閆婷婷

（晉中職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 晉中 030600）

傳染病是人類疾病中不可避免且廣泛存在的一種疾病，因其種類繁多危害性大且情況各異，所以人類對傳染病的研究一直在深入且細(xì)化。通過數(shù)學(xué)模型對傳染病的傳播過程、病齡結(jié)構(gòu)、預(yù)防控制進(jìn)行細(xì)化分析研究，做出疾病控制的有效措施。

在辛京奇等文中基于經(jīng)典的具有常數(shù)輸入率和雙線性傳染率的SIR模型，建立一類具有接種的SIR-V傳染病模型，得到了基本再生數(shù)，并證明了全局漸近穩(wěn)定性[1]。楊亞莉等討論了一類具有接種和因病死亡的SIS-V傳染病模型的全局穩(wěn)定性[2]。本文主要討論一類具有預(yù)防接種的傳染病模型，分析其平衡點(diǎn)的類型及無病平衡點(diǎn)和有病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。

1 模型的建立

如式（1）所示為一種具有預(yù)防接種的傳染病模型，

其中S(t)表示t時(shí)刻易感染者數(shù)量，I(t)表示t時(shí)刻染病者數(shù)量，R(t)表示t時(shí)刻恢復(fù)者數(shù)量。N =S +I+R 表示總?cè)丝跀?shù)量，a1表示出生率與死亡率的差值，a2表示染病率，a3表示接種率，a4表示恢復(fù)率。

引理1常數(shù)變量公式

2 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分析

定理1 總?cè)丝跀?shù)量N是不變的。

證明 由于 N =S +I +R ，故有

因此N是不變的，即 N= N0。

定理2系統(tǒng)（1）的解是有界的。

證明 因S(t)，I(t)，R(t)均表示人口數(shù)量，故S(t)，I(t)，R(t)≥0，又 N =S +I +R，再利用定理1知

系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)應(yīng)滿足方程組

經(jīng)計(jì)算，知（2）有兩個(gè)解

設(shè)P(S?,I?,R?)為系統(tǒng)（1）的任意一個(gè)平衡點(diǎn)，則（1）在P處的線性近似系統(tǒng)的特征方程為

因此系統(tǒng)（1）在1P處的特征方程為：

經(jīng)計(jì)算解得

當(dāng) R1＜1時(shí)， λ2＜0，因此當(dāng) R1＜1時(shí)，為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；

當(dāng) R1＞1時(shí)， λ2＞0，因此，當(dāng) R1＞1時(shí)，P1為不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

當(dāng) R1＞1，P2為正的平衡點(diǎn)，符合實(shí)際情況，系統(tǒng)（1）在P2點(diǎn)處的特征方程為;

特征根 λ1=-a1＜0，剩下的兩特征根應(yīng)滿足方程

化簡，得

進(jìn)一步化簡，得

故由引理4知，P2為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

定理3 當(dāng) R1＜1時(shí)，系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn) P1是穩(wěn)定的；當(dāng) R1＞1時(shí)，平衡點(diǎn) P1是不穩(wěn)定的，但平衡點(diǎn)P2是穩(wěn)定的。

3 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理4 當(dāng) R1＜1時(shí)，系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn) P1是全局漸近穩(wěn)定的。

由Bendixson判定知，系統(tǒng)（1）在G內(nèi)無閉軌，又知當(dāng) R1＜1時(shí)，在G內(nèi)只有一個(gè)平衡點(diǎn) P1是穩(wěn)定的，故 P1點(diǎn)是全局穩(wěn)定的。

由于（1）中的兩個(gè)方程不含R，故也可以考察（1）的前兩個(gè)方程構(gòu)成的子系統(tǒng)：

（3）的平衡點(diǎn)應(yīng)滿足方程組

經(jīng)計(jì)算知（4）有兩個(gè)解

（3）在 Q (S?,I?)處的線性近似系統(tǒng)的特征方程為

因此（3）在Q1處的特征方程為：

解得 λ1= -(a1+a3)＜ 0，

因此可見當(dāng) R1＜1時(shí)， λ2＜0，因此Q1為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。當(dāng) R1＞1， λ2＞0，Q1為不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

系統(tǒng)（3）在Q2處的特征方程為

顯然，從上式可以看出，當(dāng) R1＜1時(shí)，有特征根λ ＜0，故Q2為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

即有如下的結(jié)論：

定理5 當(dāng) R1＜1時(shí)，（3）的平衡點(diǎn)Q1是穩(wěn)定的；當(dāng) R1＞1時(shí)，Q1是不穩(wěn)定的，但Q2是穩(wěn)定的。

定理6 對于系統(tǒng)（1）當(dāng) R1＜1時(shí)，有

證明 當(dāng) R1＜1時(shí)，Q1是全局穩(wěn)定的，因此有

將上式代入系統(tǒng)（1）中，有如下的極限方程

利用常數(shù)變量公式解得

又因R(0)=0，故C=0，即

從上述分析可以看出，當(dāng) R1＜1時(shí)，該傳染病根本不會傳播開來。但 R1＞1時(shí)，該傳染病將會流行開來，因此，需要通過降低R1的值來控制。

4 結(jié)論

本文主要討論了一類具有預(yù)防接種的傳染病模型，利用常數(shù)變量公式及Bandixson判定法進(jìn)行了理論研究，分析了其平衡點(diǎn)類型，得到了無病平衡點(diǎn)和有病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。當(dāng)基本再生指數(shù)小于1時(shí)，該傳染病根本不會傳播開來。但基本再生指數(shù)大于1時(shí)，該傳染病將會流行開來，因此，需要通過降低R1的值來控制傳染病的流行。

[1] 辛京奇，王文娟.一類帶有接種的SIR傳染病模型的全局分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2001,(20):71-76.

[2] 楊亞莉，李建全，張吉廣.一類帶有接種的傳染病模型的全局性分析[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào)，2009,(5):729-731+749.