閆如忠，張文輝

（東華大學 機械工程學院，上海 201620）

0 引言

在利用三坐標測量機（CMM）進行自由曲面的檢測時，需要確定曲面上的采樣點以及采樣的路徑。均勻等間距法是最簡單的測量方法，該方法簡單實用，其缺點是當曲率變化大時，采樣點數(shù)目不足以反映出曲面的形層，如果間距太小，就造成龐大的測量工作和測量數(shù)據(jù)量。為了在保證測量精度的條件下，盡可能地減少測量點數(shù)和縮短測量路徑，國內(nèi)外學者都做了很多研究。

何雪明等人提出一種曲率連續(xù)自適應法來進行自由曲面測量的路徑規(guī)劃[1]。該方法實際上是利用前面測的五個數(shù)據(jù)點來擬合一個五次多項式，然后根據(jù)這個五次多項式預測下一個測量點的位置。他們利用MATLAB對馬鞍面進行模擬后，得到了比較好的擬合結(jié)果。廖菲通過對已測點進行三次樣條曲線擬合，利用擬合的樣條曲線來確定下一個采集點，通過MATLAB進行模擬研究并與用十次多項式預測的方法進行對比，得到了比十次多項式擬合更好的結(jié)果[2]。李江雄等人提出一種三角形曲面的自適應測量方法[3]，該方法通過構(gòu)造三角域上的bezier曲面，然后利用該曲面計算下一個測量點。此方法確保了測點按照曲率分布的原則，而且計算相對簡單，但是不能保證測量路徑不是最佳路徑。來新民等人提出了一種基于形層函數(shù)的自適應采樣算法[4]，該方法在已知曲面數(shù)學模型的條件下規(guī)劃測點的分布和采樣的路徑，采樣點在曲率大的地方密集，有較高的采樣精度和采樣效率。但是該方法對數(shù)學模型未知的自由曲面適應性很差。

Cho和Kim提出了一個方法用于CMM測量自由曲面[5]，他們將曲面分為幾個子區(qū)域，根據(jù)子區(qū)域的平均曲率和區(qū)域選擇比用常數(shù)來優(yōu)化測量點的分布。Pahk等人用基于均勻等距采樣和曲率采樣的混合采樣技術研發(fā)了一個集成CAD閉境的測量系系[6]。Lee等人結(jié)合Hammersley程列和分層抽樣發(fā)明了一種采樣方法[7]，這種方法兼顧了待測曲面表面的特征。在相同準確度水平下，這種基于Hammersley程列的方法的采樣點數(shù)目與均勻采樣的采樣點數(shù)目相比有了平方的減少。Cho等人根據(jù)待測面的面積、機器精度和公差等級并利用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡來確定采樣點的數(shù)目[8]，為了確定采樣點的位置，他們用到了等距采用、隨機采樣、分層采樣和混合采樣等方法，不過他們的采樣方法沒有考慮自由曲面的復夾性。

本文主要對自由曲面的自適應測量技術進行研究，目的是在保證采樣效果的前提下，如何使采樣點最少并且采樣路徑最短。重點圍繞怎樣確定待測點，并設計了自適應測量算法。

1 算法原理

在保證測量精度的條件下，盡可能地減少測量點數(shù)，國內(nèi)外學者都基于以下原則來設計自適應采樣方法：

1）測量點的數(shù)目和分布應該保證測量精度。

2）為了達到減少采樣點的數(shù)目的目標，應該在曲面曲率大的地方使采樣點密集。這是因為在曲率大的區(qū)域，曲面彎曲得厲害，比較難以加工，加工誤差較大，因此需要盡可能采集多的點。

根據(jù)以上原則，本文借鑒網(wǎng)格細分的思想，提出了一種基于離散曲率的自由曲面測量方案。其基驟如下所示：

1）將整個測量區(qū)域分為5×5的矩形網(wǎng)格，按照Z字形的路線形成初始采樣程列，依次采集每個網(wǎng)格的頂點的z坐標；

2）將矩形網(wǎng)格轉(zhuǎn)換成三角形網(wǎng)格M0，i=0；

3）估算網(wǎng)格Mi上每個頂點的離散曲率；

4）根據(jù)網(wǎng)格Mi上每個頂點的離散曲率生成新的采樣點，i=i+1；

5）重復基驟C、D，直到i=N，N為設定的正整數(shù)。

該方法根據(jù)上一層采樣網(wǎng)格的曲率確定下一層采樣網(wǎng)格的頂點，因此其數(shù)據(jù)點的分布符合上述采樣原則2），逐層增加采樣網(wǎng)格可以使采樣點的數(shù)目符合上述采樣原則1）。

