摘 要：薄弱學(xué)校多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)“動(dòng)力弱、基礎(chǔ)薄、能力差”的特征。結(jié)合《弧長(zhǎng)及扇形的面積》一課的教學(xué)，闡述“薄弱學(xué)校”數(shù)學(xué)課堂如何“以學(xué)定教”：低起點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)有基礎(chǔ)，解決想學(xué)的問(wèn)題；緩坡度，讓學(xué)生學(xué)有收獲，解決能學(xué)的問(wèn)題；勤反饋，讓學(xué)生學(xué)有鞏固，解決學(xué)會(huì)的問(wèn)題；重探究，讓學(xué)生學(xué)有發(fā)展，解決會(huì)學(xué)的問(wèn)題；多鼓勵(lì)，讓學(xué)生學(xué)有信心，解決樂(lè)學(xué)的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：以學(xué)定教 弧長(zhǎng)及扇形的面積 低起點(diǎn) 緩坡度 勤反饋

為了盡快縮小區(qū)域、城鄉(xiāng)和校際初中教育的差距，江蘇省南京市于2015年9月啟動(dòng)了“新優(yōu)質(zhì)初中”創(chuàng)建工程，計(jì)劃通過(guò)3～5年的時(shí)間，整體提升全市46所相對(duì)薄弱初中的教育質(zhì)量，把它們打造成“新優(yōu)質(zhì)初中”。

最近，筆者全程參與了南京市“新優(yōu)質(zhì)初中”教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)會(huì)的前期準(zhǔn)備工作。在這一過(guò)程中，筆者深深感覺(jué)到這些學(xué)校多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)“動(dòng)力弱、基礎(chǔ)薄、能力差”的特征。下面結(jié)合這次現(xiàn)場(chǎng)會(huì)中數(shù)學(xué)研討課（課題是蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第2章第7節(jié)《弧長(zhǎng)及扇形的面積》）的教學(xué)，談?wù)劇氨∪鯇W(xué)校”數(shù)學(xué)課堂如何“以學(xué)定教”，“讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，以期與同行交流。

[設(shè)計(jì)意圖：此題意在讓學(xué)生經(jīng)歷綜合運(yùn)用兩個(gè)公式解決問(wèn)題的過(guò)程，通過(guò)對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程的反思和對(duì)兩個(gè)公式的“再思考”，不僅從新的視角使這一問(wèn)題得到“再解決”，發(fā)展優(yōu)化思維，而且順勢(shì)得到扇形面積的第二個(gè)計(jì)算公式，感悟這個(gè)公式的作用，從而以具體問(wèn)題的解決為載體，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。對(duì)于這一問(wèn)題的探索過(guò)程，教學(xué)中要留有充分的時(shí)間讓學(xué)生思考、展示和交流。]

二、教學(xué)思考

（一）低起點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)有基礎(chǔ)，解決想學(xué)的問(wèn)題

“低起點(diǎn)”就是從低處著眼，充分了解學(xué)生已有的知識(shí)和能力基礎(chǔ)，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，把教材內(nèi)容呈現(xiàn)的靜態(tài)文本設(shè)計(jì)成學(xué)生能夠進(jìn)行的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而解決學(xué)生想學(xué)的問(wèn)題。

本節(jié)課，教材在回顧弧的定義、給出扇形的定義，指出弧和圓、扇面和圓面的關(guān)系后，編排了“思考與探索”欄目：先從一般化的角度提出“當(dāng)圓的半徑R確定時(shí)，探索弧長(zhǎng)l與弧所對(duì)圓心角的度數(shù)n之間的關(guān)系”的問(wèn)題，再直接給出180°和1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，然后就進(jìn)行弧長(zhǎng)公式的推導(dǎo)。這種編排對(duì)于薄弱學(xué)校的學(xué)生而言，起點(diǎn)過(guò)高，會(huì)造成畏難心理和厭學(xué)情緒，因而教師設(shè)計(jì)了引入環(huán)節(jié)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行前置補(bǔ)償。補(bǔ)償活動(dòng)不僅喚醒了對(duì)新課學(xué)習(xí)知識(shí)基礎(chǔ)（圓的周長(zhǎng)、面積公式）的記憶，而且從函數(shù)的視角（考慮到學(xué)生的學(xué)情，只是從函數(shù)的“變量說(shuō)”視角進(jìn)行分析，沒(méi)有嚴(yán)格說(shuō)明函數(shù)關(guān)系）對(duì)這兩個(gè)公式進(jìn)行了再認(rèn)識(shí)，從而對(duì)弧長(zhǎng)及扇形的面積公式的探索進(jìn)行了思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的補(bǔ)償。更重要的是，由于圓的周長(zhǎng)、面積公式是小學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生對(duì)此有著親近的情感，而從函數(shù)的視角對(duì)這兩個(gè)公式進(jìn)行再認(rèn)識(shí)也不困難，這對(duì)學(xué)生進(jìn)行了心理上的補(bǔ)償，使其在愉悅的情緒中進(jìn)入學(xué)習(xí)。

