張竹青，謝志江，蹇開林，緱雙雙

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實驗室， 重慶　400044)

獲軌跡試驗(簡稱CTS試驗)，是研究分離體與母機(jī)安全分離特性的一項風(fēng)洞模擬試驗技術(shù)。分離體模型6自由度機(jī)構(gòu)(下文簡稱CTS機(jī)構(gòu)[1])是CTS試驗系統(tǒng)的核心，通過控制實現(xiàn)分離體模型6個自由度的運(yùn)動(X，Y，Z，偏航，俯仰，滾轉(zhuǎn))。CTS機(jī)構(gòu)的精度是整個CTS試驗準(zhǔn)確性和可靠性的保障，為提高精度，需要對引起末端位姿誤差的各項因素進(jìn)行分析研究，以達(dá)到對末端位姿誤差進(jìn)行補(bǔ)償?shù)哪康?，從而提高運(yùn)動精度。

CTS機(jī)構(gòu)從本質(zhì)上來說是一個6自由度的機(jī)械手[2]。對CTS機(jī)構(gòu)來說，運(yùn)動精度分為兩種[3]：重復(fù)定位精度和絕對定位精度。一般情況下，重復(fù)定位精度高于絕對定位精度[4]。隨著我國綜合國力的增強(qiáng)和新型飛行器研制技術(shù)的快速發(fā)展，對CTS試驗也提出了更高的要求[5]。之前研制的CTS機(jī)構(gòu)，由于當(dāng)時的科學(xué)條件限制難以滿足當(dāng)前飛行器研制的需求。近年來，飛行器的研制和改型任務(wù)日益繁重[6]，迫切需要研制新型的CTS試驗系統(tǒng)，提高其可靠性和相關(guān)性能。本課題組研制開發(fā)的CTS機(jī)構(gòu)將用于風(fēng)洞捕獲軌跡試驗，完成相關(guān)的試驗項目。

CTS機(jī)構(gòu)的誤差補(bǔ)償采用參數(shù)誤差直接修正的方法，通常實際參數(shù)與理論參數(shù)存在差異，從而導(dǎo)致末端執(zhí)行器產(chǎn)生運(yùn)動誤差?？赏ㄟ^參數(shù)標(biāo)定求出實際參數(shù)，然后修改理論值，減小實際值與理論值之間的差異，讓運(yùn)動學(xué)模型盡量接近真實情況，最后利用修正過的運(yùn)動學(xué)公式求解驅(qū)動值，從而達(dá)到減小末端位姿誤差的目的。

1　CTS系統(tǒng)坐標(biāo)系定義

本文對CTS機(jī)構(gòu)誤差分析分為兩部分：一是機(jī)構(gòu)幾何誤差分析；二是機(jī)構(gòu)零位誤差分析。在誤差分析前需要先建立坐標(biāo)系，在該機(jī)構(gòu)的誤差分析及補(bǔ)差過程中涉及風(fēng)洞固定坐標(biāo)系、分離體體軸坐標(biāo)系、天平坐標(biāo)系和CTS機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系。

1.1　風(fēng)洞固定坐標(biāo)系Oxdydzd

圖1　風(fēng)洞固定坐標(biāo)系與體軸坐標(biāo)系定義

風(fēng)洞固定坐標(biāo)系Oxdydzd是整個捕獲軌跡試驗的參考坐標(biāo)系，不隨模型的轉(zhuǎn)動而轉(zhuǎn)動。其原點(diǎn)在風(fēng)洞噴管端面前250 mm處，位于風(fēng)洞試驗段縱軸上；xd軸沿著試驗段縱軸，逆氣流方向為正；yd軸位于試驗段縱對稱平面內(nèi)，垂直縱軸向上為正；zd軸垂直于縱對稱面，從逆氣流方向看，向右為正。風(fēng)洞固定坐標(biāo)系如圖1所示。

1.2　分離體體軸坐標(biāo)系Oxtytzt

分離體體軸系Oxtytzt的原點(diǎn)位于分離體模型的理論質(zhì)心。xt軸平行于分離體模型的前行方向；yt軸在分離體模型縱對稱平面內(nèi)垂直于xt軸，方向向上為正；zt軸垂直于分離體模型縱對稱面，方向向右為正。分離體體軸坐標(biāo)系如圖1所示。

