摘 要：羅懋康教授給本科生做的一個題為《數(shù)學(xué)應(yīng)該是什么》的報告，對數(shù)學(xué)的功用、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系、數(shù)學(xué)的定義、數(shù)學(xué)的客觀性、數(shù)學(xué)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)的藝術(shù)與樂趣、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以干什么、數(shù)學(xué)之長與數(shù)學(xué)之短，表達了豐富的觀點，進行了精辟的論述。它對數(shù)學(xué)教育的啟示有：對數(shù)學(xué)懷有敬畏之心；關(guān)注數(shù)學(xué)教育的普適價值，即提高文化素養(yǎng)和訓(xùn)練理性思維；采用通識教育或科普教育、專才教育、英才教育等不同方式，讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展；不過分夸大和強調(diào)數(shù)學(xué)的作用，而注意學(xué)生的全面發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)家報告 敬畏數(shù)學(xué) 教育價值 因材施教 全面發(fā)展

教育部長江學(xué)者特聘教授、國家杰出青年基金獲得者、中國數(shù)學(xué)會副理事長、國際模糊系統(tǒng)協(xié)會副主席、四川大學(xué)教授羅懋康不僅對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（純粹數(shù)學(xué)或純數(shù)學(xué)）和應(yīng)用數(shù)學(xué)有深入的研究，而且對數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有深刻的認(rèn)識和獨到的見解。羅教授給本科生做的一個題為《數(shù)學(xué)應(yīng)該是什么》的報告，蘊涵豐富的觀點、精辟的論述，包括“數(shù)學(xué)應(yīng)該是什么”“學(xué)了數(shù)學(xué)干什么”“數(shù)學(xué)之長是什么”“數(shù)學(xué)之短是什么”“現(xiàn)在怎樣學(xué)數(shù)學(xué)”“將來怎樣用數(shù)學(xué)”幾個部分。這一報告的思想不僅對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)等頗有幫助，而且對教師樹立正確的數(shù)學(xué)觀和教學(xué)觀、認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)、了解數(shù)學(xué)思維的特點和理解數(shù)學(xué)教學(xué)等富有啟發(fā)性，對澄清新課改實施過程中出現(xiàn)的一些片面的認(rèn)識也大有裨益。

一、《數(shù)學(xué)應(yīng)該是什么》報告的要點及簡單評述

（一）數(shù)學(xué)的功用

羅教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)至少具有四個功用：數(shù)學(xué)是知識，是方法，是藝術(shù)，是樂趣?！币部梢哉f，數(shù)學(xué)兼具知識性、方法性、藝術(shù)性、趣味性等功能和作用。有人把數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)看成科學(xué)，把數(shù)學(xué)方法序列看成技術(shù)，把數(shù)學(xué)審美立美看成藝術(shù)?？茖W(xué)在于求“真”，技術(shù)在于求“善”，藝術(shù)在于求“美”。因此，數(shù)學(xué)兼有科學(xué)、技術(shù)、藝術(shù)的特點。從而，數(shù)學(xué)具有“真”“善”“美”的功用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要發(fā)揮好數(shù)學(xué)“真”“善”“美”的功用——這與“立德樹人”的根本教育目標(biāo)是一致的。

（二）數(shù)學(xué)知識

羅教授認(rèn)為：“知識是對思維對象或行為對象的性質(zhì)或規(guī)律的認(rèn)識或經(jīng)驗?！彼褦?shù)學(xué)知識分為兩類：一類是描述某種思維框架的內(nèi)涵的知識，另一類是描述或作用于某些客觀實際的知識。這里，第一類知識是純粹數(shù)學(xué)知識，第二類知識是有實際背景的數(shù)學(xué)知識。純粹數(shù)學(xué)必須是邏輯自洽的。有實際背景的數(shù)學(xué)知識除了要求邏輯自洽，還要求符合實際。因此，“任何知識首先的一個要求就是邏輯自洽”，也就是說，“按照自身的邏輯推演，自己可以證明自己至少不是矛盾或者錯誤的”。

