謝秀蘭

（長(zhǎng)樂(lè)區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校，福建 長(zhǎng)樂(lè) 350200）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》教學(xué)建議部分明確提出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括?！庇纱耍瑪?shù)學(xué)思想應(yīng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的具體目標(biāo)而加以落實(shí)，這就要求一線教師要研讀教材，努力挖掘提煉隱含于教材知識(shí)技能中的數(shù)學(xué)思想，讓數(shù)學(xué)思想顯現(xiàn)出來(lái)，抓住數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想兩條主線，并駕齊驅(qū)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。如果說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的軀干，那么數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)的靈魂，怎樣才能引領(lǐng)學(xué)生深入到數(shù)學(xué)的“靈魂深處”呢？筆者結(jié)合平時(shí)的聽課與思考，與大家作個(gè)交流。

一、在釋疑解惑處，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

著名物理學(xué)家李政道博士說(shuō)：“什么是學(xué)問(wèn)？就是要學(xué)怎樣問(wèn)，就是學(xué)會(huì)思考問(wèn)題?！保?］問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，一切思維都是從問(wèn)題開始的，正如愛因斯坦所言：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要?！币蚨?，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑問(wèn)難，讓學(xué)生在質(zhì)疑問(wèn)難中主動(dòng)思考，積極求知，在思維碰撞中釋疑解惑，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

例如，2017年10月29日，筆者在福州倉(cāng)山小學(xué)有幸聆聽了浙江省特級(jí)教師顧志能老師執(zhí)教的四年級(jí)數(shù)學(xué)拓展課《九宮格的秘密》。上課伊始，顧老師播放《射雕英雄傳》視頻片段，從情境中引入探究問(wèn)題：用1—9九個(gè)數(shù)字，放入九個(gè)格子中，要求無(wú)論橫的豎的斜的加起來(lái)的和都是15。學(xué)生明確題目要求后，自主擺卡片，顧老師展示了三位學(xué)生的擺法（如圖1、圖2、圖3），以及《射雕英雄傳》中黃蓉的口訣“二四為肩，六八為足，左三右七，載九履一，五居中間”以及郭靖擺的九宮格（如圖4），顧老師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察對(duì)比，并通過(guò)上下、左右交換和課件旋轉(zhuǎn)溝通不同方法之間的聯(lián)系。為了讓學(xué)生明白原理，顧老師說(shuō)：“你們有什么想問(wèn)的？”鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難，教師選擇有價(jià)值的問(wèn)題板書在黑板上：①中間數(shù)為什么是5？②橫的豎的斜的，加起來(lái)的和為什么是15？③共有多少種擺法？④四個(gè)角都是雙數(shù)，單數(shù)可以嗎？對(duì)于第①個(gè)問(wèn)題“中間數(shù)為什么是5？”換一種說(shuō)法就是“中間數(shù)用其他數(shù)可以嗎？”，顧老師讓學(xué)生用“6”做實(shí)驗(yàn)，先嘗試擺一擺，并請(qǐng)一個(gè)學(xué)生上黑板擺，可學(xué)生怎么擺都不成，這時(shí)顧老師及時(shí)引導(dǎo)，不能這么光做實(shí)驗(yàn)，要?jiǎng)幽X思考，能不能只拿一張卡片就能打敗這個(gè)問(wèn)題？一語(yǔ)驚醒夢(mèng)中人，學(xué)生從無(wú)序擺進(jìn)入了有序思考，拿出卡片“9”，邊擺邊說(shuō)明理由，不管9放哪格，與6的和是15，再加一個(gè)數(shù)就超過(guò)15了，所以中間擺“6”不行。顧老師緊追著問(wèn)，中間擺“7”行嗎？學(xué)生稍作思考：那更不行了，9與7的和都超過(guò)15了，由此看來(lái)，比5大的數(shù)都不行了！顧老師繼續(xù)引導(dǎo)，那比5小的數(shù)行嗎？能不能也憑一張卡片就能打敗這個(gè)問(wèn)題？學(xué)生通過(guò)嘗試、推理，得出比5小的數(shù)都不行。最后，顧老師小結(jié)，比5大的不行，比5小的也不行，就只能填“5”了，這過(guò)程就叫作推理。

圖3

圖4

在“五居中間”的探秘過(guò)程中，顧老師把1—9九個(gè)數(shù)字分為“5”與“非5”兩類，通過(guò)擺“比5大的數(shù)”與“比5小的數(shù)”都不行，來(lái)證明只能擺“5”，讓學(xué)生體會(huì)反證法思想；顧老師先讓學(xué)生用“6”做實(shí)驗(yàn)，從學(xué)生無(wú)序擺中引導(dǎo)學(xué)生思考，能否只拿一張卡片就能打敗這個(gè)問(wèn)題，運(yùn)用了舉例驗(yàn)證的方法，讓學(xué)生體會(huì)有序思考的思想；以“6”作為例子，讓學(xué)生推想“7、8、9”行不行？以“比5大的數(shù)”不行，推想“比5小的數(shù)”行不行？讓學(xué)生領(lǐng)悟推理思想的魅力，學(xué)生在釋疑解惑中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都得到了提升。

