黨 榮

(渭南師范學院東盟博仁財經(jīng)學院，陜西渭南714099)

0 引言

丟番圖方程，又名不定方程，是指變量個數(shù)大于方程個數(shù)且解為整數(shù)值的方程(或方程組)。它與組合數(shù)學、代數(shù)幾何和代數(shù)編碼等學科有著密切的聯(lián)系。近年來，許多中外學者在代數(shù)數(shù)論、組合數(shù)論和群論等數(shù)學分支中都提出了一些丟番圖方程問題，它的研究成果不僅對數(shù)學的各個分支起著推動作用，而且對非數(shù)學學科，例如計算機科學、電子學、信號數(shù)字處理等有著重大的實際意義。

求解丟番圖方程的方法有很多種，初等方法和非初等方法都可以予以證明，長期以來一直受到數(shù)論研究者的關注，特別是對Pell方程x3－Dy2=±1的研究已取得了許多成果，Pell方程理論對于求解其他丟番圖方程的整數(shù)解問題有著很大的幫助。

方程x3±1=Dy2(D＞0)是一類重要的丟番圖方程，其整數(shù)解已經(jīng)有不少人研究過。柯召、孫琦［1－2］證明了x3－Dy2=±1當D＞2，D無平方因子且不含6k+1型的素因子時，方程x3－Dy2=±1無平凡整數(shù)解。但當D含6k+1型的素因子時，該方程的非平凡整數(shù)解的求解較為困難。李雙志、羅明［3］給出了方程x3+1=201y2的所有整數(shù)解。韓云娜［4］給出了方程x3－1=38y2的所有整數(shù)解。曹珍富等人［5－6］給出了丟番圖方程更一般的求解理論。段輝明［7］討論了方程x3+1=57y2的整數(shù)解問題。陳斌［8－9］討論了與其相關的一類不定方程的整數(shù)解問題。然而關于x3－1=1 477y2這類方程的整數(shù)解的問題至今無人研究和討論。本文利用初等方法討論和研究得出了該丟番圖方程x3－1=1 477y2的整數(shù)解。

1 引理

由一類丟番圖方程x3±1=Dy2(D＞0)的研究結(jié)果可知，想要求解丟番圖方程x3－1=1 477y2的整數(shù)解，首先需要引入以下幾個引理。

引理1［5］方程4x4－3y2=1僅有整數(shù)解(x，y)=(±1，±1)。

引理2［5］設p是一個素數(shù)，則方程x4－py2=1(p＞0)當p≠5和p≠29時無平凡解。

引理3［6］方程x2－3y4=1有整數(shù)解 (x，y)=(±2，±1)，(±7，±2)，(±1，±0) 。

2 定理及其證明

定理1 丟番圖方程

僅有平凡整數(shù)解 (x，y)=(1，0)和非平凡整數(shù)解 (x，y)=(212 688，2 552 256)。

證明 根據(jù)引理可知，要證明丟番圖方程x3－1=1 477y2有無整數(shù)解，需考慮形如

的丟番圖方程的整數(shù)解問題，進而考慮方程

因為gcd(x－1，x2+x+1)=1或3，所以可以給出方程x3－1=1 477y2以下8種有可能的組合形式:

(A)x－1=1 477u2，x2+x+1=v2，y=uv，gcd(u，v)=1;

(B)x－1=u2，x2+x+1=1 477v2，y=uv，gcd(u，v)=1;

(C)x－1=7u2，x2+x+1=211v2，y=uv，gcd(u，v)=1;

(D)x－1=211u2，x2+x+1=7v2，y=uv，gcd(u，v)=1;

(E)x－1=4 431u2，x2+x+1=3v2，y=3uv，gcd(u，v)=1;

(F)x－1=3u2，x2+x+1=4 431v2，y=3uv，gcd(u，v)=1;

(G)x－1=21u2，x2+x+1=633v2，y=3uv，gcd(u，v)=1;

(H)x－1=633u2，x2+x+1=21v2，y=3uv，gcd(u，v)=1。

可以根據(jù)方程分解的以上8種形式進而給出方程(1)的整數(shù)解。

根據(jù)第一種情況(A)解出第二式，得到x=0和－1，都不能滿足第一個式子所給出的條件，所以在這種情形下方程(1)無整數(shù)解。因為，利用同余理論的基本性質(zhì)可以得出(C)(F)(H)也不成立。