（三）數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系

羅教授認(rèn)為，“邏輯是正確有效地進行理性思維的最基本的規(guī)則”，“邏輯是人類幾千年符合實踐的經(jīng)驗的總結(jié)”。理性思維是指以概念、判斷、推理的方式進行邏輯思考，從而得出概念清晰、邏輯嚴(yán)密的結(jié)論。概念（定義）、判斷（命題）、推理（歸納、類比、演繹）是邏輯思維的三大基本形式，因此，理性思維就是邏輯思維。邏輯對于理性思維具有極端的重要性和必要性，邏輯規(guī)則就是理性思維必須遵守的規(guī)則。邏輯可以分為形式邏輯和辯證邏輯?！霸谛问竭壿嬛?，最基本的規(guī)律是同一律、矛盾律、排中律、充足理由律以及充足理由律的反面，即因果律?！薄巴宦墒钦f在給概念下定義時同一個名詞的含義必須保持不變，一個命題在論證的過程中必須保持穩(wěn)定；矛盾律就是論證過程中不能自相矛盾；排中律就是性質(zhì)或者范疇的劃分必須明確；充足理由律就是前提必須成立，并且前提要包含結(jié)論；而因果律就是把充足理由律反過來，即每一個結(jié)論必須有一個前提?！币蚬稍诤芏鄶?shù)學(xué)書里是沒有的，這里羅教授把因果律加進來，主要是為了說明五種基本的不確定性，即隨機性、模糊性、不穩(wěn)定性、不完全性、不一致性，這五種不確定性分別是因果律、排中律、同一律、充足理由律以及矛盾律的否定。

“邏輯和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系是異常緊密的”，但它們又不是概念中所講的同一關(guān)系（或全同關(guān)系），也不是一個包含另一個的關(guān)系。“數(shù)學(xué)和邏輯建立在抽象的兩個不同的方向上。邏輯在處理內(nèi)容上是最具有一般性的東西，而數(shù)學(xué)是形式關(guān)系和形式性質(zhì)的最一般理論?！绷_教授認(rèn)為：“在數(shù)學(xué)中邏輯最基本的表現(xiàn)就是公理，形式邏輯的數(shù)學(xué)表達就是數(shù)理邏輯。”邏輯早于數(shù)學(xué)出現(xiàn)。在數(shù)學(xué)史上，最早是把數(shù)學(xué)當(dāng)成邏輯的一個研究分支（方向），后來才把數(shù)學(xué)從邏輯學(xué)中獨立出來。這也可以看出，邏輯是數(shù)學(xué)的核心基礎(chǔ)。換句話說，邏輯是數(shù)學(xué)的上位概念。在數(shù)學(xué)中，不論是定義概念，還是證明命題，都必須遵守形式邏輯的基本規(guī)律；若違背了同一律、矛盾律、排中律、充足理由律中的任意一條，就必然犯邏輯錯誤。

（四）數(shù)學(xué)的定義

法國著名的布爾巴基學(xué)派把“數(shù)學(xué)”定義為“研究抽象結(jié)構(gòu)的科學(xué)”，并把數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分為序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)。這一定義雖然從數(shù)學(xué)科學(xué)的角度來看比較嚴(yán)謹(jǐn)，但是對于中小學(xué)學(xué)生來說并不容易理解。羅教授可能借鑒了布爾巴基學(xué)派的“結(jié)構(gòu)說”觀點，給出了一個新的定義：“數(shù)學(xué)就是針對結(jié)構(gòu)、關(guān)系及其變化細(xì)化后的邏輯?！焙喲灾瑪?shù)學(xué)即邏輯。羅教授的定義對于中小學(xué)學(xué)生來說也不容易理解，但是突出了數(shù)學(xué)與邏輯的實質(zhì)性聯(lián)系。這一定義把“邏輯”作為“數(shù)學(xué)”的上位概念（屬概念），符合邏輯和數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史。

有人會說，羅教授的定義沒有“科學(xué)”二字，不如“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)”“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)”“數(shù)學(xué)是研究‘演’‘算’的科學(xué)”等。需要說明的是，“邏輯是研究思維及其規(guī)律的科學(xué)”，所以“科學(xué)”是“邏輯”的屬概念。對于“數(shù)學(xué)”來說，“邏輯”是比“科學(xué)”是更鄰近的屬概念。由“屬+種差”定義理論可知，羅教授的定義更為精確。由此，從本質(zhì)上講，數(shù)學(xué)主要是理性思維，即邏輯思維。還有人會說，計算在數(shù)學(xué)中是很重要的，但是計算與邏輯關(guān)系不大。其實不然：計算公式（法則）的得到一靠發(fā)現(xiàn)，二靠演繹（證明），一般是從基本概念和符號出發(fā)，由邏輯推導(dǎo)出來的，所以計算公式（法則）一般都是基于邏輯的。