在本算法中，有三個關鍵問題需要解決：首先是網(wǎng)格曲率的計算，然后是如何根據(jù)網(wǎng)格曲率生成下一層采樣網(wǎng)格，最后是對下一層采樣網(wǎng)格進行路徑規(guī)劃。第三個問題可采用貪心算法解決，本文不作贅述。

2 網(wǎng)格曲率的計算

本文采用Moreton-Sequin方法對網(wǎng)格曲率進行估算，該方法計算簡單，符合網(wǎng)格采樣的精度要求。Moreton-Sequin方法主要根據(jù)歐拉定調(diào)來建立曲面法向量、曲面主曲率和曲面法曲率之間的關系[9]。

圖1 網(wǎng)格頂點曲率的估算

對于點pi，將其鄰接三角形面片的各法向量的平均值作為三角網(wǎng)格曲面在頂點pi處的法向量ni。那么經(jīng)過點pi與其法向量ni垂直的平面為網(wǎng)格曲面在此點的切平面，設為tj為向量pipj在該切平面上的單位投影。過頂點pi和頂點pj作圓，使該圓在點pi有切向tj，則把該圓的半徑的倒數(shù)近似地當作曲面在頂點pi處沿著pipj方向的法曲率kj'，如圖1所示。

根據(jù)幾何規(guī)律，圓在pi的半徑方向向量在向量pipj上的投影長度為：

因此該方向的曲率為：

設網(wǎng)格曲面上由ni確定的切平面上的一組基為（ax，ay），令向量tj關于基（ax，ay）的坐標為（tjx，tjy），而主方向e1關于此基的坐標設為（ex，ey）。由歐拉定調(diào)有：

其中：

取j=1，2，…，m。m為頂點pi的度，上式可改寫成Ax=b，其中：

因此只要求得方程組Ax=b的解，就可以估算頂點pi處的曲率。對于此方程組，如果m＞2，可以采用最小二乘法求解：x=（ATA）-1（ATb）。

一般來說，絕大多數(shù)點經(jīng)過三角剖分后都至少有兩個鄰接三角形，如果兩個三角形不共面，則系數(shù)矩陣（ATA）-1為滿秩矩陣；如果該點的幾個三角形面接近共面，則系數(shù)矩陣（ATA）-1接近奇異，方程組Ax=b的最小二乘解不確定。另外，對于曲面網(wǎng)格上的某些角點，其鄰接三角形只有一個，則系數(shù)矩陣（ATA）-1為奇異矩陣，無法求出其曲率（實際上曲率為無窮大）。對于此種情況，在計算過程中先將該點標記，待其余所有點的曲率計算完畢后，這些點的曲率取它們的最大值，使得奇異曲率點（系數(shù)矩陣（ATA）-1接近奇異或者奇異）附近的采樣點密集。

3 網(wǎng)格的細分采樣

在算得每個網(wǎng)格頂點的曲率之后，可以運用曲面細分的思想，可以根據(jù)曲率采樣網(wǎng)格上新的采樣點。

將初始網(wǎng)格曲面投影到平面上，形成采樣網(wǎng)格。對于采樣網(wǎng)格M，采用如下的方法進行細分

1）對于網(wǎng)格中每個三角形的邊，查找邊的兩端點（p1、p2）的曲率值（k1、k2）。

2）在每條邊上插入新的采樣點，稱為新邊點pE，新邊點的位置按照如下公式計算：

3）對曲面上新的采樣點進行路徑規(guī)劃，計算遍歷所有采樣點的最短路徑，按照最短路徑對采樣點進行測量，獲得新增點的值。

4）將所有新老點進行Delaunay三角剖分，形成新的三角網(wǎng)格。

在基驟2）中，如果k1＞k2，則w＞(1-w)，頂點pE與頂點p1的距離更短，即曲率大（曲率半徑?。┑木W(wǎng)格頂點處采樣越密集。反之越稀疏。為了保證采樣網(wǎng)格的均勻性，本文對w的取值范圍進行限定，即w∈[0.3,0.7]。

4 數(shù)值實驗

為了驗證該算法的有效性，本文利用MATLAB對本章算法進行了數(shù)值模擬（由于采用數(shù)值模擬，因此本文模擬計算的數(shù)據(jù)都沒有單位）。采用的算用函數(shù)如下：