1.3　天平坐標(biāo)軸系Oxyz

天平坐標(biāo)軸系Oxyz是固定在天平上的坐標(biāo)系。其原點(diǎn)O為天平的力矩參考點(diǎn)；x軸沿天平原點(diǎn)中心線指向模型端；y垂直于Ox軸，在天平縱對稱面內(nèi)，向上為正；z軸可用右手定則確定

1.4　機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系Oxzyzzz

機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系Oxzyzzz原點(diǎn)O為尾支桿長度為設(shè)計長度500 mm處的末端點(diǎn)，總體坐標(biāo)系不隨機(jī)構(gòu)的運(yùn)動而改變，固定在空間中。沿著尾支桿軸線向外的方向為xz軸正向；yz軸向上為正；zz軸可用右手定則確定。該坐標(biāo)系與尾支桿等于原長時的天平坐標(biāo)系重合，當(dāng)尾支桿長度變化時，天平坐標(biāo)系會隨之改變，而CTS機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系的位置不變。

2　CTS機(jī)構(gòu)幾何誤差分析

給定機(jī)構(gòu)指令位置，逆解求出驅(qū)動值，驅(qū)動機(jī)構(gòu)運(yùn)動，則實際位置和指令位置有偏差。需要對機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)換矩陣Tz調(diào)整，使得計算的正解位姿與實際正解位姿盡可能接近。再通過調(diào)整后的正解方程反解出逆解方程，給定指令位姿，驅(qū)動機(jī)構(gòu)運(yùn)動，則最終的實際位姿與指令位姿更加接近。

加工幾何誤差引起的位姿誤差值可由式(1)計算。

ΔXz=ΔTzq

(1)

其中：ΔXz代表末端位姿誤差列向量；q代表機(jī)構(gòu)輸入值，為各驅(qū)動滑塊滑移距離；ΔTz表示位姿誤差矩陣。將式(1)展開成矩陣形式有

(2)

式(2)中ΔT11、ΔT12、ΔT21、ΔT22均為3×3的矩陣。ΔT11表示機(jī)構(gòu)X、Y、Z向?qū)к壟c機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸線xz、yz、zz軸不平行導(dǎo)致的位置誤差矩陣；ΔT12和ΔT22分別表示由機(jī)構(gòu)實際偏航、滾轉(zhuǎn)軸線分別與機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系yz軸、zz軸不重合而引起的位置誤差矩陣和姿態(tài)誤差矩陣。為簡化誤差計算過程，在實際中確定機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系時，按照滾轉(zhuǎn)軸線的方向來確定zz軸的方向。ΔT21表示直線滑塊驅(qū)動引起的姿態(tài)角誤差矩陣，由于實際中機(jī)構(gòu)位置的變化不會引起姿態(tài)角的變化，因此ΔT21為零矩陣。

2.1　導(dǎo)軌與總體坐標(biāo)系軸線不平行誤差分析

理論情況下，實現(xiàn)末端分離體模型平動的3根導(dǎo)軌X、Y、Z分別與機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系的xz軸、yz軸、zz軸平行，末端的3個位移是解耦的，因此驅(qū)動X向滑塊沿著X直線導(dǎo)軌滑移只會引起分離體模型xz向的位移，同理，驅(qū)動Y、Z方向的滑塊只會引起分離體模型相應(yīng)方向的位移。但是實際加工出來的機(jī)構(gòu)存在導(dǎo)軌與機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)軸不平的情況，那么機(jī)構(gòu)末端3個方向的位移與滑塊的滑移距離就不再是解耦的，而是相互耦合在一起。分離體模型理論質(zhì)心3個方向的誤差分別設(shè)為Δx、Δy、Δz，則將導(dǎo)軌與坐標(biāo)軸不平行導(dǎo)致的誤差寫成矩陣形式可表示為

(3)

結(jié)合式(2)，有

(4)

這一部分的誤差辨識可以考慮用最小二乘法多項式擬合[7]來確定。通過分別測量機(jī)構(gòu)X、Y、Z單軸運(yùn)動的數(shù)據(jù)，擬合出驅(qū)動滑塊滑移距離和分離體模型理論質(zhì)心位移誤差之間的曲線關(guān)系，得到擬合函數(shù)，即可辨識出導(dǎo)軌與軸線不平行引起的誤差矩陣ΔT11。

2.2　偏航和俯仰軸線與總體坐標(biāo)系軸線不重合誤差分析

當(dāng)偏航和俯仰軸線與機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系yz軸或zz軸不重合時，機(jī)構(gòu)繞偏航軸或者俯仰軸運(yùn)動時，會引起分離體模型理論質(zhì)心平動的位置誤差和繞軸線轉(zhuǎn)動的姿態(tài)誤差。