（五）數(shù)學(xué)的客觀性

有人認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識不需要實際的檢驗，是“數(shù)學(xué)家心靈的自由創(chuàng)造物”。羅教授并不完全認(rèn)同這種觀點，他對數(shù)學(xué)的客觀性做了精辟的論述：“邏輯是人類數(shù)千年歷史中已無數(shù)次驗證過的對客觀世界進行思考的正確方法和理論，反映了客觀世界最基本的關(guān)系、最本質(zhì)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。而數(shù)學(xué)建立在這一客觀現(xiàn)實意義非常明顯的規(guī)則基礎(chǔ)上。由此進行演繹，其過程無論多么抽象深奧，其結(jié)果與現(xiàn)實需要的距離無論多么遙遠(yuǎn)，但由于實際上這一切都是包含在最初的規(guī)則中的，因而也仍然是某種客觀存在的形式反映。數(shù)學(xué)所反映的并不一定是什么具體的物理性質(zhì)、化學(xué)性質(zhì)，但它反映出的是結(jié)構(gòu)、關(guān)系、變化?！币簿褪钦f，邏輯作為思維規(guī)律的反映，具有客觀性和相對真理性，從而數(shù)學(xué)也具有客觀性和相對真理性。恩格斯對數(shù)學(xué)的客觀性曾有精辟論述：“數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實世界中得來的?！?/p>

進而，羅教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)要告訴我們的是‘若如何，則如何’，也就是，在前提符合要求的情況下，一定會有怎樣的結(jié)果發(fā)生。這種‘一定’的客觀正確性由邏輯的客觀正確性保證。但是，這里并沒有保證前提的存在性，也正因為如此，數(shù)學(xué)才有了可以不聯(lián)系實際的可能。數(shù)學(xué)家不關(guān)心前提是否現(xiàn)實存在，那是物理學(xué)家、工程師、生物學(xué)家、醫(yī)生等關(guān)心的事；數(shù)學(xué)家只負(fù)責(zé)保證所有此種結(jié)構(gòu)、關(guān)系及其變化方面的因果關(guān)系。因此，數(shù)學(xué)要告訴我們的是一種客觀規(guī)律，盡管可能不是已經(jīng)在現(xiàn)實中表現(xiàn)出來的，而只是先驗地存在、隨時可能以某種現(xiàn)實的形式實現(xiàn)的。這也就是為什么數(shù)學(xué)家的工作不能叫發(fā)明，只能叫發(fā)現(xiàn)的原因?！奔热弧皵?shù)學(xué)有不聯(lián)系實際的可能”，那么數(shù)學(xué)新課的引入情境也就沒有必要非用實際生活背景不可。其實，從數(shù)學(xué)自身的內(nèi)部矛盾（即數(shù)學(xué)情境）出發(fā)是最有效的新課引入方式之一。

（六）數(shù)學(xué)的應(yīng)用

應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的基本特征之一。羅教授認(rèn)為：“搞應(yīng)用數(shù)學(xué)的人應(yīng)該是從實際中獲得問題，用數(shù)學(xué)方法解決后再回到實際中去。與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)不同，應(yīng)用數(shù)學(xué)的職責(zé)主要是關(guān)注應(yīng)用實際中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題，并最終必須回到應(yīng)用實際中?！绷_教授長期做應(yīng)用數(shù)學(xué)研究，對應(yīng)用數(shù)學(xué)還要求“符合實際”有切實的體會，他舉例說：“在工程技術(shù)、社會科學(xué)、軍事科技等領(lǐng)域，僅僅要求知識能自圓其說是不夠的，必須還要符合實際，否則要出問題，甚至致命的后果?！币虼?，搞應(yīng)用數(shù)學(xué)，不僅要具有“嚴(yán)密、精確、深入”的數(shù)學(xué)思維，而且要具有“思維的靈活性、容錯性和廣泛性”，當(dāng)然，還需要熟悉其他學(xué)科的知識。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）把“數(shù)學(xué)建模”作為六個核心素養(yǎng)之一，意在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識?！皵?shù)學(xué)建模”對培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力無疑是重要的，但“數(shù)學(xué)建?！钡慕虒W(xué)現(xiàn)實卻不太理想。張淑梅等調(diào)查（測試）發(fā)現(xiàn)，在六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，學(xué)生掌握得最不好的就是“數(shù)學(xué)建?！?，絕大部分學(xué)生都處于最低水平，平均得分遠(yuǎn)低于其他五個核心素養(yǎng)。做應(yīng)用數(shù)學(xué)有時比研究基礎(chǔ)數(shù)學(xué)更難，“數(shù)學(xué)建?！眲t是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點，是數(shù)學(xué)教學(xué)特別需要加強的地方之一。