根據(jù)第二種情況(B)把第一個式子代入第二式得到

則有(2u2+3)2+3≡0(mod211)，即u2≡46，72(mod211)。

但是模211的勒讓德符號為

所以在這種情形下方程(1)無整數(shù)解。

根據(jù)情形(D)，由第一個式子得到

將情形(D)代入第二個式子中得到

從而計算出模211的勒讓德符號值為

所以這種情形下方程(1)無整數(shù)解。

根據(jù)情形(G)，由第一個式子得到

代入到第二個式子中得

從而得到模7的勒讓德符號為

所以這種情況下方程(1)無整數(shù)解。

根據(jù)情形(E)，將第一個式子帶入第二個式子中得到

因而得到該情形下

的全部整數(shù)解可表示為

其中:(2，1)是 Pell方程

的基本解，所以有

即

又因為

所以只需要考慮

由式(3)可以得到

則有

容易驗證下列兩式成立:

因而需要對遞歸序列式(5)取模1 477，得到周期為40的剩余類序列。

當且僅當n≡0(mod20)時，有

僅當n≡1，9(mod40)時，得出

所以只有當n≡1，9(mod40)時式(3)才成立。

而當n≡1(mod40)時，設n=40m+1(m∈Z)，則有

即得到了

又因為

而

所以式(6)可分解為下列式:

由引理1知y20m+1=±1，則m=0，此時n=1。由式(3)得

則有u=0，從而計算出方程(1)的平凡整數(shù)解為(x，y)=(1，0)。

當n≡9(mod40)時，設n=40m+9(m∈Z)，則

即

同理，又對遞歸序列(4)取模211，得周期為20的剩余類序列。當且僅當n≡±5(mod20)時，有

故

又gcd(x20m+5，y20m+4)=2，所以式(8)可以分解為下面兩種情況:

由式(9)的第二式得到

即

又因為gcd(x10m+2，y10m+2)=1，則可以分解為以下形式

由引理(2)可知，d=0。

所以y10m+2=0，顯然沒有整數(shù)解。所以這種情形下方程(1)無整數(shù)解。

由式(10)的第二式得

即

又gcd(x10m+2，y10m+2)=1，則可以分解為以下兩種形式:

由引理2可知y10m+2=0，顯然沒有整數(shù)解。

所以這種情形下方程(1)無整數(shù)解。

由引理3可知，d=±2，則m=0，此時n=9，由式(3)得

則有u=±4，從而計算出方程(1)的整數(shù)解(x，y)=(212 688，2 552 256)。

綜上所述可知，丟番圖方程(1)有整數(shù)解 (x，y)=(1，0)，(212 688，2 552 256) 。

3 程序算法分析驗證

對于丟番圖方程x3－1=1 477y2，運用Maple小程序，可以設計得出其算法流程如下:

圖1 Maple程序運行結(jié)果分析圖

參考文獻:

［1］柯召，孫琦．關于丟番圖方程x3±1=Dy2［J］．中國科學，1981，24(12):1453－1457．

［2］柯召，孫琦．關于丟番圖方程x3±1=3Dy2［J］．四川大學學報(自然科學版)，1981，18(2):1－5．

［3］李雙志，羅明．關于不定方程x3+1=201y2［J］．西南師范大學學報(自然科學版)，2010，35(1):11－14．

［4］韓云娜．關于 Diophantine方程x3－1=201y2［J］．科學與技術(shù)工程，2010(10):169－171．

［5］曹珍富．關于丟番圖方程引論［M］．哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社，2012:180－187．

［6］杜先存，萬飛，楊惠章．關于丟番圖方程x3±1=1267y2［J］．數(shù)學的實踐與認識，2013，43(15):288－292．［7］段輝明．關于丟番圖方程x3+1=57y2［J］．重慶師范大學學報(自然科學版)，2010，27(3):41－43．

［8］陳斌．特殊函數(shù)理論及其應用研究［M］．西安:陜西科學技術(shù)出版社，2015．

［9］陳斌．關于不定方程x3+1=3y2的解［J］．渭南師范學院學報，2010，25(2):15－17．