2.2.1位置誤差分析

圖2　偏航軸線偏移示意圖

理想情況下偏航軸線和機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系的yz軸是重合的，繞著偏航軸線的偏轉(zhuǎn)，尾支桿末端的天平校心運(yùn)動軌跡為圓O上的一段圓弧。但實際情況中，由于加工裝配誤差存在，兩軸線不重合，那么機(jī)構(gòu)繞著偏航軸旋轉(zhuǎn)時會引起機(jī)構(gòu)天平校心沿著圓C的圓弧運(yùn)動，如圖2所示。

坐標(biāo)系Oxzyzzz為機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系，尾支桿理論長度為l0，實際長度為l。在理想的情況下，當(dāng)機(jī)構(gòu)繞著yz軸偏航ψ時，天平校心的理論位置為

(5)

在實際情況中，天平校心運(yùn)動軌跡所在圓C的圓心坐標(biāo)為(c1p,c2p,c3p)，法向量為np，半徑為rp，對應(yīng)圓C的參數(shù)方程[8-9]為

(6)

其中：(a1p,a2p,a3p)與(b1p,b2p,b3p)分別對應(yīng)單位向量a和b，它們相互垂直又垂直于np；ψ表示繞著偏航軸yz轉(zhuǎn)過的角度，隨著ψ的變化，可以求出實際天平校心在機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系中的位置。

偏航軸線偏移引起的天平校心的位置誤差值可表示為：

(7)

俯仰軸線偏移對應(yīng)見圖3。

圖3　俯仰軸線偏移示意圖

(8)

由于實際機(jī)構(gòu)滾轉(zhuǎn)軸線和機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系xz軸線重合，因此機(jī)構(gòu)滾轉(zhuǎn)運(yùn)動不會引起天平校心位置的運(yùn)動。

理論偏航角和俯仰角分別是偏航、俯仰驅(qū)動滑塊滑移距離的函數(shù)，即ψ=f(qp)，θ=f(qf)。綜上分析，偏航俯仰軸線偏移引起天平校心的位置誤差為

(9)

2.2.2姿態(tài)誤差分析

圖4　剛體轉(zhuǎn)動示意圖

由于偏航、俯仰軸線與機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系的yz軸、zz軸有微小的傾角，因此偏航軸線的偏航運(yùn)動實際上會引起分離體模型在機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系中偏航、俯仰和滾轉(zhuǎn)，俯仰時相同。

機(jī)構(gòu)實際繞偏航、俯仰軸運(yùn)動時，相當(dāng)于已知了偏航、俯仰軸的軸線方向以及轉(zhuǎn)角大小，然后求解分離體模型在總體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過的角度。

任意個剛體的轉(zhuǎn)動可以用定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角參數(shù)(球坐標(biāo))來描述，也可以使用姿態(tài)角來描述。那么軸線偏移對應(yīng)的情況是已知分離體模型的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角參數(shù)求解姿態(tài)角。

如圖4所示：n表示實際軸線方向的單位矢量；ω為轉(zhuǎn)過的角度；(α,φ)為矢量n的球坐標(biāo)角。轉(zhuǎn)動R球坐標(biāo)描述為

(10)

其中：

cω=cosω,sω=sinω,cφ=cosφ,sφ=sinφ,cα=cosα,sα=sinα

轉(zhuǎn)動姿態(tài)角描述為

(11)

其中：

cθ′=cosθ′,sθ′=sinθ′,cψ′=cosψ′,sψ′=sinψ′,cγ′=cosγ′,sγ′=sinγ′

由式(10)與(11)中的元素對應(yīng)相等求出實際的ψ′、θ′、γ′。

對于偏航軸線與yz軸不重合引起的誤差為

(12)

對于俯仰軸線與zz軸不重合引起的誤差為

(13)

因此，由偏航和俯仰軸線與機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系軸線不重合引起的姿態(tài)誤差可表示為

(14)

2.3　機(jī)構(gòu)零位誤差分析

采用CTS機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)方程求分離體模型位置和姿態(tài)與CTS機(jī)構(gòu)驅(qū)動滑塊滑移距離之間的關(guān)系，分離體模型的位置和姿態(tài)必須放在特定的坐標(biāo)系中。在理想情況下，風(fēng)洞坐標(biāo)系與CTS機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系重合。