（七）數(shù)學(xué)方法

羅教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)知識是兩個不同的范疇?！薄皬姆椒ǖ钠者m性考慮，數(shù)學(xué)當(dāng)然給我們提供了處理對象的結(jié)構(gòu)、關(guān)系及其變化規(guī)律的方法，但還不僅如此，當(dāng)我們進行理性思維時，提煉最主要的性質(zhì)和關(guān)系，暫時排除冗余信息，顯然是提高思維效率的必要方式。因為如果要考慮結(jié)構(gòu)、關(guān)系及其變化，第一步就是提煉。比如問你1個蘋果加上2個梨子是幾個水果，結(jié)果是3個水果，得到這個結(jié)果的方法就是‘提煉’，提煉的結(jié)果就是‘加法’，提煉出來的東西就是‘關(guān)系’。所以要利用數(shù)學(xué)中的思維方法的話，第一步就是提煉?！绷_教授把“提煉”看成數(shù)學(xué)思維的一種方法。筆者認(rèn)為，這里說的“提煉”即為“抽象”“概括”之意。由于“抽象”“概括”是邏輯思維的基本方法，當(dāng)然也是數(shù)學(xué)思維的基本方法。

需要說明的是，僅從數(shù)學(xué)中“加法”定義的角度來看，1個蘋果和2個梨子是不能相加的，必須把“1個蘋果”抽象為“1個水果”，“2個梨子”抽象為“2個水果”，從而把問題抽象為“1個水果”加上“2個水果”。當(dāng)然，繼續(xù)追究的話，“1個水果”和“2個水果”還是不能相加，因為水果有大小之分、酸甜之別等。因此，還要進一步抽象，即把“1個水果”抽象為自然數(shù)“1”，“2個水果”抽象為自然數(shù)“2”，此時就可以把數(shù)學(xué)中的自然數(shù)“1”和自然數(shù)“2”用加法法則加起來了。

羅教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)還給我們提供了提高理性思維效率的模式，比如微積分給我們提供了“局部和整體、有限和無限之間的變化關(guān)系”的思維模式。由此可見，數(shù)學(xué)方法實質(zhì)上是一種思維模式。

（八）數(shù)學(xué)藝術(shù)與樂趣

羅教授認(rèn)為：“所謂藝術(shù)，就是為人們所需（理性）或所悅（感性）的某一方面能力的具有獨創(chuàng)性、難以重復(fù)的極致表現(xiàn)?！薄皵?shù)學(xué)作為藝術(shù)，是指其對人類抽象思維能力的具有獨創(chuàng)性、難以重復(fù)的極致表現(xiàn)?！北热?，歐拉公式eiπ+1=0，多么簡單、和諧，多么美；費馬大定理xn+yn=zn（n∈N，n≥3）沒有正整數(shù)解，看上去多么簡單，其證明又多么困難；任意三角形的三條高相交于一點，這一性質(zhì)看起來多么不可思議。

羅教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)（主要是純粹數(shù)學(xué)）作為幾乎完全依賴于純粹的抽象思維的體系（更為抽象的哲學(xué)尚有部分‘符合實際’的要求），有著非常純粹的結(jié)構(gòu)美。此外，人們都希望自己聰明，而數(shù)學(xué)這種思維的純粹很符合人們心目中‘檢驗、提高聰明程度’的印象，因此，思考數(shù)學(xué)問題也是一種樂趣?！狈茽柶潽劦弥魑治炙够f：“數(shù)學(xué)的美麗使得研究數(shù)學(xué)成為一種樂趣。”

