浙江蘭溪市游埠中學(xué)

陳 曉 (郵編：321106)

平面向量在高考中占的比重不是很大，往往只是一兩個小題．但是向量集代數(shù)、幾何于一身，倍受命題者的青睞，許多全國卷和地方卷的高考題把平面向量放在小題的壓軸位置．細(xì)細(xì)品味向量試題別有一番風(fēng)味．

筆者認(rèn)真梳理了2017年高考向量真題，發(fā)現(xiàn)許多向量試題都離不開平行四邊形，或來源于平行四邊形，或用平行四邊形求解．平行四邊形簡直可以稱為向量的“神圖”．

圖1

(a+b)2=a2+2a·b+b2

①

(a-b)2=a2-2a·b+b2

②

①+②得

(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)

③

恒等式③在人教A版必修4第二章第五節(jié)的例1出現(xiàn)過，其意義就是平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和．

①-②得(a+b)2-(a-b)2=4a·b

④

恒等式④稱為極化恒等式，它溝通了向量的線性運算和數(shù)量積運算．

筆者選取部分高考向量真題，與廣大師生一同品味．

類型一巧構(gòu)“神圖”速解小題

例1(2017年全國卷2文)設(shè)非零向量a、b，滿足|a+b|=|a-b|,則

A.a⊥bB. |a|=|b|

C.a∥bD. |a|>|b|

解析如圖1，以a、b為鄰邊作一平行四邊形，由a⊥b可知該平行四邊形為矩形，所以|a+b|=|a-b|．

例2(2017年全國卷1理)已知向量a、b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=______．

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

則

A.I1

B.I1

C.I3

D.I2

所以I3

經(jīng)典回顧(2014年浙江卷)設(shè)θ為兩個非零向量a，b的夾角．已知對任意實數(shù)t，|b+ta|的最小值為1,則( )

A.若θ確定，則|a|唯一確定

B. 若θ確定，則|b|唯一確定

C.若|a|確定，則θ唯一確定

D. 若|b|確定，則θ唯一確定

圖7

類型二兩個恒等式的應(yīng)用

例5(2017年浙江卷)已知向量a、b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______．

|a+b|+|a-b|

例7(2017年浙江卷)如圖8，已知拋物線x2=y，點

拋物線上的點P(x﹐y)

過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．

圖8

(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值．

所以|PA|·|PQ|=2-|PM|2．

記

因為f′(x)=4x3-3x-1=

經(jīng)典回顧(2012年安徽卷)若平面向量a，b滿足|2a-b|≤3，則a·b的最小值是______．

高考真題是命題專家智慧的結(jié)晶，更具代表性和科學(xué)性.高三備考很多時候深陷題海戰(zhàn)術(shù)不能自拔，做了大量的模擬題而成績卻很難提高，究其原因無外乎選題和做題兩方面出問題了.事實上雖然高考題每年都不一樣，但許多試題的背景和解法并沒有變.比如本文提到的兩個恒等式， 2012-2014年的浙江卷連續(xù)出現(xiàn)三年.因為向量兼具代數(shù)和幾何，所以很多時候解平面向量的題目只需要畫個圖(比如本文提到的平行四邊形)就能完成．建議考生翻閱浙江卷(2004年—2017年)的平面向量試題，許多題目都是可以作圖完成的.總之，年年歲歲解相似，歲歲年年題不同.