在實際情況中，風(fēng)洞固定坐標(biāo)系是通過噴管的位置確定的，機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系是由機(jī)構(gòu)確定的，這2個坐標(biāo)系不會完全重合，即當(dāng)CTS機(jī)構(gòu)未運(yùn)動處于機(jī)構(gòu)零位時，分離體模型在風(fēng)洞固定坐標(biāo)系中的位姿已經(jīng)有初值，所以在誤差補(bǔ)償時需要對機(jī)構(gòu)的零位進(jìn)行補(bǔ)償。

3　機(jī)構(gòu)幾何誤差補(bǔ)償試驗研究

3.1　數(shù)據(jù)采集與處理

3.1.1單軸運(yùn)動數(shù)據(jù)測量與分析

針對加工好的機(jī)構(gòu)，需要對機(jī)構(gòu)單軸運(yùn)動時的重復(fù)定位精度和絕對定位精度進(jìn)行測量。對長度為500 mm的尾支桿，末端固定粘貼一個靶標(biāo)，單軸運(yùn)動，利用激光跟蹤儀測量點(diǎn)的位置，在計算機(jī)測量軟件中記錄下來。X、Y、Z方向每100 mm記錄1個點(diǎn)的數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)量很大，在此就不一一列出。

按照設(shè)計，單軸驅(qū)動X滑塊時，末端測量點(diǎn)的yz和zz不應(yīng)產(chǎn)生位移值，則實際產(chǎn)生的位移值也就是Y和Z方向的誤差值，用δx(qx)、δy(qx)、δz(qx)分別表示單軸驅(qū)動X方向運(yùn)動時對X方向、Y方向、Z方向產(chǎn)生的誤差值。此處將測量數(shù)據(jù)利用Matlab繪制出誤差曲線，如圖5～9所示，圖中δj(qi)表示驅(qū)動i方向的滑塊引起的jz方向的位移誤差。單軸驅(qū)動Y和Z方向時同理。

通過數(shù)據(jù)分析，可得到CTS機(jī)構(gòu)單軸運(yùn)動時各軸的重復(fù)定位精度和絕對定位精度值，見表1和表2。

圖5　X滑塊滑動引起質(zhì)心xz向位移誤差

圖7　Z滑塊滑動引起質(zhì)心zz向位移誤差

圖9　偏航角度誤差值

檢測項目實測值X向重復(fù)定位精度≤0.02mmY向重復(fù)定位精度≤0.1mmZ向重復(fù)定位精度≤0.02mmθ重復(fù)定位精度≤0.5'ψ重復(fù)定位精度≤0.2'γ重復(fù)定位精度≤1.8'

表2　CTS機(jī)構(gòu)絕對定位精度

將表1中的測量值和允許值比較，只有滾轉(zhuǎn)角γ的重復(fù)定位精度不夠，其原因主要是測量方法本身引起的誤差過大。測量時，靶標(biāo)貼在尾支桿安裝端面上，在滾轉(zhuǎn)電機(jī)驅(qū)動下，靶標(biāo)開始轉(zhuǎn)動，通過前后2次運(yùn)動靶點(diǎn)的位置坐標(biāo)來計算滾轉(zhuǎn)角。這種測量方式由于靶點(diǎn)經(jīng)過的圓弧太小，測量數(shù)據(jù)的測量誤差對計算出的滾轉(zhuǎn)角影響較大，因此需要改進(jìn)測量方法，增大滾轉(zhuǎn)的圓弧半徑。

將表2測量值和允許值比較，單軸驅(qū)動時只有Z向的定位精度不滿足要求。考慮各項誤差產(chǎn)生的運(yùn)動誤差的累加效應(yīng)，仍需對單軸驅(qū)動進(jìn)行誤差補(bǔ)償。

3.1.2零位測量

在建立好風(fēng)洞固定坐標(biāo)系和CTS機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系后，進(jìn)一步可以通過激光跟蹤儀測量和計算出機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系的初始零位，初始零位位姿見表3。表3中：x0、y0、z0表示機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系在風(fēng)洞固定坐標(biāo)系中的位置；ψ0、θ0、γ0表示從風(fēng)洞固定坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系的姿態(tài)角。

表3　初始零位位姿

3.2　誤差補(bǔ)償

數(shù)據(jù)測量完后需要對補(bǔ)償效果進(jìn)行驗證。在正逆解程序中加上零位，給定末端點(diǎn)在風(fēng)洞固定坐標(biāo)系中的位姿，控制器驅(qū)動機(jī)構(gòu)運(yùn)動到實際位姿，利用激光跟蹤儀測量實際位姿，計算補(bǔ)償前定位誤差；將控制器中的程序改為補(bǔ)償后的程序，給定同樣的位姿，測量機(jī)構(gòu)達(dá)到的位姿，計算補(bǔ)償后的定位誤差；前后對比，驗證補(bǔ)償效果。