藝術(shù)的本質(zhì)在于求美。數(shù)學(xué)作為一種理性思維的藝術(shù)，還包含著美和樂趣。著名數(shù)學(xué)家龐加萊說過：“能夠做出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人是具有能夠感受到所謂數(shù)學(xué)美的這種感性的人?！备呙鞯臄?shù)學(xué)教師善于幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)美，欣賞數(shù)學(xué)美，感受數(shù)學(xué)美，創(chuàng)造數(shù)學(xué)美。

（九）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以干什么

從作用（價值）的角度看，數(shù)學(xué)可以分為文化素養(yǎng)的數(shù)學(xué)（把數(shù)學(xué)當(dāng)成文化），研究發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)（把數(shù)學(xué)當(dāng)成科學(xué)），技術(shù)應(yīng)用的數(shù)學(xué)（把數(shù)學(xué)當(dāng)成技術(shù)或工具），鍛煉思維的數(shù)學(xué)（把數(shù)學(xué)當(dāng)成思維或邏輯）。數(shù)學(xué)的普適價值在于提高文化素養(yǎng)和訓(xùn)練理性思維，對于專門科學(xué)技術(shù)人員（如工程師）的價值在于提供量化分析的通用模式、計算公式和計算方法，對于數(shù)學(xué)家的價值則在于提供發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）數(shù)學(xué)最新成果的平臺。

羅教授認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以干四種事：一是增長數(shù)學(xué)文化知識；二是研究、發(fā)展基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)；三是運用數(shù)學(xué)解決實際問題；四是發(fā)展數(shù)學(xué)化的邏輯思維。增長數(shù)學(xué)文化知識，包括認(rèn)識理性思維與客觀世界在結(jié)構(gòu)、關(guān)系及其變化層次上的規(guī)律，理解數(shù)學(xué)知識，熟悉數(shù)學(xué)方法（包括數(shù)學(xué)思維方法），是把數(shù)學(xué)當(dāng)成文化；研究、發(fā)展基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，是把數(shù)學(xué)當(dāng)成科學(xué)；運用數(shù)學(xué)解決實際問題，包括工程技術(shù)、經(jīng)濟金融、商業(yè)貿(mào)易、軍事科技等方面的問題，是把數(shù)學(xué)當(dāng)成技術(shù)或工具；發(fā)展數(shù)學(xué)化的邏輯思維，能夠培養(yǎng)理性精神，是把數(shù)學(xué)當(dāng)作思維的體操。

（十）數(shù)學(xué)之長與數(shù)學(xué)之短

羅教授指出：“數(shù)學(xué)有助于理性的、抽象的、嚴(yán)密的、邏輯的思維，有助于摒棄冗余的信息、把握問題的本質(zhì)，能最大限度地保證在分析、演繹的‘過程’階段不出錯誤，有助于提煉觀點、結(jié)論、思路和方法?！薄耙延械臒o數(shù)事實證明了數(shù)學(xué)對科學(xué)技術(shù)的重大推動，對自然規(guī)律的深刻揭示?！笨梢?，數(shù)學(xué)之長在于理性（思維），在于精確（計算）。古希臘先哲們的理性主義，在文藝復(fù)興之后的歐洲被發(fā)揚光大，在科學(xué)上表現(xiàn)出來的成果，如牛頓—萊布尼茲的微積分、笛卡兒的解析幾何、羅巴切夫斯基和黎曼的非歐幾何等，都是理性主義的偉大勝利。因此，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生的理性思維放在重要位置。

當(dāng)下，很多數(shù)學(xué)教育專家?guī)缀跻恢抡J(rèn)為，數(shù)學(xué)太有用了，做什么都需要數(shù)學(xué)。但是，羅教授指出“學(xué)了數(shù)學(xué)的人易有之短”：“實際情況中所需要的思維特性，除了嚴(yán)密、精確、深入之外，同樣需要靈活、容差、廣泛，而這些是數(shù)學(xué)（經(jīng)典數(shù)學(xué)）本身并不能直接提供給我們的。例如，工程技術(shù)、經(jīng)濟貿(mào)易、軍事對抗、政治決策、行政領(lǐng)導(dǎo)……”“數(shù)學(xué)不能保證你的動機（起點）和目的（終點）是否正確，它只提供正確的手段（過程）。”也就是說，很多其他領(lǐng)域往往需要一些數(shù)學(xué)提供不了的思維方式；對于動機、態(tài)度、情感、意志、性格等非認(rèn)知因素，數(shù)學(xué)一般也是管不了的。因此，數(shù)學(xué)教育不能過分夸大和強調(diào)數(shù)學(xué)的作用。

