唐德緒

(云南省蒙自一中 661199)

問題1 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

思維試驗(yàn):可令n=1，n=2得關(guān)系式聯(lián)立求a1；

由已知可得n≥2時(shí)，2Sn-1=an-2n+1，兩式相減．

解(1)當(dāng)n=1時(shí)，

2a1=a2-4+1=a2-3，

①

當(dāng)n=2時(shí)，2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7，

②

又a1，a2+5，a3成等差數(shù)列，所以a1+a3=2(a2+5).

③

由①②③解得a1=1.

(2)因?yàn)?Sn=an+1-2n+1+1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，有2Sn-1=an-2n+1.

兩式相減得an+1-3an=2n，則可配型為an+1+2n+1=3(an+2n).

又a1+21=3,a2+22=9，所以數(shù)列{an+2n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，

所以an+2n=3×3n-1，即an=3n-2n.

問題2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=2an+(-1)n(n∈N*)．

解當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2a1-1，得a1=1.

由Sn=2an+(-1)n，當(dāng)n≥2時(shí)，得Sn-1=2an-1+

(-1)n-1.

兩式相減得an=2an-1-2(-1)n，n≥2.

……

上述(n-2)個(gè)式子累加得：

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，

當(dāng)n=1時(shí)，b1=1也適合此通項(xiàng)公式．所以bn=2n-1 (n∈N*)．

參考文獻(xiàn)：

[1]G.波利亞.怎樣解題——數(shù)學(xué)教學(xué)法的新面貌[M].上海:上海科技教育出版社,2002.