機(jī)構(gòu)單軸誤差可由上述方法來標(biāo)定，由于測量數(shù)據(jù)重復(fù)性比較好，可以采用最小二乘法多項式擬合求出誤差函數(shù)。單軸運(yùn)動誤差擬合曲線見圖10～12，圖中橫坐標(biāo)表示滑塊滑移距離，縱坐標(biāo)δj(qi)表示驅(qū)動i方向的滑塊滑動引起的質(zhì)心在總體坐標(biāo)系中jz方向的位移誤差值。

圖10　δx(qi)誤差擬合曲線

圖11　δy(qi)誤差擬合曲線

圖12　δz(qi)誤差擬合曲線

通過最小二乘法擬合出的誤差曲線圖對應(yīng)的誤差函數(shù)分別如下：

(15)

(16)

(17)

那么，式(3)中的導(dǎo)軌與軸線不平行而導(dǎo)致的誤差為

(18)

機(jī)構(gòu)三軸聯(lián)動誤差在CTS機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系原點(diǎn)處，因此將式(18)以及測試出的機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系和風(fēng)洞固定坐標(biāo)系之間的零位數(shù)據(jù)代入相應(yīng)正解方程中，便可得到補(bǔ)償后的正解。

補(bǔ)償后的逆解需要通過正解方程反求輸入的滑塊位移，過程為求解3個三元方程組成的非線性方程組，將方程組寫成一般形式編入CTS機(jī)構(gòu)控制器軟件中，同時添加求解非線性方程組的牛頓迭代法[10-11]，即可完成CTS機(jī)構(gòu)逆解的求取。

圖13　三軸聯(lián)動補(bǔ)償前后絕對定位精度對比

為了驗證誤差補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)果，通過測量X、Y、Z三軸聯(lián)動來檢測導(dǎo)軌與機(jī)構(gòu)總體坐標(biāo)系軸線不平行的誤差方法的有效性。

未補(bǔ)償前，給定空間15個點(diǎn)的位置，通過控制軟件中的逆解程序計算并驅(qū)動機(jī)構(gòu)運(yùn)動，記錄最終模型理論質(zhì)心在風(fēng)洞固定坐標(biāo)系中的位置(已補(bǔ)償零位)，將給定位置和最終達(dá)到的位置記錄下來。給定同樣的位置，利用補(bǔ)償后(補(bǔ)償零位及導(dǎo)軌與軸線不平行誤差)的逆解驅(qū)動機(jī)構(gòu)運(yùn)動，將補(bǔ)償后實際到達(dá)的位置記錄下來。根據(jù)2次的記錄，計算出補(bǔ)償前后的定位誤差，如表4所示，將補(bǔ)償前后的定位誤差繪制成曲線圖，如圖13所示。

由圖13可知：CTS機(jī)構(gòu)的3軸聯(lián)動絕對定位精度得到了明顯的提高，補(bǔ)償前絕對定位誤差的最大值為0.952 2 mm，補(bǔ)償后絕對定位誤差的最大值為0.112 3 mm，絕對定位精度提高了88.21%。

表4　三軸聯(lián)動誤差補(bǔ)償前后絕對定位精度(mm)

4　結(jié)束語

本文對CTS機(jī)構(gòu)的幾何誤差進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析，通過實驗測試得到數(shù)據(jù)，并采用最小二乘法擬合辨識了導(dǎo)軌與軸線不平行引起的運(yùn)動誤差，通過理論分析求解了偏航俯仰軸線偏移的誤差矩陣，將辨識出的誤差矩陣引入到正解方程中，得到補(bǔ)償后的正解方程。利用牛頓迭代法求取補(bǔ)償后的正解方程組成的非線性方程組，得到補(bǔ)償后的逆解。通過對補(bǔ)償試驗現(xiàn)場測量相關(guān)數(shù)據(jù)的分析，利用本文研究的補(bǔ)償方法，采用軟件補(bǔ)償法完成了CTS機(jī)構(gòu)的幾何誤差補(bǔ)償。通過X、Y、Z三軸聯(lián)動比較了補(bǔ)償前后CTS機(jī)構(gòu)的定位誤差，驗證了補(bǔ)償方法的可靠性。

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