二、《數(shù)學(xué)應(yīng)該是什么》報告對數(shù)學(xué)教育的啟示

（一）對數(shù)學(xué)懷有敬畏之心

敬畏之心實質(zhì)上是一種態(tài)度?！熬础奔闯缟?、喜歡，“畏”即害怕、抗拒。作為一門抽象、難懂的學(xué)科，數(shù)學(xué)既有培養(yǎng)興趣的一面，也有壓抑興趣的一面；既可以給數(shù)學(xué)家?guī)戆l(fā)現(xiàn)的快樂，也可以給更多人帶來學(xué)習(xí)上的痛苦。新浪網(wǎng)的一項調(diào)查顯示，70%以上的網(wǎng)友坦承被數(shù)學(xué)“傷害”過，希望數(shù)學(xué)“滾出高考”。2007年國際數(shù)學(xué)和科學(xué)評測趨勢TIMSS數(shù)據(jù)庫資料顯示，東亞地區(qū)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度遠(yuǎn)低于世界平均水平，約58%的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥，不喜歡學(xué)數(shù)學(xué)。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該懷有敬畏之心，針對具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，分析學(xué)生畏懼、痛恨數(shù)學(xué)的原因，幫助學(xué)生改善對數(shù)學(xué)的態(tài)度。下面以“數(shù)學(xué)的定義”“數(shù)學(xué)知識”為例，分析教師應(yīng)該懷有的敬畏之心。

對“數(shù)學(xué)的定義”懷有敬畏之心。事實上，給數(shù)學(xué)下一個定義是很困難的，因為數(shù)學(xué)的本質(zhì)不容易弄清楚。正因為此，羅教授不是直接講“數(shù)學(xué)是什么”或“什么叫數(shù)學(xué)”，而是講“數(shù)學(xué)應(yīng)該是什么”——由此足見羅教授對數(shù)學(xué)的敬畏之心。既然數(shù)學(xué)的本質(zhì)不容易弄清楚，那么教師就要熱愛數(shù)學(xué)，努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不斷思考和認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)?，F(xiàn)在很多數(shù)學(xué)課缺少“數(shù)學(xué)味”，因為教師不知道“數(shù)學(xué)應(yīng)該是什么”。而判斷一堂課有沒有“數(shù)學(xué)味”需要一個標(biāo)準(zhǔn)，這個標(biāo)準(zhǔn)就是“數(shù)學(xué)的定義”。

對“數(shù)學(xué)知識”懷有敬畏之心。按照羅教授的觀點，數(shù)學(xué)知識在邏輯上應(yīng)是自洽（嚴(yán)謹(jǐn)）的。我國高考大綱對數(shù)學(xué)知識做了明確界定：數(shù)學(xué)知識是指數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理，以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法，還包括按照一定的程序與步驟進行運算、處理數(shù)據(jù)、繪制圖表等基本技能。顯然，這里所說的數(shù)學(xué)知識是人類社會普遍認(rèn)可的客觀性知識（相對真理），能代表主流社會的知識范式，在邏輯上是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模哂袦?zhǔn)確性、明確性、普適性、可言傳性等特點。與之相對應(yīng)，有人提出了“主觀性數(shù)學(xué)知識”的概念：“數(shù)學(xué)知識不僅包括‘客觀性知識’，即那些不因地域和學(xué)習(xí)者而改變的數(shù)學(xué)事實，而且包括從屬于學(xué)生自己的‘主觀性知識’，即帶有鮮明個體認(rèn)知特征的個人知識和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗……它是經(jīng)驗性的、不那么嚴(yán)格的、可錯的?！蹦敲?，“主觀性數(shù)學(xué)知識”就不滿足知識應(yīng)有的“邏輯自洽”。這就構(gòu)成了知識理解上的矛盾。筆者認(rèn)為，“主觀性數(shù)學(xué)知識”是違背常識的、不科學(xué)的概念，容易給教學(xué)造成混亂。中小學(xué)學(xué)生主要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識屬于經(jīng)典數(shù)學(xué)，偏向純粹數(shù)學(xué)，應(yīng)該滿足邏輯自洽，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)密的特征。