二、在親歷過(guò)程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想方法總是伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程而顯現(xiàn)出來(lái)的，因而，教師應(yīng)想方設(shè)法讓學(xué)生親歷知識(shí)的形成過(guò)程，在過(guò)程中充分感知、體驗(yàn)，加深對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，同時(shí)對(duì)知識(shí)背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有更深刻的體驗(yàn)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，人教版二年級(jí)上冊(cè)第六單元“7的乘法口訣”一課，許多教師以為教學(xué)乘法口訣只是為了快捷計(jì)算，于是，“熟記口訣”和“用口訣計(jì)算”便成了課堂教學(xué)的核心目標(biāo)。其實(shí)，在看似簡(jiǎn)單的乘法口訣教學(xué)中，卻蘊(yùn)含著十分豐富的數(shù)學(xué)思想方法，需要教師們努力挖掘。曾聽過(guò)一位教師是這么設(shè)計(jì)的：以白雪公主和7個(gè)小矮人拼擺七巧板的童話引入，學(xué)生在欣賞和數(shù)數(shù)中明確了每個(gè)美麗圖案都是由7塊板拼成的，接著，教師借助數(shù)軸這個(gè)直觀模型，動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)小矮人在數(shù)軸上站隊(duì)的畫面，并且每站上一個(gè)小矮人，就在落腳處點(diǎn)上一個(gè)點(diǎn)，標(biāo)上相應(yīng)的數(shù)字或方框（如圖5），學(xué)生通過(guò)觀察小矮人站隊(duì)的全過(guò)程，清楚地看出數(shù)軸上的點(diǎn)與板塊數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，“幾個(gè)7”的表象便清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生頭腦中，為寫出乘法算式，理解乘法口訣的來(lái)源和含義奠定了基礎(chǔ)，學(xué)生從中感受到數(shù)形結(jié)合思想和一一對(duì)應(yīng)思想。當(dāng)教師編出口訣“一七得七”后，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)這句口訣的含義，然后放手讓學(xué)生繼續(xù)編制口訣，并同桌互相說(shuō)說(shuō)每一句乘法口訣的含義，即說(shuō)清每一句乘法口訣是“哪兩個(gè)數(shù)相乘的積是多少”，學(xué)生在遷移學(xué)習(xí)中，真實(shí)地經(jīng)歷著口訣的編制過(guò)程，加深了對(duì)口訣的理解，而口訣的理解又可幫助學(xué)生記憶口訣，提高有意記憶能力，同時(shí)，充分感受著類比推理思想的魅力。

圖5

三、在回顧梳理中，深化數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的邏輯性和完整性，而小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排，充分考慮并尊重知識(shí)的難易度、小學(xué)生的心智特點(diǎn)與思維路徑漸進(jìn)的特點(diǎn)，采取循序漸進(jìn)、螺旋上升的形式編排。［2］因此，教師在實(shí)際教學(xué)時(shí)，不能只關(guān)注一冊(cè)教材的內(nèi)容、一個(gè)例題的教學(xué)目標(biāo)，而應(yīng)該對(duì)同一個(gè)主題的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)梳理，溝通新舊知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，讓學(xué)生在感悟數(shù)學(xué)思想的同時(shí)，對(duì)某類知識(shí)有個(gè)系統(tǒng)全面的認(rèn)識(shí)。

