，，

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

再保險可以幫助商避免潛在的巨大損失，而投資能使保險公司實現(xiàn)其管理目標．因此再保險-投資對保險商來說是兩個重要的問題．保險市場中的再保險-投資問題越來越引起學(xué)者們的重視，關(guān)于此類問題的研究也越來越多.Browne[1]最先研究了Lundberg風險模型，給出了保險商終端財富的指數(shù)效用最大化和破產(chǎn)概率的最小化．Bauerle[2]首次提到了“比例再保險”這一再保險名詞，并且很好地解決了相關(guān)的均值-方差問題.Wang[3]等在均值-方差準則以及常彈性絕對風險厭惡(CRRA)效用情形下有效地運用鞅方法研究了最優(yōu)投資組合問題．Hipp[4]等,Promislow[5]等研究了最優(yōu)再保險和投資問題，以及怎樣來降低保險人破產(chǎn)的概率．Liang[6]等在一個不可測的馬爾可夫調(diào)制的復(fù)合Poisson風險模型中討論了最優(yōu)再保險與投資問題．之后，Lin[7]等和Gu[8]等分別應(yīng)用常方差彈性模型(CEV)來研究最優(yōu)比例再保險跳擴散風險過程．Li[9]等在均值-方差準則下開始使用Heston模型來研究最優(yōu)比例再保險和投資問題．在Heston模型下的跳-擴散風險過程，Zhao[10]等考慮了保險商最優(yōu)超額賠損再保險以及投資問題．基于Heston模型下的默認市場，Zhu[11]等討論了保險商最優(yōu)再保險和投資問題．

以上諸多問題的研究中并未考慮通貨膨脹情形，而真實市場環(huán)境下通脹對投資決策起到了一定的作用.通貨膨脹是指在一段給定的時間內(nèi)，給定經(jīng)濟體中的物價水平普遍持續(xù)增長，從而造成貨幣購買力的持續(xù)下降.現(xiàn)如今，通貨膨脹已經(jīng)存在于生活的方方面面，會直接影響投資者投資消費.Munk[12]等考慮了通脹環(huán)境下，一個可投資于現(xiàn)金、名義債券和股票的冪效用投資者的最優(yōu)資產(chǎn)配置問題.Kwak[13]等在通脹環(huán)境下，運用鞅方法給出了一個家庭的最優(yōu)消費、投資和人壽保險決策.Guan[14]等利用CARA效用函數(shù)考慮了通脹的最優(yōu)再保險和投資策略.國內(nèi)學(xué)者的許多文章也考慮了通脹對投資組合的影響.費為銀[15]等在Knight不確定和通脹環(huán)境下研究了最優(yōu)投資消費問題，考慮了消費投資中通脹波動率的影響.

在Gu[8]等的基礎(chǔ)上進行推廣，利用楊鵬[16]折現(xiàn)的方法引入了通脹因素，考慮通脹環(huán)境下保險商最優(yōu)再保險-投資問題.運用動態(tài)規(guī)劃原理，通過求解HJB方程，獲得值函數(shù)的解析解以及關(guān)于保險商的最優(yōu)再保險-投資策略．將綜合考慮通貨膨脹環(huán)境下基于CEV模型的最優(yōu)再保險-投資策略問題，最后使用Matlab軟件進行數(shù)值模擬，分析通脹波動率等參數(shù)對最優(yōu)再保險-投資的影響.

1 模型建立

1.1再保險市場

根據(jù)經(jīng)典的Cramér-Lundberg模型，保險商在時刻t的盈余水平用P(t)表示：

(1)

通過期望值原理可知，c=(1+η)λμ∞,其中η>0是相關(guān)的再保險安全負荷系數(shù).

其中，保費率:

這里θ表示再保險商的安全負荷系數(shù)，為了再保險市場無套利，要求θ>η.根據(jù)Grandell[17]可知，盈余水平P(a)可近似表示為：

(2)

其中W0(t)是標準布朗運動.

考慮超額賠損再保險：

dR(a)(t)=[θμ(a(t))+(η-θ)μ∞]dt+σ(a(t))dW0(t).

(3)

1.2 金融市場

假設(shè)金融市場中存在以下兩種資產(chǎn).

