(guò)程的相互轉(zhuǎn)換；當(dāng)分岔控制參數(shù)ω=3.0時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程在滑移-顫振-碰撞接觸之間相互轉(zhuǎn)換，如相圖7(c)和時(shí)間歷程圖7(g)所示，具體分析過(guò)程與上述一致；當(dāng)分岔控制參數(shù)ω=3.5時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生周期1-2-0運(yùn)動(dòng)，無(wú)黏滯及顫振運(yùn)動(dòng)發(fā)生，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程在滑移-碰撞接觸之間相互轉(zhuǎn)換。

圖5 黏滑顫振運(yùn)動(dòng)分岔圖 圖6 帶速與摩擦力和質(zhì)塊速度的關(guān)系(ω=0.5) Fig.5 Bifurcation diagrams of the Fig.6 The relationships between belt speed and slip-stick and chattering motion friction or mass velocity when ω=0.5

圖7 黏滑顫振運(yùn)動(dòng)相圖和時(shí)間歷程圖Fig.7 Phase diagrams and time history diagrams of the slip-stick and chattering motion

3 結(jié) 論

本文建立了一類(lèi)由含分段阻尼剛度和改進(jìn)的LuGre動(dòng)摩擦構(gòu)成的非光滑振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型，給出了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程和不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的判斷條件，數(shù)值仿真了摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。主要研究結(jié)論如下：

(1)考慮含分段阻尼剛度和改進(jìn)的LuGre動(dòng)摩擦后，在一定的系統(tǒng)參數(shù)下帶與質(zhì)塊的相對(duì)速度對(duì)摩擦力的影響較大。

(2)在一定的系統(tǒng)參數(shù)下，系統(tǒng)系統(tǒng)在低頻區(qū)域存在滑移-碰撞接觸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程向滑移-黏滯-碰撞接觸或者滑移-黏滯-顫振-碰撞接觸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程轉(zhuǎn)換現(xiàn)象，系統(tǒng)參數(shù)的變化使系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為變得非常復(fù)雜。

因此，通過(guò)本文的研究可以根據(jù)需要調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)(改變部分系統(tǒng)結(jié)構(gòu))使系統(tǒng)工作在一定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如避免發(fā)生顫振或黏滯運(yùn)動(dòng)等，從而為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程控制和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的依據(jù)。在低頻下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中極易出現(xiàn)黏滯及顫振運(yùn)動(dòng)。

[ 1 ] CONE K M, ZADOKS R I. A numerical study of an impact oscillator with the addition of dry friction [J]. Journal of Sound and Vibration, 1995, 188(5): 659-683.

[ 2 ] LUO G W, Lü X H,MA L. Periodic-impact motions and bifurcations in dynamics of a plastic impact oscillator with a frictional slider [J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 2008, 27(6): 1088-1107.

[ 3 ] SOOBBARAYEN K, BESSET S, SINOU J J. Noise and vibration for a self-excited mechanical system with friction [J]. Applied Acoustics, 2013, 74(10): 1191-1204.

[ 4 ] LICSK G, CSERNK G. On the chaotic behaviour of a simple dry-friction oscillator [J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2014, 95(1): 55-62.

[ 5 ] ANDREAUS U, CASINI P. Friction oscillator excited by moving base and colliding with a rigid or deformable obstacle [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2002, 37(1): 117-133.

[ 6 ] XU L, LU M W, CAO Q. Bifurcation and chaos of a harmonically excited oscillator with both stiffness and viscous damping piecewise linearities by incremental harmonic balance method [J]. Journal of Sound and Vibration, 2003, 264(4): 873-882.

[ 7 ] XU L, LU M W, CAO Q. Nonlinear vibrations of dynamical systems with a general form of piecewise-linear viscous damping by incremental harmonic balance method [J]. Physics Letters A, 2002, 301(1/2): 65-73.

[ 8 ] 丁旺才, 張有強(qiáng). 干摩擦對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的影響分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2009, 28(6):110-112.

DING Wangcai, ZHANG Youqiang. Analysis of dry friction on vibro-impact system period motion effect [J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(6): 110-112.

[ 9 ] 錢(qián)大帥, 劉占生, 劉鎮(zhèn)星,等. 干摩擦質(zhì)塊雙黏著運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的級(jí)數(shù)形式解及黏滑邊界分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2013,32(9): 73-78.

QIAN Dashuai, LIU Zhansheng, LIU Zhenxing, et al. Series solution of double-stick motion response of dry friction oscillator and stick-slip boundary analysis [J]. Journal of Vibration and Shock, 2013,32(9): 73-78.

[10] LIU Y, EKATERINA P, MARIAN W, et al. Forward and backward motion control of a vibro-impact capsule system [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2015, 70(4): 30-46.

[11] DE WIT C C, OLSSON H, ASTROM K J, et al. A new model for control of systems with friction [J]. IEEE Transactions Automatic Control, 1995,40(3): 419-425.

[12] HOFFMANN N P. Linear stability of steady sliding in point contacts with velocity dependent and LuGre type friction [J]. Journal of Sound and Vibration, 2007,301(3/4/5): 1023-1034.

[13] SAHA A, WAHI P. An analytical study of time-delayed control of friction-induced vibrations in a system with a dynamic friction model [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2014, 63(1/2/3/4): 60-70.

[14] SAHA A, WIERCIGROCH M, JANKOWSKI K, et al. Investigation of two different friction models from the perspective of friction-induced vibrations [J]. Tribology International, 2015, 90(10): 185-197.

[15] SAHA A, WAHI P, WIERCIGROCH M, et al. A modified LuGre friction model for an accurate prediction of friction force in the pure sliding regime [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2016, 80: 122-131.