（二）關(guān)注數(shù)學(xué)教育的普適價值

90%左右的學(xué)生不會以數(shù)學(xué)為職業(yè)，也不會從事專門的科學(xué)技術(shù)工作（如工程師和技術(shù)員等）。他們當(dāng)中的很多人不僅覺得數(shù)學(xué)無趣，不喜歡學(xué)數(shù)學(xué)，而且覺得數(shù)學(xué)特別難學(xué)，不太容易掌握大量的數(shù)學(xué)知識和方法。對這些學(xué)生的“關(guān)照”是數(shù)學(xué)教師的基本職責(zé)和重要使命。當(dāng)然，數(shù)學(xué)教師通過分析學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難的原因，幫助學(xué)生改進學(xué)習(xí)方法，也能在一定程度上使得部分學(xué)生較好地掌握數(shù)學(xué)知識和方法。但是，數(shù)學(xué)教師更應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)教育的普適價值，即提高文化素養(yǎng)和訓(xùn)練理性思維，從而適當(dāng)調(diào)整教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容。

董君武認(rèn)為：“數(shù)學(xué)知識固然重要，但是中學(xué)畢業(yè)以后真正研究數(shù)學(xué)，經(jīng)常用到數(shù)學(xué)知識的人其實并不多，反而用得多的是在學(xué)習(xí)過程中所感受到的、體驗到的數(shù)學(xué)思想方法。”董老師還舉了用數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維方式，解決“在生活和工作中，要求在一定條件下完成一件事情”問題的例子。但是需要注意，數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)“雙基”具有更高的概括性，因而更難學(xué)習(xí)和掌握。而很多學(xué)生連數(shù)學(xué)“雙基”都過不了關(guān)，又怎么能學(xué)好數(shù)學(xué)思想方法呢？筆者建議，對這部分學(xué)生的數(shù)學(xué)教育，可以把重點放在提高文化素養(yǎng)上，采用通識教育或科普教育的方式，即“五個一點”：教學(xué)目標(biāo)低一點，教學(xué)內(nèi)容少一點，教學(xué)進度慢一點，教學(xué)時間少一點，考試要求低一點。

（三）讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展

理想的中學(xué)數(shù)學(xué)教育是因材施教，讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。具體來說，就是對大多數(shù)不太喜歡和擅長數(shù)學(xué)的學(xué)生，采用數(shù)學(xué)通識教育或科普教育，重視數(shù)學(xué)文化；對將來想從事非數(shù)學(xué)專業(yè)的工程技術(shù)、經(jīng)濟類工作的學(xué)生，采用專才教育，重視數(shù)學(xué)應(yīng)用（包括數(shù)學(xué)建模）；對于將來想從事數(shù)學(xué)研究工作或以數(shù)學(xué)為職業(yè)的學(xué)生，采用英才教育，重視數(shù)學(xué)知識體系的研究和發(fā)現(xiàn)。

對當(dāng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)教育，很多教師、學(xué)生、家長都不滿意。原因很多，有社會功利（應(yīng)試）、《課標(biāo)》定位、教材質(zhì)量、教師水平等方面的。但是筆者認(rèn)為，當(dāng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)教育最大的問題是區(qū)分度不夠。具體而言，讓大多數(shù)不太喜歡和擅長數(shù)學(xué)的學(xué)生學(xué)習(xí)較多、較難的數(shù)學(xué)，讓少數(shù)喜歡并擅長數(shù)學(xué)的學(xué)生學(xué)習(xí)偏少、偏易的數(shù)學(xué)。