其中，(x,y)∈[0,1]×[0,1]。

圖2 f1 (x,y)逐層細分采樣效果圖

圖3 f2 (x,y)逐層細分采樣效果圖

圖4 f3 (x,y)逐層細分采樣效果圖

數(shù)值模擬結(jié)果如圖2、圖3和圖4所示，每個圖中的四幅子圖分別表示：(a)對應函數(shù)的原圖；(b)初始采樣網(wǎng)格下測量的曲面，初始采樣網(wǎng)格為6×6的網(wǎng)格；(c)對初始采樣網(wǎng)格細分一次的采樣網(wǎng)格下測量的曲面；(d)對初始采樣網(wǎng)格細分二次的采樣網(wǎng)格下測量的曲面。從圖2、圖3和圖4可以看出，隨著細分層數(shù)的增加，采樣網(wǎng)格逐層加密，并且呈現(xiàn)曲率大的地方采樣點密集的特點，符合自適應采樣的要求。

如果采用等距采樣的方法，曲率大的地方若要達到同樣的效果，即等距網(wǎng)格的間距需要達到本算法達到的最小間距，必須增加大量的采樣點。

表1列出了每次細分采樣的最小間距、等距采樣點數(shù)和實際采樣點數(shù)，其中最小間距表示在該采樣算法下生成的網(wǎng)格頂點的最下距離，等距采樣點數(shù)表示如果采用等距采樣網(wǎng)格達到最小間距所需要的采樣點數(shù)目，實際采樣點數(shù)目表示在該算法下采樣網(wǎng)格中頂點的數(shù)目。

表1 細分采樣層數(shù)與采樣點的關系

表2 自然樣條預測法與離散曲率法的采樣重構(gòu)結(jié)果

由表1可以看出，相比于等距采樣方法，本文算法能夠大幅度減少采樣點的數(shù)目，減少測量時間。另外可以看出，無論采用哪種曲面，每一層細分的實際采樣點數(shù)目是不變的，即本算法生成的采樣點數(shù)目與曲面無關，只與細分層數(shù)相關。而采用掃描線的自適應采樣方法的采樣點數(shù)目與曲面形層相關，本算法與此相比，數(shù)據(jù)點的分布更為合調(diào)。

表2給出了該算法與三次樣條預測法[11]的數(shù)值實驗比較結(jié)果。其中重構(gòu)誤差的計算方式為：先將采樣得到的數(shù)據(jù)點擬合成雙三次B樣條曲面，其中控制點數(shù)量取為10×10，節(jié)點向量為等距節(jié)點向量；然后將B樣條曲面的兩個參數(shù)軸都分成100等分，形成101×101的計算網(wǎng)格，并計算相應參數(shù)下的B樣條曲面擬合值；最后將擬合值得x和y坐標代入測試樣用中，得到相應的z值，將此與擬合的z值相減可得到計算網(wǎng)格上每點的重構(gòu)誤差，這里取其最大值進行比較。

由表2可知，在采樣點數(shù)目相近的情況下，兩種方法的重構(gòu)誤差相差不大，因此該方法的采樣效果與三次樣條預測法的采樣具有相同的可靠性。

綜上所述，數(shù)值實驗表明，本文提出的自由曲面自適應采樣方法符合自適應采樣的規(guī)則，即在曲率大的表面采樣點密集。而細分層數(shù)的增加保證了采樣點的數(shù)目可以達到擬合的精度要求。

5 結(jié)束語

本文提出了基于離散曲率的自由曲面自適應采樣方法。該方法首先將初始采樣點進行網(wǎng)格化；然后對三角網(wǎng)格上每個頂點的曲率進行估算，此處采用相對簡單高效的Moreton-Sequin方法估算三角網(wǎng)格頂點的曲率；最后根據(jù)網(wǎng)格頂點的曲率預測出新采樣點位置。

該方法將曲面細分的思想應用于采樣網(wǎng)格，相比于等距采樣，該方法能夠有效減少采樣點的數(shù)目；相比于基于掃描線的自適應采樣，該方法不需要考慮兩條掃描線之間的距離，采樣點分布更為合調(diào)。

目前該方法只適用于Z坐標是其他兩個坐標的函數(shù)的情況，即z=f（x,y），或者其他類似的情況，不適用于除此之外的情況以及封閉曲面的情況。在未來的工作中，需要研究一種適應于任何情況的自適應采樣方法。

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