（二）緩坡度，讓學(xué)生學(xué)有收獲，解決能學(xué)的問(wèn)題

“緩坡度”就是從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，降低學(xué)習(xí)的坡度，細(xì)分學(xué)習(xí)任務(wù)，增加活動(dòng)層次，分解學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生一步一個(gè)臺(tái)階地前進(jìn)，從而解決學(xué)生能學(xué)的問(wèn)題。

本節(jié)課，教材在回顧弧的定義、給出扇形的定義后，直接告知學(xué)生弧是圓的一部分，扇面是圓面的一部分，然后就展開(kāi)弧長(zhǎng)與扇形面積公式的探索。這對(duì)于薄弱學(xué)校的學(xué)生而言，坡度過(guò)大，因?yàn)檫@中間，學(xué)生還需要一個(gè)借助具體圖形進(jìn)行觀察思考，感知弧與圓、扇面是圓面都是局部與整體的關(guān)系（同時(shí)發(fā)展幾何直觀和空間觀念）的過(guò)程。所以，教師設(shè)計(jì)了第二個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生感知局部與整體的關(guān)系，從而自然地想到弧長(zhǎng)、扇形的面積應(yīng)該放在圓的背景中研究，弧長(zhǎng)、扇形的面積會(huì)與它們的構(gòu)成元素相關(guān)，由此拾級(jí)而上，順利地進(jìn)入后面的學(xué)習(xí)。

本節(jié)課，教材直接提出“當(dāng)圓的半徑R確定時(shí)，探索弧長(zhǎng)l與弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)n之間的關(guān)系”的問(wèn)題，然后展開(kāi)定量探索。這對(duì)于薄弱學(xué)校的學(xué)生而言，同樣坡度過(guò)大，因?yàn)檫@中間，學(xué)生還需要一個(gè)借助具體圖形進(jìn)行觀察思考，認(rèn)識(shí)到弧長(zhǎng)（扇形面積）不僅與半徑，而且與弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)有關(guān)（突破相關(guān)變量從一個(gè)發(fā)展成多個(gè)這一難點(diǎn)）的過(guò)程。所以，教師增設(shè)了對(duì)弧長(zhǎng)（扇形面積）進(jìn)行定性探究的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生對(duì)圓的周長(zhǎng)、面積的研究經(jīng)驗(yàn)在定性的層面上得以遷移和提升，從而從函數(shù)視角對(duì)弧長(zhǎng)（扇形面積）形成初步的認(rèn)知，由此順利地進(jìn)入對(duì)弧長(zhǎng)（扇形面積）的定量探究。

本節(jié)課，教材直接給出180°和1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，然后研究n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)這個(gè)一般情況。這對(duì)于薄弱學(xué)校的學(xué)生而言，同樣坡度過(guò)大，因?yàn)?80°是360°的一半，這一明顯關(guān)系會(huì)阻礙對(duì)n發(fā)揮的作用（產(chǎn)生的影響）的感悟（這從上述教學(xué)過(guò)程中學(xué)生對(duì)90°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算中得到了驗(yàn)證）。所以，在對(duì)弧長(zhǎng)（扇形面積）進(jìn)行定量探究的環(huán)節(jié)，教師增加了90°、120°的情況，為學(xué)生提供更多的歸納素材；要求學(xué)生詳細(xì)寫(xiě)出每種情況的解答，暴露學(xué)生的思維過(guò)程；并不斷追問(wèn)其中數(shù)量的含義（來(lái)歷），促使學(xué)生感悟n發(fā)揮的作用（產(chǎn)生的影響）。

此外，這里引導(dǎo)學(xué)生對(duì)弧長(zhǎng)（扇形面積）進(jìn)行定性與定量相結(jié)合的探究，也是基于個(gè)體對(duì)事物的認(rèn)識(shí)加工總是遵循“定性分析引路，定量分析深入”的規(guī)律。

（三）勤反饋，讓學(xué)生學(xué)有鞏固，解決學(xué)會(huì)的問(wèn)題

薄弱學(xué)校的學(xué)生往往注意范圍比較窄，記憶時(shí)間比較短。這就要求教師在教學(xué)中勤反饋，及時(shí)通過(guò)精當(dāng)?shù)木毩?xí)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問(wèn)題，予以校正。

本節(jié)課，教材在三個(gè)公式全部推導(dǎo)結(jié)束后，才編排例題和練習(xí)。這樣的編排不適合薄弱學(xué)校學(xué)生的學(xué)習(xí)。教師在推導(dǎo)出弧長(zhǎng)公式、扇形面積的第一個(gè)公式后，分別設(shè)計(jì)了練習(xí)1和練習(xí)2，讓學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)。練習(xí)1和練習(xí)2均包含兩道題，一道是簡(jiǎn)單的應(yīng)用，一道是稍微靈活（適當(dāng)轉(zhuǎn)化）的應(yīng)用，學(xué)生不難完成，通過(guò)自主講評(píng)能夠增強(qiáng)對(duì)公式的記憶和理解。值得一提的是，對(duì)弧長(zhǎng)公式，有學(xué)生用“中間狀態(tài)”進(jìn)行計(jì)算。這是對(duì)弧長(zhǎng)進(jìn)行定性與定量相結(jié)合探究的效果顯現(xiàn)：弧與圓（扇面與圓面）的關(guān)系本質(zhì)上是局部與整體的關(guān)系，其數(shù)量刻畫(huà)反映在圓心角度數(shù)的比上，也反映在弧長(zhǎng)（扇形面積）的比上，明白了這種關(guān)系，公式就成了“附屬”，不必死記硬背了。