這里特別需要指出的是，多年來我國高中數(shù)學(xué)教育缺乏對數(shù)學(xué)尖子生教育的研究與實踐——并且?guī)缀鯖]有適合精英教育的教材內(nèi)容（乃至教材本身）?？赡苡腥苏J(rèn)為，數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)就是精英教育。但是筆者認(rèn)為，我國的數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)一般采用短期強化訓(xùn)練的方式，這與讓運動員吃興奮劑沒有本質(zhì)區(qū)別，從總體上講，不是教育而是摧殘，不是有益的而是有害的。其實，針對少數(shù)數(shù)學(xué)尖子生的精英教育，可以考慮建構(gòu)具有宏偉目標(biāo)、系統(tǒng)規(guī)劃、長期實施、協(xié)同培養(yǎng)的新模式：宏偉目標(biāo)是指瞄準(zhǔn)菲爾茲獎。系統(tǒng)規(guī)劃是指對“中學(xué)—本科—碩士—博士”的數(shù)學(xué)課程做系統(tǒng)安排。長期實施是指用15～18年的時間實施新的培養(yǎng)方案。協(xié)同培養(yǎng)是指由數(shù)學(xué)家領(lǐng)銜并有中學(xué)教師、高校教授（博士）共同參與的培養(yǎng)形式——尤其要讓數(shù)學(xué)家走進中學(xué)課堂，主持編寫飽含當(dāng)代數(shù)學(xué)思想方法的精英數(shù)學(xué)教材（可以借鑒亞洲第一位菲爾茲獎得主、同時也是沃爾夫獎得主的日本著名數(shù)學(xué)家小平邦彥編寫的高中數(shù)學(xué)教材）。

（四）注意學(xué)生的全面發(fā)展

眾所周知，數(shù)學(xué)的應(yīng)用極其廣泛，教育價值很大。但是我們也應(yīng)該注意到，數(shù)學(xué)不是萬能的，“數(shù)學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能包打天下”。數(shù)學(xué)的研究對象主要是“數(shù)”和“形”，或者是“結(jié)構(gòu)”“關(guān)系”“變化”“邏輯”等，這就決定了數(shù)學(xué)是有局限性的。事實上，有很多問題不適合用數(shù)學(xué)解決，有更多問題無法用數(shù)學(xué)解決。此外，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，也不能直接解決情感、態(tài)度、信念等方面的問題。因為數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要屬于認(rèn)知的范疇，而情感、態(tài)度、信念等屬于非認(rèn)知的范疇，認(rèn)知和非認(rèn)知雖然會相互影響，但是不能相互決定，無法相互代替。

《課標(biāo)》在“課程性質(zhì)”中明確要求：“會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界?！薄叭龝钡哪繕?biāo)無疑是崇高的，甚至是偉大的，但是，能夠?qū)崿F(xiàn)嗎？容易實現(xiàn)嗎？這里所說的世界不外乎客觀世界和主觀世界。在客觀世界里，如果有一個人的腿斷了，那么如何用數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言去觀察、思考、表達呢？這能夠幫助他治好腿傷，減少痛苦嗎？這個人的腿傷和痛苦是數(shù)學(xué)家能夠解決的嗎？治療是醫(yī)生的職責(zé)，而且，治療斷腿必須找骨科醫(yī)生或外科醫(yī)生，其他醫(yī)生恐怕也無能為力。痛苦是情感的問題，減少痛苦可以找心理醫(yī)生。這個事例充分說明，術(shù)業(yè)有專攻。

因此，數(shù)學(xué)教師不能過分夸大和強調(diào)數(shù)學(xué)的作用，這是不全面的，對學(xué)生的全面發(fā)展不利。如，大文豪錢鐘書高考數(shù)學(xué)僅考了15分，國學(xué)大師季羨林高考數(shù)學(xué)僅考了5分。他們?nèi)绻种匾晹?shù)學(xué)，恐怕就不會成為大文豪和國學(xué)大師了。我想，沒有人會認(rèn)為計算機科學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)、工程技術(shù)、農(nóng)學(xué)、醫(yī)學(xué)、哲學(xué)、歷史學(xué)、文學(xué)、藝術(shù)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等不重要。一個和諧的社會需要各個方面的人才。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該樹立“行行出狀元”的觀念，善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生是否具有良好的數(shù)學(xué)天賦和基礎(chǔ)，并且把具有良好數(shù)學(xué)天賦和基礎(chǔ)的學(xué)生培養(yǎng)好，同時鼓勵數(shù)學(xué)天賦和基礎(chǔ)不佳的學(xué)生把其他學(xué)科學(xué)好，把其他事情做好，在其他方面得到比較好的發(fā)展。

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