無風險資產(chǎn)B(t)價格方程滿足：

dB(t)=RB(t)dt,

其中R是確定性的無風險利率.

風險資產(chǎn)S(t)價格方程滿足以下CEV模型：

dS(t)=μsS(t)dt+σsS(t)β+1dW(t),

其中μs(μs>R)是風險資產(chǎn)平均收益率，σsS(t)β+1表示一個瞬時波動率.

假設(shè)通脹變化率滿足：

dL(t)=L(t)[μpdt+σpdW(t)].

其中,μp,σp分別表示通貨膨脹率的預(yù)期增長率和預(yù)期波動率.

μp-σpσsSβ)dt+(SβσS-σP)dW(t)].

假設(shè)保險商在上述通貨膨脹影響下進行投資，其中在t時刻投資在風險資產(chǎn)的現(xiàn)金流為π(t)，于是保險商的盈余過程滿足下面的隨機微分方程：

2 最優(yōu)再保險-投資策略

在上述模型的基礎(chǔ)上，以財富期望效用最大化為目標，尋求最優(yōu)再保險-投資策略.假設(shè)收益函數(shù)為：

Hπ(t,x,s1)=E[u(X(T))|X(t)=x,S1(t)=s1,L(t)=l],

H(t,x,s1)=supHπ(t,x,s1,l),

目標是最優(yōu)策略π*∈π使H(t,x,s1,l)=Hπ*(t,x,s1,l).

設(shè)保險商財富效用采用冪效用函數(shù)：

(4)

其中γ為冪效用下的風險厭惡因子.

易知該問題的HJB方程為：

(5)

由一階條件可得：

(6)

(7)

將式(6)，式(7)代入式(5)整理得：

(8)

考慮冪效用函數(shù)式(4)，可設(shè)

(9)

此時式(9)各偏導(dǎo)如下：

將以上得到的各偏導(dǎo)代入式(8)可得：

(10)

消除式(10)中對x的依賴，得到：

(11)

假設(shè)式(11)解的結(jié)構(gòu)：

f(t,s1,l)=u(t,s1,l)1-γ,u(T,s1,l)=1.

(12)

則式(12)各類偏導(dǎo)如下：

(13)

將式(13)代入式(11)得：

(14)

令式(14)大括號里算式等于0，則可得到關(guān)于u(t,s1,l)的微分方程：

(15)

假設(shè)式(15)形式如下：

u(t,s1,l)=exp{A(t)+B(t)s1+C(t)l}.

(16)

邊界條件A(t)=0,B(T)=1,C(T)=1.則式(16)各偏導(dǎo)如下：

us1s1=B2(t)u,ul=C(t)u,ull=C2(t)u,us1l=B(t)C(t)u.

(17)

將式(17)代入到式(15)中，得到：

(18)

消除式(18)中關(guān)于s1,l的影響，可以得到如下3個方程：

求解以上3個等式可得：

其中，

最后，得到最優(yōu)再保險投資策略為：

3 數(shù)值模擬

為了更好地分析財富水平和通脹因素對最優(yōu)再保險和投資的影響，利用MATLAB進行了數(shù)值模擬，并對所得最優(yōu)策略進行分析.盈余水平波動率對最優(yōu)再保險策略的影響如圖1所示．圖1中參數(shù)為：θ=0.1,γ=0.3,x=1.圖1是由兩種不同的線組成，這是考慮了在其他參數(shù)不變的情況下，僅僅考慮盈余水平波動率的改變，造成的最優(yōu)再保險策略的變化．由圖1可知，再保險策略隨著系數(shù)σ的增加而減小，對保險商來說就存在更低的保險風險，因為保險商將更多的風險轉(zhuǎn)移給再保險商來得到最優(yōu)的一個財富.

安全系數(shù)θ對最優(yōu)再保險策略的影響如圖2所示.圖2中參數(shù)為：θ=0.1,γ=0.3,σ=0.15,x=1.θ意味著對沖保險風險的成本，θ越高，保險商所用來對沖保險風險的成本就越高，θ越大，再保險公司的保費收入越大，即保險公司進行更多的再保險，也就是進行更多的再保險策略.所以再保險策略和再保險商安全系數(shù)θ之間是正相關(guān)的.