例如，2017年10月28日，筆者在福州倉(cāng)山小學(xué)有幸聆聽了江蘇省特級(jí)教師周衛(wèi)東老師執(zhí)教的《確定位置》，周老師創(chuàng)設(shè)了以“救援故障船”的現(xiàn)實(shí)情境引入，扣人心弦，學(xué)生如臨其境，課堂氛圍緊張而熱烈，點(diǎn)燃了學(xué)生救援的責(zé)任和學(xué)習(xí)的熱情，效果非常好。當(dāng)學(xué)生通過(guò)大膽猜想、自主探索，明白“方向、角度、距離”是確定位置的三要素后，周老師提出質(zhì)疑：“三個(gè)條件必須缺一不可嗎？”接著，他出示信息：1.南偏西，讓學(xué)生上臺(tái)在屏幕上圈出可能的區(qū)域；再出示信息。2.南偏西25度，讓學(xué)生上臺(tái)比劃一下可能在哪？最后出示信息。3.12千米，讓學(xué)生在屏幕上指出來(lái)。在這個(gè)質(zhì)疑驗(yàn)證環(huán)節(jié)中，周老師采用層層遞進(jìn)、步步追問(wèn)的方式，讓學(xué)生在比劃中加深認(rèn)識(shí)，如果只告訴方向，就只能確定物體可能在哪個(gè)“面”上，加上角度后就能確定它在一條“線”上，再告訴距離就能找到這個(gè)“點(diǎn)”。很好地溝通了“面、線、點(diǎn)”與“方向、角度、距離”之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，感悟數(shù)形結(jié)合思想和模型思想，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到“確定位置”的過(guò)程本質(zhì)即是“由面到線，再到點(diǎn)”，學(xué)生的空間觀念、思維能力也得到鍛煉與提高。在課末，周老師還引領(lǐng)學(xué)生回憶確定位置的知識(shí)在小學(xué)階段一共接觸過(guò)幾次？然后大屏幕呈現(xiàn)一年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)的“上下前后左右、排第幾”；四年級(jí)學(xué)習(xí)的“第幾排第幾個(gè)，用數(shù)對(duì)表示”；今天學(xué)習(xí)的“用方向、角度、距離確定位置”。從一維到二維，用數(shù)對(duì)表示到學(xué)會(huì)用三要素確定位置，學(xué)生在回顧梳理中體會(huì)新舊知識(shí)的聯(lián)系，在感悟類比思想與模型思想的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體把握，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也得以提升。

四、在習(xí)題創(chuàng)編中，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想

習(xí)題是例題的延伸和拓展，往往蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)、思想和方法，需要教師巧用、活用，把習(xí)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法挖掘出來(lái)，最大限度地發(fā)揮每道習(xí)題的功效，讓學(xué)生在操練中拓寬思路，感悟思想，掌握方法，提升素養(yǎng)。

例如，人教版三年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算”一課，福清實(shí)小的林老師到長(zhǎng)樂(lè)實(shí)小進(jìn)行校際交流時(shí)，課尾設(shè)計(jì)的一道練習(xí)題給筆者留下深刻印象：“在方格紙中畫出面積是12平方厘米的長(zhǎng)方形，要求先在頭腦中想象是怎樣的長(zhǎng)方形？然后再畫出來(lái)?！睂W(xué)生呈現(xiàn)了三種情況：①長(zhǎng)12，寬1；②長(zhǎng)6，寬2；③長(zhǎng)4，寬3。這時(shí)，教師利用課件，把長(zhǎng)方形從①變成②再變成③，并鼓勵(lì)學(xué)生再想象，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬還可以是怎樣的？學(xué)生通過(guò)課件直觀演示與大腦想象，看到了長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬的變化，而面積不變，函數(shù)思想和極限思想深深地烙印在頭腦中，學(xué)生的思維能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)都得到了培養(yǎng)與提升。

又如，人教版二年級(jí)上冊(cè)“乘法的初步認(rèn)識(shí)”，在經(jīng)歷多個(gè)加數(shù)相同的加法算式可以改寫成乘法算式之后，有位教師把練習(xí)九第10題進(jìn)行改造，設(shè)計(jì)了一組練習(xí)：

這6道題表面上看，好像只有第①題能改寫成乘法算式。于是，教師激發(fā)學(xué)生思考：哪些算式可以改寫成含有乘法的算式？哪些算式通過(guò)一些變動(dòng)也能改寫成乘法算式？在教師的啟發(fā)下，學(xué)生把②③寫成了乘加、乘減的算式；學(xué)生通過(guò)觀察交流，發(fā)現(xiàn)可以把④⑤⑥中的一些數(shù)通過(guò)合并、拆分、調(diào)整等方法來(lái)改寫。學(xué)生從不能改寫到能改寫，打破思維定勢(shì)，抓住乘法意義的本質(zhì)，自覺(jué)尋找“加數(shù)相同”這個(gè)關(guān)鍵，既加深學(xué)生對(duì)乘法意義的理解，又從中領(lǐng)悟到變中不變的數(shù)學(xué)思想方法。

史寧中教授說(shuō)：“數(shù)學(xué)思想是統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想，是數(shù)學(xué)學(xué)科的基石?！保?］教師只有認(rèn)真研讀教材，在觸及數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的同時(shí)挖掘數(shù)學(xué)思想，雙線并聯(lián)共進(jìn)，才能使課堂教學(xué)因顯現(xiàn)數(shù)學(xué)思想而有更高的立意，才能使學(xué)生發(fā)展成為具有時(shí)代氣息的有數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)思想的人。

［1］席青城．如何培養(yǎng)學(xué)生提問(wèn)意識(shí)［EB/OL］．［2017-10-10］． http ：//www．xzbu．com/9/view-5242578．html．

［2］劉延革．宏觀視角下分析和把握教材［J］．小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（5）：76．

［3］史寧中．?dāng)?shù)學(xué)思想概論（第1輯）：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象［M］．長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2008．