（四）重探究，讓學(xué)生學(xué)有發(fā)展，解決會(huì)學(xué)的問(wèn)題

造成薄弱學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)能力差、不會(huì)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要原因，就是教師因懷疑學(xué)生的能力，認(rèn)為學(xué)生只會(huì)機(jī)械地模仿，而一味地采用單向灌輸式教學(xué)，不敢展開(kāi)合作探究式教學(xué)。這樣不僅會(huì)使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得不到發(fā)展，而且會(huì)使學(xué)生因?yàn)閷W(xué)習(xí)內(nèi)容綜合性的不斷增加，變得越來(lái)越不會(huì)學(xué)習(xí)。實(shí)際上，薄弱學(xué)校的學(xué)生比一般的學(xué)生更需要合作探究式教學(xué)，當(dāng)然，也更需要教師的耐心和引導(dǎo)。

本節(jié)課，對(duì)于一些簡(jiǎn)單的或可以模仿完成的內(nèi)容，如練習(xí)1、練習(xí)2、扇形面積的第一個(gè)公式，教師完全放手，要求學(xué)生自主探究完成和發(fā)現(xiàn)；而對(duì)于一些困難的或涉及思想方法的內(nèi)容，如弧長(zhǎng)公式、練習(xí)3（即扇形面積的第二個(gè)公式），教師則適當(dāng)參與，引導(dǎo)學(xué)生充分展開(kāi)探究。對(duì)弧長(zhǎng)公式的探究設(shè)計(jì)，前面已經(jīng)從“緩坡度”的角度談過(guò)，這里談?wù)剬?duì)扇形面積的第二個(gè)公式的探究設(shè)計(jì)。如果按照教材的設(shè)計(jì)，先學(xué)習(xí)扇形面積的第二個(gè)公式，再進(jìn)行鞏固練習(xí)，學(xué)生就會(huì)缺少合作探究的體驗(yàn)感悟。因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)完弧長(zhǎng)公式、扇形面積的第一個(gè)公式之后，教師安排了練習(xí)3，通過(guò)這道簡(jiǎn)單的綜合題，引導(dǎo)學(xué)生比較發(fā)現(xiàn)弧長(zhǎng)公式和扇形面積的第一個(gè)公式的聯(lián)系，優(yōu)化解題的方法，獲得扇形面積的第二個(gè)公式?？上驳氖?，活動(dòng)中學(xué)生的比較意識(shí)還得到了發(fā)展，發(fā)現(xiàn)了扇形面積的第二計(jì)算公式與三角形面積公式結(jié)構(gòu)上的相似性。

（五）多鼓勵(lì)，讓學(xué)生學(xué)有信心，解決樂(lè)學(xué)的問(wèn)題

薄弱學(xué)校的學(xué)生常因?yàn)楹苌佾@得成功的體驗(yàn)，而失去學(xué)習(xí)的信心和興趣，形成畏難心理和厭學(xué)情緒。低起點(diǎn)、緩坡度、勤反饋、重探究，從某種意義上講，都是基于以上學(xué)情，盡可能多地讓學(xué)生獲得成功體驗(yàn)的策略。除了做到以上幾點(diǎn)，還需要對(duì)學(xué)生多鼓勵(lì)，對(duì)學(xué)生每一點(diǎn)微小的進(jìn)步都給予肯定、表?yè)P(yáng)，從而讓學(xué)生學(xué)有信心，樂(lè)于學(xué)習(xí)。

本節(jié)課，教師對(duì)學(xué)生的表?yè)P(yáng)、鼓勵(lì)在教學(xué)實(shí)錄中有詳細(xì)的呈現(xiàn)，這里不再贅述。想要說(shuō)明的是，教師進(jìn)行了很多“隱形提問(wèn)”，即留半句話(huà)給學(xué)生說(shuō)，如“如果半徑R發(fā)生變化，圓的周長(zhǎng)和面積也——”等。這樣的處理方式對(duì)薄弱學(xué)校的學(xué)生而言，能夠起到事半功倍的作用。因?yàn)檫@樣就使學(xué)生必須思考教師下半句要說(shuō)什么，該怎樣接過(guò)來(lái)，因而必須認(rèn)真聽(tīng)教師講的上半句，努力理解。這讓學(xué)生獲得了安全感，為學(xué)生預(yù)留了足夠的思考時(shí)間和空間，可保護(hù)學(xué)生的自尊心，激發(fā)學(xué)生的自信心，提高學(xué)生的參與度，使學(xué)生始終處于積極思維的狀態(tài)。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 王為峰.假如思維的火花不被阻燃——從“圓錐的側(cè)面積”的教學(xué)說(shuō)起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2016（Z2）.