圖1 盈余水平波動率對最優(yōu)再保險策略的影響圖2 安全系數(shù)θ對最優(yōu)再保險策略的影響

圖3 通脹系數(shù)對最優(yōu)投資策略的影響

4 小結(jié)

在通脹環(huán)境下，對保險商的風險資產(chǎn)進行通脹折現(xiàn)，并給出了財富過程的動力學(xué)方程，建立了相應(yīng)的HJB方程.通過求解方程，獲得值函數(shù)的解析解和最優(yōu)再保險-投資策略；最后，通過數(shù)值模擬給出通脹對最優(yōu)投資的影響. 研究所得結(jié)果和相應(yīng)分析為保險商在金融市場中再保險-投資提供一定的理論指導(dǎo)．

在現(xiàn)有工作的基礎(chǔ)上考慮通脹對保險商最優(yōu)再保險投資策略的影響，保險商可以投資于風險資產(chǎn)和無風險資產(chǎn)，投資更加多樣化.在進行討論時并沒有考慮交易費用和稅收等摩擦成本，后面將進一步討論帶摩擦成本情況下保險商最優(yōu)再保險-投資問題.

[1] S BROWNE.Optimal investment policies for a firm with a random risk process:exponential utility and minimizing the probability of ruin[J].Mathematics of Operations Research,1995,20(4):937-958.

[3] Z WANG,J XIA,L ZHANG.Optimal investment for an insurer:the martingale approach[J].Insurance:Mathematics and Economics,2007,40(2):322-334.

[4] C HIPP,M PLUM.Optimal investment for insurers[J].Insurance:Mathematics and Economics,2000,27(2):580-587.

[5] S DAVID PROMISLOW,V R YOUNG.Minimizing the probability of ruin when claims follow brownian motion with drift[J].North American Actuarial Journal,2005,9(3):109-128.

[6] Z LIANG,E BAYRAKTAR.Optimal reinsurance and investment with unobservable claim size and intensity[J].Insurance:Mathematics and Economics,2014,55:156-166.

[7] X LIN,Y LI.Optimal reinsurance and investment for a jump diffusion risk process under the cev model[J].North American Actuarial Journal,2011,15(3):417-431.

[8] M GU,Y YANG,S LI,et al.Constant elasticity of variance model for proportional reinsurance and investment strategies[J].Insurance:Mathematics and Economics,2010,46(3):580-587.

[9] J Z LI,R WU.Upper bounds for ruin probabilities under stochastic interest rate and optimal investment strategies[J].Acta Mathematica Sinica,English Series,2012,28(7):1 421-1 430.

[10] H ZHAO,X RONG,Y ZHAO.Optimal excess-of-loss reinsurance and investment problem for an insurer with jump-diffusion risk process under the heston model[J].Insurance:Mathematics and Economics,2013,53(3):504-514.

[11] H ZHU,C DENG,S YUE,et al.Optimal reinsurance and investment problem for an insurer with counterparty risk[J].Insurance:Mathematics and Economics,2015,61:242-254.

[12] C MUNK,C S?RENSEN,T NYGAARD VINTHER.Dynamic asset allocation under mean-reverting returns,stochastic inerest rates,and inflation uncertainty:are popular recommendations consistent with rational behavior?[J].International Review of Economics & Finance,2004,13(2):141-166.

[13] M KWAK,B H LIM.Optimal portfolio selection with life insurance under inflation risk[J].Journal of Banking & Finance,2014,46:59-71.

[14] G GUAN,Z LIANG.Optimal reinsurance and investment strategies for insurer under interest rate and inflation risks[J].Insurance:Mathematics and Economics,2014,55:105-115.

[15] 費為銀,李淑娟.Knight不確定下帶通脹的最優(yōu)消費和投資模型研究[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2012,29(6):799-806.

[16] 楊鵬.通貨膨脹影響下基于隨機微分博弈的最優(yōu)再保險和投資[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計,2016,32(2):147-156.

[17] J GRANDELL.Aspects of risk theory[M].New York:Springer-Verlag,1991.